4-2换元积分法
第二节
第四章
换元积分法
一、第一类换元法(凑微分)
二、第二类换元法(代入法)
一、第一类换元法 (凑微分法) 定理1. 设 f ( u) 有原函数 F ( u) , u = ϕ ( x ) 可导 , 则有换元公式
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F[ϕ ( x)] + C
即
∫
f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )d x =
∫ f (ϕ ( x ))d ϕ ( x )
∫ f ( u)du
u = ϕ ( x)
= F ( u) + C = F [ϕ ( x )] + C
dx 例. 1) ∫ , x +1
dx 2) ∫ 2x + 1
1 1 d ( x + 1) 解: 原式 = ∫ ( x + 1)' dx = ∫ 1) x +1 x +1 u = x + 1 du = ln | u | +C = ln | x + 1 | +C ∫u 1 dx 1 =∫ (2 x + 1)' dx 2) ∫ 2x + 1 2 2x + 1 u = 2 x + 1 1 du 1 1 = ∫ d (2 x + 1) 2∫ u 2 2x + 1
1 1 = ln | u | +C = ln | 2 x + 1 | +C 2 2
dx , 2) 简化步骤. 1) ∫ x +1 dx 1 1 = x x + dx 解: ∫ 1) x + 1 = ∫ x + 1 (d (+ 1)'1) x +1
dx ∫ 2x + 1
du x + =∫ln | = ln |1 || +C u +C = u
dx 1 1 11 (2 x + 1)' dx 2) ∫ =∫ 2 x + 1 = 2 x + 1 2 d ( 2 x + 1)
∫ 2x + 1 2
1 u = 2 x + 1 1 du 1 ∫+ u | = C ln | u | +C = ln | 2 x 1 + 2 2
2
例. 1 )
∫ cos(2 x + 3)dx
∫
, 2 )∫ xe dx , 3 ) ∫ e dx
x2 −x
1 解:1 ) cos( 2 x + 3)dx = cos( 2 x + 3)d ( 2 x + 3) 2
∫
1 = sin( 2 x + 3) + C 2
盯准中间变量, 凑中间变量的微分
2
2 ) ∫ xe
−x
x2
1 dx = 2
1 x2 ∫ e dx = 2 e + C
x2
3 ) ∫ e dx = − ∫ e d ( − x ) = − e
−x
−x
+C
选择中间变量,凑中间 变量的微分 .
例1 求
∫ 3cos 3xdx
例2 求
= sin 3 x + C
∫
1 dx = ln | 3 x + 1 | +C 3x + 1 3
例1+. 求
(a x + b) m dx (m ≠ −1). ∫
1 = (ax + b) m +1 + C a (m + 1)
注: 当 m = −1 时
1 dx ∫ a x + b = a ln a x + b + C
例3 求
∫
x x 2 − 1dx
2
1 2 1 解: 原式 = ∫ x − 1 ⋅ dx = ∫ x 2 − 1 ⋅ d ( x 2 − 1) 3 2 2 3 2 ( x − 1) 2 1 2 + C. = ⋅ ⋅ ( x 2 − 1) 2 + C = 3 2 3
例4 求
1 解: 原式 = ∫ (sin 5 x + sin x )dx 2 1 1 = ∫ sin 5 xd(5 x ) + 2 ∫ sin xdx 10
1 1 = − cos 5 x − cos x + C 10 2
∫ sin 3 x cos 2 xdx
2 sin α cos β = sin(α + β ) + sin(α − β )
例6 求
∫ tan xdx
d cos x sin x 解: ∫ tan xdx = ∫ cos x dx = − cos x
∫
= − ln cos x + C
类似可得 例7 求 解:
∫ cot xdx = = ln sin x + C
∫
1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ dx 由于 2 = − 2 2 ⎜ ⎟ 2 x −a x −a 2a ⎝ x − a x + a ⎠
1 1 ⎛ 1 1 ⎞ ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ∫ ⎜ x − a − x + a ⎟dx ⎝ ⎠ 1⎛ 1 1 ⎞ = 1 ⎡ 1 d(x − a) − 1 d(x + a)⎤ = ⎜∫ dx − ∫ dx ⎟ ∫ x+a ⎥ 2a ⎢∫ x − a ⎣ ⎦ 2a ⎝ x − a x+a ⎠ 1 1 x−a = (ln x − a − ln x + a ) + C = ln +C 2a x + a 2a
例8 求 ∫ a 2 − x 2 解: ∫
1 =∫ 2 2 a a −x dx
dx
(a > 0)
dx ⎛x⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠
2
=∫
d
x a
2
⎛ x⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠
x = arcsin + C a
dx 例. 求 ∫ 2 . 2 a +x 1 x 1 dx dx = 2∫ = arctan( ) + C 解: ∫ 2 x a a a2 + x2 a 1 + (a)
例9 求
csc xdx ∫
dx dx =∫ 解: ∫ csc xdx = ∫ x x sin x 2sin cos 2 2
x x d d tan 2 2 x =∫ =∫ = ln tan + C x
2x x 2 tan cos tan 2 2 2 x 因为 2 x sin 2 sin x 2 = 2 = 1 − cos x = csc x − cot x tan = 2 cos x sin x sin x 2
故
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
例. 求
∫ sec xdx .
π
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
解1: 由于 cos x = sin( x + ) ,可得 2 1 ∫ s ec xdx = ∫ cos xdx = ln s ec x + tan x + C 解2: ∫ sec xdx = ∫
2
sec x(sec x + tan x) dx sec x + tan x
d (tan x + sec x ) sec x + sec x tan x =∫ dx = ∫ sec x + tan x sec x + tan x
= ln sec x + tan x + C
cos 2 xdx 例10 求 ∫
解:
1 + cos 2θ 1 − cos 2θ 2 cos θ = , sin θ = 2 2
2
1 + cos 2 x 1 ∫ cos xdx = ∫ 2 dx = 2
2
( ∫ dx + ∫ cos 2 xdx )
x sin 2 x 1 1 +C = ∫ dx + ∫ cos 2 xd (2 x) = + 2 4 2 4
类似可得
x sin 2 x ∫ sin xdx = 2 − 4 + C
2
dx . 例3+. 求 ∫ x (1 + 2 ln x) dln x 1 d(1 + 2 ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1 + 2 ln x 2 1 + 2 ln x 1 = ln 1 + 2 ln x + C 2
例4+. 求
∫
e
3 x
x
dx .
3 x
解: 原式 = 2 ∫ e
2 3 x d x = ∫ e d(3 x ) 3
2 3 = e 3
x
+C
例5+. 求 ∫ sec 6 xdx . 解: 原式 =
∫ = ∫ (tan 4 x + 2 tan 2 x + 1) dtan x 量 . 先凑微分,再找中间变
2 3 1 5 = tan x + tan x + tan x + C 3 5
sec 4 xd tan x = ∫ (tan 2 x + 1) 2 d tan x
例6+. 求 解法1
dx ∫1+ ex .
dx d(1 + e x ) (1 + e x ) − e x ∫ 1 + e x = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x = x − ln(1 + e x ) + C
解法2
−x −x dx d(1 + e ) e ∫ 1 + e x = ∫ 1 + e − x dx = − ∫ 1 + e − x = − ln(1 + e − x ) + C
− ln(1 + e − x ) = − ln[e − x (e x + 1)] 两法结果一样
例8+. 求
∫
x3 (x + a )
2 2
3 2
dx .
1 x 2 dx 2 1 (x2 + a2 ) − a2 2 dx 解: 原式 = ∫ 2 3 = ∫ 3 2 (x + a2 ) 2 2 (x2 + a2 ) 2 1 2 2 −12 d( x 2 + a 2 ) = ∫ (x + a ) 2 a2 2 2 −3 2 d( x 2 + a 2 ) − ∫ (x + a ) 2 a2 +C = x2 + a2 + 2 2 x +a
内容小结
凑微分法
∫
f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )d x =
∫ f (ϕ ( x ))d ϕ ( x )
u = ϕ ( x)
∫ f ( u)du
= F [ϕ ( x )] + C
例9+ . 求 ∫ cos 4 x dx .
4
1 + cos 2 x 2 解: ∵ cos x = (cos x) = ( ) 2 = 1 (1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x) 4
2 2
= 1 (1 + 2 cos 2 x + 1+ cos 4 x ) 4 2 = 1 ( 3 + 2 cos 2 x + 1 cos 4 x) 4 2 2 ∴ cos 4 x dx = ∫
1 4
( 3 + 2 cos 2 x + 1 cos 4 x) dx ∫ 2 2
= 1 [ 3 ∫ dx + ∫ cos 2 x d(2 x) + 1 ∫ cos 4 x d (4 x) ] 4 2 8
3 1 = 8 x + 1 sin 2 x + 32 sin 4 x + C 4
例10+. 求
sin 2 x cos 2 3 x dx . ∫
解: ∵ sin 2 x cos 2 3 x = [ 1 (sin 4 x − sin 2 x)]2 2
= 1 sin 2 4 x − 1 ⋅ 2 sin 4 x sin 2 x + 1 sin 2 2 x 4 4 4 =
∴原式 =
1 (1 − cos 8 x ) 8 1 4
− sin 2 2 x cos 2 x + 1 (1 − cos 4 x) 8
1 dx − 64 ∫ cos 8 x d(8 x) ∫
−1 2
1 sin 2 x d(sin 2 x) − 32 ∫ cos 4 x d(4 x) ∫ 2
1 1 = 1 x − 64 sin 8 x − 1 sin 3 2 x − 32 sin 4 x + C 6 4
例11+. 求
x +1 ∫ x(1 + x e x ) dx .
( x + 1) e x 1 1 dx = ∫ ( x − ) d( x e x ) 解: 原式= ∫ x x x e (1 + x e ) x e 1+ x ex
= ln x e x − ln 1 + x e x + C = x + ln x − ln 1 + x e x + C
1 1 1 1 + xe x − xe x 分析: =
x− x x = xe (1 + xe ) xe x (1 + xe x ) x e 1 + xe x
( x + 1)e x dx = xe x dx + e x dx = d( xe x )
例12+. 求 ⎡ f ( x) f ′′( x) f 2 ( x) ∫ ⎢ f ′( x) − f ′3 ( x) ⎣ 解: 原式 = ∫
⎤ ⎥ d x. ⎦
f ( x) ⎡ f ′′( x ) f ( x) 1− f ′( x ) ⎢ ⎣ ′2 ( x) f
⎤ dx ⎥ ⎦
=∫
f ( x) f ′ 2 ( x) − f ′′( x) f ( x) ⋅ dx 2 f ′( x) f ′ ( x)
f ( x) f ( x) =∫ d( ) f ′( x) f ′( x) 1 ⎡ f ( x) ⎤ 2 = +C ⎢ f ′( x) ⎥ 2⎣ ⎦
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
x d(2 ) dx d(4 + x) dx ( 2) ∫ = 1∫ =∫ (1) ∫ 2 2 x 4+ x 4+ x 4+ x 1 + ( 2)2 x d(4 + x 2 ) (3) ∫ dx = 1 ∫ 2 2 2 4+ x 4+ x 2 x 4 ( 4) ∫ dx = ∫ [ 1 − ]d x 2 4+ x 4 + x2 dx 1 [ 1 + 1 (5) ∫ ] dx 2 = 4∫ 2− x 2+ x 4− x dx d( x − 2) ( 6) ∫ =∫ 4x − x2 4 − ( x − 2) 2
2. 求
dx ∫ x ( x10 + 1) . 提示: 10 ) − x10 (x + 1 dx =∫ dx 法1 ∫ 10 10 x ( x + 1) x ( x + 1)
法2 法3
dx 1 d x10 ∫ x ( x10 + 1) = 10 ∫ x10 ( x10 + 1)
− 1 d x −10 dx dx ∫ x ( x10 + 1) = ∫ x11 (1 + x −10 ) = 10 ∫ 1 + x −10
二、第二类换元法(代入法) 第一类换元法解决的问题
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx = ∫ f (u )d u
难求 易求 若所求积分 ∫ f (u )d u 难求, 则得第二类换元积分法 .
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx 易求,
定理2 . 设 x = ψ (t ) 是单调可导函数 , 且 ψ ′(t ) ≠ 0 ,
f [ψ (t )]ψ ′(t ) 具有原函数 Φ(t ) ,
则有换元公式
∫
f ( x ) dx = ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) d t = Φ[ψ −1 ( x )] + C
其中 t = ψ −1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数 .
证: 因 f [ψ ( t )]ψ ′( t ) 的原函数为 Φ (t ) , 令 Φ′(t ) = f [ψ (t )]ψ ′(t ) F ( x) = Φ[ψ −1 ( x) ] 则
dΦ dt 1 F ′(x) = = f (x) ⋅ = f [ψ (t )]ψ ′(t ) ⋅ d t dx ψ ′(t )
∴
∫
f ( x) dx = F ( x) + C = Φ[ψ −1 ( x)] + C
例11 求
∫
2
xdx x−2
解: 被积函数中有 x − 2,则令 t = 即
x−2
x=t +2
2
(t > 0) ,此时 dx = 2tdt ,于是
∫
⎛ t3 ⎞ xdx t +2 2 =∫ 2tdt = 2 ∫ ( t + 2)dt = 2⎜ + 2t ⎟ + C ⎜3 ⎟ t x−2 ⎝ ⎠
再将 t = x − 2 代回后整理,得
∫
xdx
2 = ( x + 4)( x − 2) + C x−2 3
1 2
考虑
∫
3
xdx x−2
例12. 求
解: 令 x = a sin t , t ∈ (− π , π ) , 则 2 2
∫
a − x d x ( a > 0) .
2 2
a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sin 2 t = a cos t dx = a cos t d t
∴ 原式 = ∫ a cos t ⋅ a cos t d t = a 2 t + sin 2t )+ C =a ( 2 4
2
a
∫ cos
2
tdt
t
x
a2 − x2
2
x a −x sin 2t = 2 sin t cos t = 2 ⋅ ⋅ a a 2 x 1 a = arcsin + x a 2 − x 2 + C 2 a 2
2
例13. 求
x +a x = a tan t , t ∈ (− π , π ) , 则 解: 令 2 2
2 2
∫
dx
( a > 0) .
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec 2 t d t a sec 2 t d t = ∫ sec t d t ∴ 原式 = ∫ a sec t = ln sec t + tan t + C1
= ln [
x2 + a2 + x
x2 + a2
a
a
] + C1
(C = C1 − ln a )
t a
x
= ln[ x + x + a
2
2
]+ C
例14. 求
∫
dx x2 − a2
(a > 0) .
解: 当 x > a 时 ,令 x = a sec t , t ∈ ( 0 , π ) , 则 2
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a tan t dx = a sec t tan t d t
a sec t tan t d t = ∫ sec t d t ∴ 原式 = ∫ a tan t = ln sec t + tan t + C1 x = ln a +
x
t
a
x2 − a2
x −a a
2
2
2
+ C1 +C
= ln x + x − a
2
(C = C1 − ln a )
当 x a , 于是
∫
dx x2 − a2
= −∫
du u2 − a2
= − ln u + u 2 − a 2 + C1
= − ln − x + x 2 − a 2 + C1 = − ln a
2
2
− x − x2 − a2
2
+ C1
= ln x + x − a
x > a 时, ∫
+ C (C = C1 − 2 ln a )
2 2
dx x −a
2 2
= ln x + x − a
+C
说明: 被积函数含有 x 2 + a 2 或 三角代换外, 还可利用公式
x 2 − a 2 时, 除采用
ch 2 t − sh 2 t = 1 采用双曲代换 x = a sh t 或 x = a ch t
消去根式 , 所得结果一致 .
例15 求
∫
dx ( x 2 + a 2 )3
π
2
解: 利用三角公式 1 + tan 2 t = sec 2 t 设
x = a tan t −
π
,则 dx = a sec 2 tdt 2
( a 2 + x 2 ) 3 = a 3 sec 3 t
所以
∫
a sec 2 t =∫ 3 dt 3 2 2 3 a sec t (x + a ) dx
1 1 = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C a a
1 = 2 a
x x2 + a2
+C
例16 求∫
1 x x + 4x − 4
2
dx
(倒代换)
1 解 ,那么 dx = − 2 dt t 1 2 x + 4x − 4 = 1 + 4t − 4t2 , (t > 0) t
1 :设 x = t
∫
1 x x
2
+ 4x − 4
1
dx = − ∫
1 1 + 4t − 4t
2
2
dt
1 =− ∫ 2
2 − ( 2 t − 1)
d ( 2 t − 1 ) = − 1 arcsin 2
2t − 1 + C 2
1 = − arcsin 2
2− x + C 2 ⋅x
利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子x .
例19. 求
∫
1 t
解: 令 x =
a2 − x2 dx . 4 x dx = −21 d t ,则 t
a2 −
1 t4 1 t2
1 −1 2 2 ⋅ 2 d t = − ∫ (a t − 1) 2 t d t t
原式 = ∫
当 x > 0时 ,
2a
原式 = − 1 2
∫
1 (a 2t 2 − 1) 2
3 2
d(a 2t 2 − 1)
2 2
3 2
(a t − 1) (a − x ) =− +C = − +C 2 2 3 3a 3a x 当 x
2 2
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1) ( 2) (3) ( 4) (5)
∫
f ( x , n ax + b ) dx , 令 t = n a x + b
n a x + b ) dx , ( x , c x+d
∫f
令 t=
n a x +b c x+d
第 四 节 讲
∫ f (x , ∫ f (x , ∫
a − x ) dx , 令 x = a sin t 或 x = a cos t
2 2
a + x ) dx , 令 x = a tan t 或 x = a sh t
2 2
f ( x , x 2 − a 2 ) dx , 令 x = a sec t 或 x = a ch t
( 6)
∫
f ( a x ) dx , 令 t = a x
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
2. 常用基本积分公式的补充
(16) (17) (18) (19)
∫ tan x d x = − ln cos x ∫ cot xdx = ln sin x
+C
+C
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C ∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
(20) (21) (22) (23) (24)
x 1 1 d x = arctan + C ∫ a2 + x2 a a 1 x−a 1 ∫ x 2 − a 2 d x = 2a ln x + a + C 1 x ∫ a 2 − x 2 d x = arcsin a + C 1 d x = ln( x + x 2 + a 2 ) + C ∫ x2 + a2 1 2 2 d x = ln x + x − a + C ∫ x2 − a2
dx 例20. 求 ∫ 2 . x + 2x + 3 1 dx 解: 原式 = ∫ 2 d( x + 1) ( x + 1) 2 + ( 22 ) x +1 1 = +C arctan 2 2 dx 例21. 求 I = ∫ . 4x2 + 9 1 d (2 x) 1 解: I =
∫ = ln 2 x + 4 x 2 + 9 + C 2 ( 2 x ) 2 + 32 2
例22. 求
∫
dx
解: 原式 = ∫
1 + x − x2 d ( x − 1) 2 ( 25 dx
.
2x −1 = arcsin +C 5 ) 2 − (x − 1 ) 2 2 .
例23. 求 ∫
e2x − 1 d e− x = − arcsin e − x + C = −∫ 解: 原式 1 − e −2 x
例24. 求 解: 令 x
∫ x2
=1, t
dx x2 + a2
得
.
原式 = − ∫
t a t +1
2 2
dt
1 d (a 2t 2 + 1) 1 =− 2∫ = − 2 a 2t 2 + 1 + C 2a a a 2t 2 + 1 x2 + a2 =− +C 2 a x
例25. 求
∫ ( x + 1)3
=∫
dx x2 + 2x dx
.
令 x +1 = 1 t
解: 原式 = ∫
( x + 1) 3 ( x + 1) 2 − 1
1 t3 t2 (− 2 ) d t = − ∫ dt 1 −1 t 1− t2 t2
=∫
(1 − t 2 ) − 1 1− t
2
dt = ∫ 1− t d t − ∫
2
1 1− t2
dt
= 1 t 1 − t 2 + 1 arcsin t − arcsin t + C 2 2
=
1 x2 +2 x 2 ( x +1) 2
− 1 arcsin x1 1 + C 2 +
思考与练习
1. 下列积分中应使用何种代换
(1)
∫
x5 1+ x
2
dx
2
( 2)
∫
dx 1+ e
x
令 t = 1+ x
令 t = 1+ e
x
dx (3) ∫ x ( x 7 + 2) 1 令t= x
2. 已知
x 5 f ( x) dx = x 2 − 1 + C ,求 ∫
5
∫ f ( x) dx.
解: 两边求导, 得 x f ( x) =
x x2 −1
,则
1 ∫ f ( x) d x = ∫ x 4 x 2 − 1 (令 t = x ) − t 3 d t 1 ( 1− t 2 ) − 1 2 =∫ = ∫ dt 1− t2 2 1− t2 1 1 −1 1 2 2 2 2 −2 2 = ∫ (1 − t ) d (1 − t ) + ∫ (1 − t ) d (1 − t ) 2 2 3 1 −1 2 2 2 2 (代回原变量) = (1 − t ) + (1 − t ) + C = 3
dx
备用题 1. 求下列积分:
1 1 3 1) ∫ x dx = ∫ d ( x + 1) 3 3 x +1 x3 + 1 2 3 = x +1 + C 3 2x + 3 2) ∫ dx = ∫ − ( 2 − 2 x ) + 5 dx 1 + 2x − x2 1 + 2x − x2
2
1
2 − ( x − 1) 2 x −1 2 = −2 1 + 2 x − x + 5 arcsin +C 2
= −∫
d(1 + 2 x − x 2 ) 1 + 2x − x2
+ 5∫
d( x − 1)
2 sin x cos x 1 + sin 2 x 2. 求不定积分 d x. ∫ 2 2 + sin x 解: 利用凑微分法 , 得
原式 =
∫
1 + sin 2 x d(1 + sin 2 x) 2 2 + sin x
令 t = 1+ sin 2 x
2t 2 1 d t = 2 ∫ (1 − =∫ )dt 2 2 1+ t 1+ t = 2t − 2 arctan t + C = 2 [ 1 + sin 2 x − arctan 1 + sin 2 x ] + C
3. 求不定积分
∫ (1 + x
1
2
) 1− x
2
d x.
令 x = sin t , 1 + x 2 = 1 + sin 2 t , d x = cos td t 解: cos t 1 d t= ∫ dt 原式 = ∫ 2 2 (1 + sin t ) cos t 1 + sin t cos 2 t 分子分母同除以
sec 2 t 1 dt = ∫ =∫ 2 dtan t 2 2 sec t + tan t 1 + 2 tan t 1 1 = ∫ 1 + ( 2 tan t ) 2 d 2 tan t 2 1 2x 1 arctan +C = arctan( 2 tan t ) + C = 2 2 1− x2