圆锥曲线切线的性质
中学数学研究
3r2及Eu/er不等式R≥2r,有
s≤≤√4R2+4Rr+3r2<4/3R.
2003年第5期
≥0(因为R≥2r).
因此
∑n2—4/j△一∑(口一6)2一去∑(5一
利用二次函数的单调性,得
‘
口)(厂i二云一√一S一--;)2≥0.(3)式得证.
参考文献
[1]董林.F/rider—l-/adw/nger不等式的加强.中学教
研(数学),1999(8):27—28.
H(s)≥H(√4R2十4Rr+3r2)=28R2+14Rr
+4r2—8AR
f-4-再4Rr+3r2:
生【星二至£)(生星!±12星!£二!墨星[!=2[1228R2+14Rr+4r2+8、/jR/4R2+4Rr+3r2
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圆锥曲线切线的性质
安徽省含山中学
(238100)
孙儒元
文(1)和文(2)揭示了圆锥曲线中焦点、顶点和准线、过焦点弦之间的和谐关系,笔者读后深受启发,本文给出圆锥曲线切线的两个性质.
设』如:口螂以
【Yo=bsinO,
.‘.a2k2sin20+2abksinOcosO+bz‘菇口=O,
.‘.(aksinO+beosO)2=0。.・.aksin0+bcosO==0.
性质1椭圆茅+荔2
么FlPF2的邻补角的平分线.
证明设P(zo。Yo),过P点的切线z的方程为Y—yo=k(x—zo),
fY—Y0=k(z—zo),
1(口>6>o)的两
个焦点为F1、F2,过椭圆上任一点P的切线为
粕册≠0'灿一黜rl一糍,
口Sl∥
n‘vn。
z的方程为y~y。。===~鱼a二2墅yo(X--X0),整理得:
X一了0zV。掣二==l(*)
n。
D”
}了
由协知,
n‘
得
亲心
|l
/-
若sinO=二=O即惫不存在,此时z=一a或z=口.(*)式仍然成立
≮!
夕rx
~《+堕型字丝进:l。60
・・・过P(z。,如)的切线z方程鳄乒+y_602y
=1.
图1
整理得:(62+a2k2)z2+2五(蛳~如o)植2.z+
下面证明z平分么FlPF2的邻补角.F1(一c,0),F2(f,0),P(xo,Yo)(Yo≠O),
口2(yo一如o)2一a2b2=O,
△=4口4k2(yo~kxo)2—4a2(62+a2k2)[(.y0~如o)一b2]=O.
志开:=j怨渤。=;燕^一二口.b2:如xo,PF:
到l的角力a,zNPFl的角为p.
。。.(口2一z8)志2+2xoYo志+b2-y8=o
万方数据
・19・
2003年第5期
b2xo
Yo
中学数学研究
’.t撇一1纛垂葡b2YO
口。
切线方程她功=糍(一训,
即为:警~Y矿oYa
。
‘
XO
一f)
6_
21㈩
YO
6‘XO
若tan0=0,即是不存在时,切线方程为z=一口或z=a,(*)式仍成立.
.’.过e(xo,Yo)的切线方程为:
tan卢2=x01+c鬲'a2_yo
.‘.口=p.
1一a—2y量o(型x蝼o+虻c一)
一璺;羔i:!垒2兰i±鱼!兰业一鱼三
一(口2—62)zoYo+a2cyo—CyO’
警2一巡b2。1.
口
一上‘
下面证明切线Z平分么F1PF2.
若切线的斜率不存在时,切线z方程为z=a或。=一a,显然Z平分么F1PF2;
.‘.直线z为么F1PF2的邻补角的平分线.当z的斜率不存在,即yo=O时,切线方程为z=a或z=一a,结论显然成立.
故椭圆上任一点P的切线为么F1PF2邻补角的平分线.
若切线斜率存在时,此时y。≠。,愚=筹蠹
Vl(一c,0),F2(c,O),
性质2双曲线≤一芷t=1(口,>o)的两.2
么F1PF2的平分线.
b
惫腰,=兰,吨=jY乏O
PFl到l的角为a,l到PF2的角为卢,
b2xo
YO
焦点为F1、R,过双曲线上任一点P的切线为
证明设P(zo,Yo)为双曲线上的点,切线Z的方程为
Y—Y0=志(z—zo),fY~Yo=志(z—zo),
.・.tan口=_=a2y了。丽xo+-c
l+一a2y型o(xo艘+一c)
Y0XO—C
一』!兰i二堡!曼i±垒!堡Q一一.查三
一(G2十62)zoYo—a2cyo—CXo
b2xO
a2y0
由‘ka2一芷b2:,,
得主一照等~kxo)2孔
口。
6‘
图2
整理得(b2一a2k2)z2~2a2意(yo—kxo)z—a2b2~口2(3,o—ko)2=O,
1+孬b丽2xoyo一卫缝二监塑堡殳一壁
.‘.tanp=
一(口2+b2)互oYo—a2cyo~Cyo.‘.0t=p
.
△=4a4忌2(YO一如o)2+4a2(62一aZk2)[(3,o—
bo)2+b2]-O,
,.+.z为么F1PF2的平分线,故双曲线上任一点P的切线为么F1PF2的平分线.
参考资料
[1]姜坤崇:—道课本习题的引申.数学通报.1999.9.[2]缪华柱:圆锥曲线的几个性质.数学通报.2000.8.
.・.(z3一a2)愚2-2xoYok+厕+b2=o.
设fz。一口Sec护’
lYO=btanO,
.‘。口2k2t叫20~2口bksecOtana+b2see20=0.
.’.aktanO—bseeO=0.
当tall㈣时卢。裟=石b2a面secO=赢b2xo.
万方数据
圆锥曲线切线的性质
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
孙儒元
安徽省含山中学,238100
中学数学研究
STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG2003(5)1次
参考文献(2条)
1. 姜坤崇 一道课本习题的引申 1999(09)2. 缪华柱 圆锥曲线的几个性质 2000(08)
引证文献(1条)
1. 杨国平 圆锥曲线的切线性质的应用[期刊论文]-中学数学研究 2007(2)
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200305009.aspx