民航客机起飞问题

东北大学第十届东软杯大学生数学建模竞赛暨 2012年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛

参赛队编号：（ ）

选择题目：√A B

A题 民航客机起飞问题

民航客机不同于军事使用的战斗机，由于大多乘客都没有经过严格的飞行员训练，因此民航客机的驾驶有其特殊性。由于飞机起飞和降落的技术性能要求，飞机场的大小有一定限制。飞机在起飞时必须达到一定的速度以产生飞机起飞所需要的升力，由于乘客的特殊性飞机的爬升高度不能变化太快。

问题：以某型民航飞机为例，建立数学模型，设计飞机起飞时直至达到预定高度为止的航迹(飞机在空中形成的飞行轨迹)，包括在各个时刻对应的飞行速度。

摘要

本问题考虑到飞机起飞过程中所受力的变化，通过受析，确定飞机起飞力分过程中的速度，为了方便起见，将飞机的速度分为水平速度和垂直速度，这样大大降低了求解的难度。

受力分析后，主要问题是确立各方向的力，水平方向上较为简单，在竖直方向上，由于大气压力的变化，受力较为麻烦，对此巧妙的设计并运用了指数分布的模型，确定了飞机的浮力。

在解决速度问题时，由于速度关系式较为复杂，采用了微积分与非线性方程的模型解法，对高阶无穷小进行了适当的取舍，保证结果正确性的同时化解了计算过程。一阶非其次微分方程的解发显得尤为重要。

在函数处理中几何画板作用显著，在分析飞机起飞路径的过程中，通过给几何画板输入函数，成功的模拟了。飞机起飞的过程，为求的正确结论奠定了基础，求得的函数的正确性得以模拟。

在竖直方向上速度假设为二次函数，这与题目的要求极其吻合，飞机竖直方向的飞行速度的变化率控制在一定的范围之内

关键字

飞机 速度变化率 大气压力 路径 速度

1：问题提出

当今日常生活中飞机以成为主要的交通工具，然而飞机却也并非十分安全，

安全事故也时有发生，以南航为例：1997年5月8日,执行重庆至深圳3456航班中国南方航空有限公司深圳公司波音737—300型B2925号飞机,在着陆过程中失事。机上旅客65人,死亡33人,空勤组9人,死亡2人 ；2010年7月17日南方航空股份有限公司一架客机CZ3496航班从昆明飞往郑州，起飞后20多分钟，飞机突然出现故障，飞行员紧急将飞行高度从7000多米降到3000米以下，飞机在空中盘旋了一个多小时后返航，幸运的是无人员伤亡。在未来的社会生活中，飞机的交通地位会更加重要，选择合适的起飞路径尤为重要。建立适当的数学模型，确定飞机起飞过程中各方向的速度,再根据流体力学和动力学就可以求解.为了让车乘客满意,速度的选择用到了最优化问题的处理方法.

2：问题分析

飞机起飞直至达到预定高度过程中，如果起飞速度一定，那么在起飞过程中飞机所受的力决定飞机各方向的速度。先要知道流体力学中的一个基本原理“伯努利效应”：流速与压力成反比。即空气流动得越快，空气的压力就越小，反之亦然。由此，向前飞行的速度可以确定飞机所受的浮力，从而确定飞机的高度以及各位置的速度。以波音737-300客机为例，确定飞行速度。

1、对于某一位置的速度，从前一位置的速度受力到该位置的速度,可以分解为水平方向的速速和铅垂方向的速度.水平方向的速度可由在该时间段内水平方向的位移进行微分得到,铅垂方向的位移可由铅垂方向的位移微分得到.在确定速度范围的问题上 .因为速度的变化是连续的,所以选择微分法.相似地,想到了雨中行走问题的数学模型[1].从起飞到达到最大高度过程中,运用微积分方法的数学模型,确定在该过程中速度的变化范围.

2、确定了速度变化范围之后,需要确定从飞机起飞到达到最大高度的过程中每一位置的具体速度,很显然,这是一个优化问题.飞机的速度受到大气压力和前进速度的影响,,在前进速度不变条件下,飞机高度越高,大气压力越小,因为飞机受到向上的力不发生变化,所以上升速度加快;在压力不变的条件下,飞机的前进速度越快,上下表面的压力差越大,受到向上的力越大,向上的速度变化率也就越大,反之亦然.由此,确定过程中每一时刻的速度可归结为一定约束条件下的非线性规划问题.与其相似的数学模型有零件的参数设计.

3、模型假设

1、假设飞机起飞过程不受天气的影响；

2、飞机自身重量与载重之和保持不变，即起飞过程中总重量保持不变，对于波音737-300取50吨；

3、跑道与起飞过程的路线在同一平面内，跑道水平且足够长；

4、地面大气压强为标准大气压，同一高度上压强保持不变，在铅垂高度上压强均匀变化；

5、温度的影响忽略不计；

4、模型设计

符号说明

f（x）------水平方向的阻力； f（y）———-飞机受的浮力 F --------飞机动力 ； mg -------飞机受到重力； m -------飞机重力 ； a -------待定常数；

a（x） ------水平方向的加速度； a（y） ----- 铅垂方向的加速度 g -------重力加速度 v（x）-------水平方向的速度 v（y） ------竖直方向的速度； y------大气密度随高度的变化 s ------飞机机翼面积 p-----机翼上下表面压强差

by -------高度y下飞机的升力系数

模型设计

以跑到方向为X轴竖直方向为Y轴建立坐标系 假设在Y方向上按照二次函数变化；

在确定速度前,先确定大气密度随高度的变化,根据收集的大气比重分布情 况 ,可以近似的把大气密度分布看作是指数分布.即 y0e可以求出飞机所受的浮力.

微积分方程及非线性方程建立模型：波音737-300 取质量50吨，动力F取80000N【2】

在起飞过程中,任意时刻,任意位置,对飞机进行受力分析

0y

从而

F可以认为是衡量。水平速度与空气阻力的关系 fxa*vx*vx （1）

飞机浮力与水平速度的关系 fybps （2）

铅垂加速度 ay ay 水平加速度 ax ax

fyg （3） m

dvy （4） dt

dvx （5） dt

Ffx （6） m

由（3）——（6）联立求出速度方程。求得的方程并不能唯一确定速度。 达到最高高度时，铅垂方向合理为零，即f（y）=mg，粗略估计出速度的范围。

5、模型解法与结果

分

析搜集到的

数据、图标

【4】

假设y指数分布，根据图标中的数据得到 y0e地面附近空气密度为 01.29kg/m3

0y

所以 

y1.29e

1.29y

对于高度方向上压强差的计算，可以通过公式pyy*vx*vx/2来计算即 py1.29e

1.29y

*vx*vx/2

2

机翼面积 s2*机翼长*飞机宽2*28.9*33.41930.52m 【2】所以

fybpsb1930.52*1.29e

1.29y

*vx*vx/21245.2be

1.29y

vx （7）

2

波音737-300 取质量50吨 ， 动力F取80000N 初速度取350km/h=97.22m/s【2】

飞机起飞前，只有水平方向的速度，竖直方向的速度由零增大，然后再减小的零。

由公式（1）---（6）化解得到方程组

dvytdt



1245.2be

1.29

vx

2

50000

9.8； （8）

dxtdt



80000axt50000

（9）

由起点，最高点等结合特殊点可求解

对与上述方程组，求解用非线性方程的迭代法求解【3】 在临界状态时，ay00，0

1245.2be

1.29

t

2

50000

9.8；

所以0

1245.2be

1.29

vt

2

50000

9.8；

解的b00.01167

显然在起飞刚开始与起飞刚结束是飞机竖直方向的速度都为零 已知波音737-300飞行的高度为y=11280米 在最高点进行分析：

近似地，在最高点速度取为：vxt262.5km.h72.92m/s 由平衡条件 avx

tF

2

解得：a1.61

所以

dxtdt



800001.16xt

50000

（10）

1.16

记 50000

qx1.6

px

dxtdt

将（10）化解得到

pxvxqx；

pxdtpxdtpxdtdt 其通解为vxtCeeqxe

解得：（C为常数）

vtCe

x

1.16

t50000

e

1.16

t50000

1.6e



1.16

t50000

dt

CeCe

1.16

t50000

1.16

500001.161t 50000500001.6*ee1.161.161.16

1t50000

68965.52ee50000



1.16

t50000

在刚起飞时速度即v0350km/h97.22m/s，代入得C=97.22m/s

所以

vt97.22e

x

1.16

t50000

1.161.16

1t50000

68965.52ee50000



化解，近似取值，可以将vxt24.3e

1.1650000

72.92

考虑到时间轴的变化过慢，所以下图将时间缩小100倍作图

dvytdt



1245.2bye

1.29y

t

2

50000

1.16

t50000

9.8 （11）

将vxt97.22e

1.161.16

1t50000

68965.52ee50000 代入（11）得到



dvytdt

1245.2bye

1.161.161.16t1t1.29y97.22e5000068965.52e50000e50000

2





50000

9.8

1.161.161.16

t1t 1.29y[**************]1245.2bye97.22e68965.52eet

vyt9.8dt

050000

2

经过适当的计算，省去极小部分得到:

vyt2.81*10e

1418

1.16

t50000

9.193*104t2.81*1012byc5.92*1012t5.11*1017bye1.29y

vyt5.11*10*e

2.32

t50000

其中，by是有飞行员控制，由于飞行员水平有限，所以应该使得by尽量简单。

起飞前临界时刻， b00。01167；（前面以求的） 假设 vyky5000025000000k

2

ay2ky5000amax取重力加速度9.8 ay2k100005000amax9.8

k9.8*104

所以vy9.8*104y5000024500

2

有vy， vtt结合可知

by xvxdt

0t

yvytdt

t

近似的得到y

e

5001

1

e6.5x1



6、模型结果的分析和检验

由于该模型忽略了天气条件、温度条件等众多客观条件，在计算模型过程中多次取约数，这些都会对结果造成影响，特别是在有风、下雨等天气下，对飞机起飞造成的影响更是明显。

根据资料视屏，粗略估计出的路线与所求结果基本吻合，可以证明所建模型是正确的。

9、模型的评价

优点

1、模型巧妙的运用了微积分法及非线性方程建模，使得速度及加速度的求解变得轻松；

2、在解决压力问题时用指数分布规律，运用概率的知识，不仅简化了计算，而且结果与实际结果非常温和，

3、对飞机的起飞速度巧妙的分解，简化了速度的计算过程，对于确定飞机的起飞路线有了极其重要的作用；

4、解模型的过程中，巧妙的运用了微积分知识，对于高阶无穷小量的恰到好处的处理，简化结果的同时没有影响计算结果；

缺点：对过程的设计过于理想化，外界条件的影响因素考虑过少。

改进方法：1：结合更多的实际资料，更多的考虑到不良影响因素包括天气、 人为因素、自然因素。2、对过程进行分段处理，细化问题，有利于提高结果的精确度。

参考文献

【 1 】 熊启才，草吉利，张东生等。数学模型方法及应运。重

庆大学出版社：2005年;76—77

【2】 波音737-300客机基本参数【EB/QL】

http://baike.baidu.com/view/93546.htm#5

【 3 】 郭大熊，数学建模。安徽教育出版社：2009年二月第一版 56——61.

【4】 大气层密度与高度关系【EB/QL】

http://wenku.baidu.com/view/1311adef5ef7ba0d4a733b87.html

附录

.波音737-300基本参数：

翼展：28.9米

机长：33.4米

经济布局载客：149人 货舱容积：30.2立方米 最大商载：16吨 最大油箱容量：20105升 最大起飞总重：62吨 最大载重航程：2993公里 最大燃油航程：4175公里 动力装置：两台CFM56-3涡扇发动机（最大推力：22000磅）

最高飞行高度（米）11280

各高度气体比重图