高一数学创新题型探究

高一数学创新题型探究

贵州 洪其强

一、建构数列型

数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题．

例1 （2003年朝阳区高三统一练习（二））2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.

（Ⅰ）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a 1=

4

，经过n 年后绿化的面积 10

为a n +1, 试用a n 表示a n +1；

（Ⅱ）求数列{a n }的第n +1项a n +1；

解析：（Ⅰ）设现有非绿化面积为b 1，经过

n 年后非绿化面积为b n +1. 于是

a 1+b 1=1, a n +b n =1. 依题意：a n +1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a n 减去被

9882

a n 后剩余的面积a n ，另一部分是新绿化的面积b n . 于 是[**************]92a n +b n . =a n +(1-a n ) =a n +. a n +1=[**************]5

924944

a n +, a n +1－=－(a n -). , 数列{a n -是公比为9, 首项 （Ⅱ）a n +1=

[1**********]

4442429a 1-=-=-的等比数列. ∴a n +1=+(-)() n

510555510

非绿化部分

二、信息迁移型

信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．

信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、 图形图像信息型等. 1．定义信息型

例2 （2001上海22）对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0) ； ②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1) ，并依此规律继续下去. 现定义f (x ) =

（1）若输入x 0=

4x -2

x +1

49

，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； 65

（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；

（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.

解析：（1）∵f (x ) 的定义域D =（–∞, –1) ∪(–1,+∞)

∴数列{x n }只有三项，x 1=（2）∵f (x ) =

111

, x 2=, x 3=-1 195

4x -2

=x , 即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时 x +1

x n +1=

4x n -2

=x n ，故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *）

x n +1

4x -2

，得x ＜–1或1＜x ＜2 x +1

（3）解不等式x

要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数f (x ) =

4x -26

=4-，若x 1＜–1，则x 2=f (x 1) ＞4，x 3=f (x 2) ＜x 2； x +1x +1

若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1) ＞x 1且1＜x 2＜2，依次类推可得数列{x n }的所有项均满足x n +1＞x n

*

（n ∈N ）

综上所述，x 1∈(1,2)，由x 1=f (x 0), 得x 0∈(1,2). 2．图形、图像信息型

例3 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图1所示的一条件线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如下图2所示的抛物线段表示.

(1)写出如图1所示市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；写出如下图2所示种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

2

(注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg ，时间单位：天)

图1

图2

⎧300-t , 0≤t ≤200, 1⎨

2

解析：(1)f(t)=⎩2t -300, 200

(2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，

⎧121175-t +t +, 0≤t ≤200, ⎪⎪20022⎨

⎪-1t 2+7t -1025, 200

1

2

当0≤t ≤200时，配方整理得h(t)=-200(t-50)+100，

所以，当t=50时,h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方

1

2

整理得h(t)=- 200(t-350)+100

所以，当t=300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5

综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

三、函 数 与 数列的综合型

函 数 与 数列综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值同时这类问题在高考中频频出现, 是历年高考试题中不容忽视的一个考点。

例4 已知函数f (x )=

a x a +a

x

（ａ＞０，ａ≠１）．

(1) 证明函数f (x ) 的图象关于点P ((2) 令a n ＝

11

, ) 对称． 22

２a f (n )

，对一切自然数n ，猜想使a n ＞ｎ成立的最小自然数a 。

f (1-n )

解析: (1)关于函数的图象关于定点P 对称, 可采用解几中的坐标证法. 设M (x , y ) 是f (x ) 图象上任一点，则M 关于P (

11

, ) 的对称点为M ’（１－ｘ，１－ｙ），22

a 1-x a 1-x +a

=a

x

a a +a ⋅a x

x

=a

a a +a x

∴f (1-x ) =1-y

1-y =1-

a +a

=

a +a

x

∴Ｍ′(1-x ,1-y ) 亦在f (x ) 的图象上， 故函数f (x ) 的图象关于点P (

11

, ) 对称. 22

ｎ

(2)将f (n ) 、f (1-n ) 的表达式代入a n 的表达式，化简可得a n ＝ａ猜a =3, 即3

ｎ

＞ｎ

２

．

四、环境保护型

例5 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g (t ) 表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )=

-t p ［g (0)- ］·e v (p ≥0), 其中，g (0)是湖水污染的初始质量分数.

r

r

p +r

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；

（2）求证：当g (0)

p

时，湖泊的污染程度将越来越严重； r

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？

解析 （1）∵g (t ) 为常数, 有g (0)-(2) 我们易证得0

-t 2-t 2-t 1-t 1p p p v 1v v

g (t 1)-g (t 2)=［g (0)- ］e -［g (0)- ］e =［g (0)- ］［e -e v 1］=

r r r

r t 2v

r t 1v

p p

=0, ∴g (0)= . r r

r

r r r

［g (0)-

p (e

］r

-e )

e

r

(t 1+t 2) v

,

t 2t 1p v 1

∵g (0)·e v , ∴g (t 1)

r

r r

.

故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重. (3)污染停止即P =0，g (t )=g (0)·e

r

r -t v

, 设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平

-t 1v

5%即g (t )=5% g(0) ∴=e v ，∴t = ln20，

20r

故需要

v

ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%. r

五、估测计算型

例6 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：

张先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)张先生家每月应还款多少元?

(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?

144144180

(参考数据：1.004455＝1.8966，1.005025＝2.0581，1.005025＝2.4651) 解析 设月利率为r ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月 第1月末欠款数 A (1＋r ) －a

第2月末欠款数 [A (1＋r ) －a ](1＋r ) －a ＝ A(1＋r ) －a (1＋r ) －a

2

第3月末欠款数 [A (1＋r ) －a (1＋r ) －a ](1＋r ) －a ＝A (1＋r ) 3－a (1＋r ) 2－a (1＋r ) －a ……

第n 月末欠款数 A (1+r ) n -a (1+r ) n -1-a (1+r ) n -2- -a (1+r ) -a =0

r

得：a =A (1+r ) n ⨯

(1+r ) n -1

对于12年期的10万元贷款，n ＝144，r ＝4.455‰

2

0. 004455

=942. 37

1. 004455-1

对于15年期的15万元贷款，n ＝180，r ＝5.025‰

∴a =100000⨯1. 004455144⨯

0. 005025

=1268. 22 180

1. 005025-1

由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．

(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款

∴a =150000⨯1. 005025180⨯

432

X =A (1+r ) 14-a (1+r ) 14-a (1+r ) 14- -a (1+r ) -a

其中A ＝150000，a ＝1268.22，r ＝5.025‰ ∴X ＝41669.53 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．

六、类比归纳型

给出一个数学情景或一个数学命题，要求我们发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题，或者根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律。

例7 已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，f () =-1且满足x 、y ∈（－1，1） 有

12

x +y

f (x ) +f (y ) =f () ．

1+xy

（1）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数； （2）对数列x 1=

2x n 1

, x n +1=, 求f (x n ) ； 221+x n

（3）求证

1112n +5++ +>-. f (x 1) f (x 2) f (x n ) n +2

解析 （1）令x =y =0, 则2f (0) =f (0), ∴f (0) =0

令y =-x , 则f (x ) +f (-x ) =f (0) =0, ∴f (-x ) =-f (x ) 为奇函数.

（2）f (x 1) =f (1) =-1， f (x n +1) =f (2x n ) =f (x n +x n ) =f (x n ) +f (x n ) =2f (x n ),

2

21+x n ⋅x n 1+x n ∴f (x n +1) =2. 即{f (x )}是以－1为首项，2为公比的等比数列．

n

f (x n )

∴f (x n ) =-2n -1.

2f (x 1) f (x 2) f (x n ) 221

++ +=-(1++2+ +n -1) 1-n （3） =-(2-1) =-2+1>-2, =-n -1n -1

1-2

2

2

而-2n +5=-(2+1) =-2-1

n +2

n +2

n +2

f (x 1)

f (x 2)

f (x n )

>-

2n +5

. n +2

七、探索性问题型. 1. 条件探索型：给出了题目的结论, 但没有给出满足结论的条件, 并且这类条件常常是不唯一的，需要通过逆向思维，从结论出发去判断, 并通过推理予以确认。这种条件探索性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件和充要条件.

例8 为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各满足什么条件时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？

解析：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =数) 其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60，即b =

记u =ab =

k

(k ＞0为比例系ab

30-a

, 2+a

(30-a ) a

(0＜a ＜30) ，则要求y 的最小值只须求u 的最大值.

2+a

64-(a +2) 2

由u '=，令u ′=0得a =6 2

(a +2)

0＜a ＜30 ∴当0＜a ＜6时，u ′＞0，即u 在（0, 6）上是增函数；当6＜u ＜30时

u ′＜0, 即u 在（6, 30）上是减函数。

(30-a ) a

在a =6时取得最大值，此时b =3.

2+a

k

从而当且仅当a =6，b =3时, y =取最小值.

ab

∴u =

2．结论开放型：给出一定的条件, 要求从条件出发去探索结论, 而结论往往是不唯一的, 甚至是不确定的。解这类题需要从已知条件出发, 运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论.

例9 有两个不是常数数列的等差数列{an }和等比数列{bn }，且a 1=b1=l，那么它们最多有多少个对应项的值相等? 你能举出具体的例子吗?

解析：根据题意，要找出有多少个对应项的值相等，可以分别设等差数列{an }和等比数

n-1

列{bn }的通项为a n =1+(n-1)d (公差d ≠0) ． bn =q(公比q ≠0，1) ．

n-1

由对应项的值相等a n =bn ，有1+(n-1)d = q

n-1

设y 1=1+(n-1)d (d≠O) ，y 2= q (q≠0，1) ．则函数y 1的图象是直线上自变量取正整数的点；函数y 2的图象是指数函数的图象右移1个单位，且自变量取正整数的点．显然两者的图象均过点(1，1) ．

当q>0且q ≠1时，

①若d>0，y 1单调递增，则仅当q>l时，y 1与y 2可能再有交点，且最多再有一个交点；②若d

n-1n-1n-1

当q

综上所述，两数列中对应项相等的项不超过3个．

八、建构函数型

解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用． 例10 一位救生员站在边长为100米的正方形游泳池ABCD 的A

A 处（如图），发现C 处有一位溺水者．他跑到E 处后，马上跳水沿直线EC 游到C 处，已知救生员跑步的速度为米v ／分，游泳E

的速度为

v

米／分．试问，救生员选择在何处入水才能最快到2

达C 处，所用的最短时间是多少？

解析：理解本题并不难：应该建立时间t （分）关于某个变

量的函数关系式，然后，通过求最值的方法来解决问题．

难点在于变量的选择，当然，我们可以选择以AE 的长度x （米）作为变量，但此时

x t = v 注意到：AE 和EC 的长度，可以方便的用角表示，不必用到根号，所以我们可以尝试以∠CEB 作为变量．

设∠CEB =α，则AE =100-100cot α, CE =

100

，所以， sin α

t =

100-100cot α200100⎛2-cos α⎫

+= 1+⎪

v v ⋅sin αv ⎝sin α⎭

⎫

⎪⎪⎛2α⎪1+3tan ⎪=100 1+

⎪v 2tan ⎪⎝2

⎪⎪⎭

⎛2α1-tan 2- 1+tan 2

100 =1+

v 2tan 1+tan 2⎝2

易证m =

⎫⎛⎫

⎪10050 1α⎪

++3tan ⎪ ⎪= v v 2⎪⎪ tan

⎭⎝2⎭

1tan

2

+3tan

α

2

在α∈(0π

3

]上是减函数，在α∈[

ππ

32

)上是增函

数。所以当且仅当α=

π

3

时，t 最小

=

10050．

+⨯=

v v

此时，AE =

100-

，t =．也即，救生员应该在

AB 边上距

B

100+米处入水，才能最快到达C 处，所用的最短时间为t =．

v 3