平行四边形的性质练习题(教师版)

平行四边形的性质练习题

一．选择题（共9小题） 1．（2014•天津）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ D ）

∴△DEF∽△BCF， ∴=

，

∵点E是边AD的中点， ∴AE=DE=AD， ∴=．

2．（2014•河南）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD

的长

是（ C ）

∴BO=DO，AO=CO， ∵AB⊥AC，AB=4，AC=6， ∴BO=

=5，

∴BD=2BO=10，

3．（2014•雅安）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S四边形ABCE为（ D ）

∴AE∥BC，AD=BC， ∴△FAE∽△FBC，

∵AE：ED=3：1， ∴=，

∴=，

∴S△AFE：S四边形ABCE=9：7．

4．（2014•台湾）如图，四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形，其中C、F两点分别在EF、GH上．若四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c，则关于a、b、c的大小关系，下列何者正确？（ D ）

解：连接EH， ∵四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形， ∴S△BDC=S△BDE，S△DEF=S△DEH， ∴四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c， 则a=b=c． 5．（2014•宿迁）如图，▱ABCD中，BC=BD

，∠C=74°，则∠ADB的度数是（ C ）

∴AD∥BC， ∴∠C+∠ADC=180

°， ∵∠C=74°， ∴∠ADC=106°， ∵BC=BD， ∴∠C=∠BDC=74°， ∴∠ADB=106°﹣74°=32° 6．（2011•达州）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ A ）

∥AD，与各边交点分别为E、

F、G、H，则图中面积相等的平行四边形的对数为（ A ）

∴△ABD的面积等于△BCD的面积， 同理△BFP的面积等于△BGP的面积，△PED的面积等于△HPD的面积， ∵△BCD的面积减去△BFP的面积和PHD的面积等于平行四边形PFCH的面积，△ABD的面积减去△GBD和△EPD的面积等于平行四边形AGPE的面积． ∴平行四边形PFCH的面积=平行四边形AGPE的面积， ∴同时加上平行四边形PHDE和BFPG，

可以得出平行四边形AGHD面积和平行四边形EFCD面积相等，平行四边形ABFE

和平行四边形BCHG面积相等．

所以有3对面积相等的平行四边形． 8．（2008•潍坊）在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（ C ）

边上的高是5y． 则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=

．

△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是•5y=4y． 则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=同理△D2C4D与△A4

BB2的面积是则四边形A4B2C4D2的面积是S﹣解得S=．

9．（2003•济南）如图所示，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，

2

DG=4cm，▱ABED的面积是36cm，则四边形ABCD的周长为（ D ）

． ﹣

﹣

﹣

=

，即

=1，

．

解：∵四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，▱ABED的面积是36cm，

2

∴▱AFCD的面积是36cm ∵AG=3，DG=4， ∴AG是平行四边形ABED的高，DG是平行四边形AFCD的高， ∴DE=AB=12，CD=AF=9， 又∵△AGD是直角三角形， ∴AD=BE=CF=5

如图，延长CD与BA延长线交于H，

可得CH=CD+DH=CD+AG=12，BH=ED+DG=16，

∵∠EDC=∠EGF=∠BAF=90°， ∴∠HAG=∠AGD=∠HDG=90°， ∴四边形AGDH是矩形， 即△BHC是直角三角形， 则BC=20， ∴ABCD周长为AB+BC+CD+DA=12+20+9+5=46． 二．填空题（共8小题） 10．（2014•无锡）如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，则AC的长等于

解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC=∴OA=

=

=2

，

，

又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=2OA=4． 11．（2014•无锡）如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则▱ABCD面积的最大值为 2 ．

解：由已知条件可知，当AB⊥AC时▱ABCD的面积最大， ∵AB=，AC=2， ∴S△ABC=

=

，

∴S▱ABCD=2S△ABC=2， ∴▱ABCD面积的最大值为 2． 12．（2014•安徽）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①∠

DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

解：①∵F是AD的中点， ∴AF=FD， ∵在▱ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF，

∴∠

DCF=∠BCD，故此选项正确； 延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD， 在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF， ∴FC=FM，故②正确； ③∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM， ∵MC＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF错误； ④设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x， ∴∠EFC=180°﹣2x， ∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x， ∵∠AEF=90°﹣x， ∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确． 13．（2014•娄底）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是

解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO， ∴OE=CD，

∵△BCD的周长为18， ∴BD+DC+BC=18，

∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，

14．（2013•安徽）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=

解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，

∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形， ∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB， ∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB， ∵EF为△PCB的中位线， ∴EF∥BC，

EF=BC，

∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，

∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2， ∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．

15．（2012•鄂州）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，sin∠BAE=，则CF=

．

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵AE=4，AF=6，

在Rt△ABE中，sin∠BAE=， ∴sin∠B=

，tan∠B=2

，

∵sin∠B=∴AB=3∴CD=3

=，

，

，

∵在Rt△ADF中，tan∠D=tan∠B=∴

DF=

，

．

=2，

∴CF=CD﹣DF=

16．（2011•葫芦岛）如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，若∠ABE=50°，则∠C=

解：∵BE⊥AD于点E， ∴∠AEB=90°， 又∵∠ABE=50°， ∴∠A=90°﹣∠ABE=90°﹣50°=40°， 又∵平行四边形的对角相等， ∴∠C=∠A=40°． 17．（2010•西宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是 3＜x＜11 ．

解：∵ABCD是平行四边形，AC=14，BD=8， ∴OA=AC=7，OB=BD=4，

∴7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11． 故答案为：3＜x＜11． 三．解答题（共9小题） 18．（2014•遵义）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：BO=DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB，DC∥AB， ∴∠ODF=∠OBE， 在△ODF与△OBE中

∴△ODF≌△OBE（AAS） ∴BO=DO； （2）解：∵BD⊥AD， ∴∠ADB=90°， ∵∠A=45°， ∴∠DBA=∠A=45°， ∵EF⊥AB， ∴∠G=∠A=45°， ∴△ODG是等腰直角三角形， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴DF⊥OG， ∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形， ∵△ODF≌△OBE（AAS） ∴OE=OF， ∴GF=OF=OE， 即2FG=EF， ∵△DFG是等腰直角三角形， ∴DF=FG=1， ∴DG=∵AB∥CD， ∴

=即

， =，

=

，

∴AD=2， 19．（2014•广州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AB∥CD， ∴∠EAO=∠FCO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）． 20．（2014•汕尾）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F． （1）证明：FD=AB；

（2）当▱ABCD的面积为8时，求△FED的面积．

（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点， ∴AE=ED，∠ABE=∠F， 在△ABE和△DFE中

，

∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴FD=AB；

（2）解：∵DE∥BC， ∴△FED∽△FBC， ∵△ABE≌△DFE， ∴BE=EF，S△FBC=S▱ABCD， ∴

=，

∴

=，

∴

=，

∴△FED的面积为：2． 21．（2014•湘西州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：AE=CF．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠B=∠D，

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE=CF．

22．（2014•怀化）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：

（1）△ABE≌△AFE；

（2）∠FAD=∠CDE．

证明：（1）∵EA是∠BEF的角平分线，

∴∠1=∠2，

在△ABE和△AFE中，

，

∴△ABE≌△AFE（AAS）；

（2）∵△ABE≌△AFE，

∴AB=AF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，

∴AF=CD，∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，

∵∠B=∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，

∴∠AFD=∠C，

在△AFD和△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（AAS），

∴∠FAD=∠CDE．

23．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．

（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；

（2）求证：∠CEG=∠AGE．

（1）解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，

∴DC=CE=2CF=4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=4，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=（2）证明：过G作GM⊥AE于M，

∵AE⊥BE，GM⊥AE，

∴GM∥BC∥AD，

∵在△DCF和△ECG中，

，

∴△DCF≌△ECG（AAS），

∴CG=CF，

∵CE=CD，CE=2CF，

∴CD=2CG，

即G为CD中点，

∵AD∥GM∥BC，

∴M为AE中点，

∴AM=EM，

∵GM⊥AE，

∴AG=EG，

∴∠AGM=∠EGM，

∴∠AGE=2∠MGE，

∵GM∥BC，

∴∠EGM=∠CEG，

∴∠CEG=∠AGE．

24．（2014秋•胶南市校级期末）已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm

，，求平行四边形ABCD的面积．

=；

解：设AB=x，则BC=18﹣x，

由AB•DE=BC•DF

F

得：，

解之x=10，

2所以平行四边形ABCD的面积为cm

25．（2014春•泰兴市校级期末）已知：如图，▱ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵DF∥BE，

∴四边形BEDF为平行四边形，

∴OE=OF．

26．（2012•沙坪坝区模拟）如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．

（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；

（2）求证：AF=CD+CF．

（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，

∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．

∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；

∵∠DFA=2∠BAE（已知），

∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．

即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．

∴∠FAE=∠BAE；

∴2∠FAE=40°，

∴∠FAE=20°；

（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．

∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，

∴△AEG≌△AEB．

∴EG=BE，∠B=∠AGE；

又∵E为BC中点，∴CE=BE．

∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；

∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．

又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B， ∴∠BCF=∠EGF；

又∵∠EGC=∠ECG，

∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC； 又∵AG=AB，AB=CD，

∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．