欧氏空间的变换是正交变换的充分必要条件

承德民族师专学报1999年第2期

欧氏空间的变换是正交变换的

充分必要条件

张宏广

在欧氏空间V 中, V 的变换不一定是V 的线性变换, 线性变换又不一定是正交变换。变换是线性变换的必要条件, 线性变换又是正交变换的必要条件。下面我们给出V 的一个变换是正交变换的几个充分且必要条件。

定理1　欧氏空间V 的一个变换 是正交变换的充分且必要条件是:对于任意 , ∈V, 都有=。

证明　条件的必要性是明显的, 因为 是正交变换, 而正交变换保持向量的内积不变, 所以对于 , ∈V , 都有=。

　　反过来, , ∈V , a , b ∈R , 要证 (a +b ) =a ( ) +b ( ) 成立。只需证明 (a +

) -b ( ) =0成立即可。只需证明b ) -a (

=0即可。因为

　　

　　=-2

　　　+

　　=-2[+

　　　+b ) , b ( ) >]+a +2ab+b

　　=a 2+2ab+b 2-2a

　　　-2b+a +2ab+b

　　=2a 2+4ab+2b 2-2a 2

　　　-2ab -2ab -2b 2=0

故 为V 的线性变换, 从而可知 为V 的正交变换。

　　定理2　欧氏空间V 的一个变换 是正交变换的充分且必要条件是 为可逆变换, 且 是正交变换。

证明　设 是欧氏空间V 的正交变换, 对于任意 , ∈V 且 ≠ . 若 ( ) = ( ) 则有 ( - ) =0于是==0

因而 - =0, 即 = 这与 ≠ 矛盾, 故 ( ) ≠ ( ) , 即 是可逆变换.

下面再证明 是正交变换, , ∈V, ==, 　1998年10月9日收稿-1-1-1-1-1-12222

　　因而 是正交变换。

条件的充分性证明较易, 这里从略。

我们知道, 欧氏空间V 的保长度变换(即保持任意向量长度不变的变换) 不一定是正交变换。因为保持向量长度不变的变换不一定是线性变换。例如在欧氏空间R n (按通常内积的定义) 中, 定义变换: (x 1, x 2, …, x n ) =( x 1 , x 2 , …, x n ) 易知 不是线性变换; V 的保夹角变换(即保持V 中任二非零向量的夹角不变的变换) 也不一定是正交变换, 例如V 的位似变换 ( ) =K , K ∈R , k ≠0, ±1. 但我们有

定理3　欧氏空间V 的一个变换 是正交变换的充分且必要条件是 既是保长度变换又是保夹角变换。

证明　如果V 的变换 既是保长度变换又是保夹角变换, 那么, 对于 , ∈V , 当 ≠0≠ 时, 由 ( ) = , ( ) =

　　　=得　=〈 , 〉 ( ) ( )

当 , 中至少有一个零向量时上式显然成立, 故由定理1的证明, 是V 的一个正交变换条件的必要性较易, 这里从略。

推论4　欧氏空间V 的一个变换 是正交变换的充分且必要条件是 保持两向量的距离和夹角不变。

下面, 我们再给出欧氏空间V 的一个变换是正交变换的充分且必要条件, 为此先引入引理5　设 是欧氏空间V 的一个变换, 是对称变换的充分且必要条件是:对于任意 ,

) , >= ∈V , 都有

证明　条件的必要性从略, 仅证条件的充分性。

因为=, 所以对于V 中向量 , , 有

22==

22==+-1

=+=

=

=+=+

=

于是

=-2+

=2-2=0

得　 ( + ) -( ( ) + ( ) =0, 故　 ( + ) = ( ) + ( )

又由　

　　=-2k +K 2

2　　=-2k+k 2

　　=k-2k +k

2　　=k -k 2

2　　=K 2-K 2=022222(下转第65页) 　　

不产生其他影响。实际上自然界中一切不可逆过程都是相互关联的, 都是等效的。任何事物在一定条件下总具有逐步丧失运动能力和生命力的趋势。

热力学第二定律和热力学第一定律一样, 都是在人们的生活实践中总结归纳出的普遍规律, 它的理论以及它的推论被一切实验和具体实践证明是正确的。

热力学第二定律是对热力学第一定律的补充, 它们是各自独立的。

热力学第一定律表明了不同运动形式可以相互转化, 在运动和转化过程中能量具有不灭性, 但它并没有指明过程进行的方向以及转化的限度。实际上运动形式的多样性决定了转化过程的复杂性, 并不是所有的转化都可以实现。因为这些转化要受到热力学第二定律的制约。从热力学过程的不可逆性这个侧面, 反映了自然界中发生的过程具有一定的限度和方向, 表明了与热现象或热运动形式相关的能量转化有着不同的特点。

以热力学第一定律和热力学第二定律为基础构成的热力学, 其规律是建立在有限空间和时间所观测的宏观系统的现象上的, 对小量粒子的微观体系不适用, 也不能将其外推到整个宇宙中, 因为热力学的孤立系统与无所不在的整个宇宙有着本质的区别和巨大数量的差异。

热力学定律的发现是19世纪物理学的重大成果, 表明了物理学的又一次大的综合。不仅对自然科学的发展提供了坚实的基础, 而且对辩证唯物史观提供了证据。宣布了第一类永动机(不需要动力便能不断对外作功的机器) 的死刑, 并对第二类永动机也做了科学的判决。

热力学是热学中的重要组成部分, 其间热力学定律是重点掌握的内容, 有进一步深化理解的必要。

参考资料

〔1〕《热学》高等教育出版社李椿等编, 1985年

〔2〕《热力学·统计物理学》高等教育出版社汪志诚编, 1983年

(上接第45页)

　　从而　D (kN ) -) =0, 故D (kN ) =kD (N ) , 这里k ∈R kD (N

所以变换D 是V 的线性变换, 因而是V 的对称变换。

定理6　设D 是n 维欧氏空间V 的一个变换, 且D =I, I 是单位变换. D 是正交变换的充分且必要条件是:对于任意N , G ∈V , 都有=

证明　D是n 维欧氏空间V 的一个变换, 对于任意N , G ∈V, 都有=, 根据引理5, D 是V 的对称变换。

设D 关于V 的某个标准正交基的矩阵为A , 那么, D 是对称变换ZA 是对称矩阵; D 2=I Z 2A =I , I 是单位矩阵。

2因为A 是对称矩阵, 且A 2=I , 所以A øA =A =I , 因而D 是正交变换。

条件的必要性证明较易, 这里从略。2