平行四边形的判定经典题型

典型例题一

例01．已知：如图，E，F分别为CF分别交CF，AE于H，G.

求证：EGFH.

证明：∵AE//CF,AF//CE， ∴四边形AECF是平行四边形. ∴AFCE ∵ABCD， ∴BFDE ∵BF//DE，

∴四边形BFDE是平行四边形. ∴DF//BE.

∵AE//CF，

∴四边形GFHE是平行四边形.

∴ EGFH.

说明：本题考查平行四边形的判定定理，解题关键是设法证四边形GFHE是平行四边形.

ABCD的边CD，AB上一点，AE//CF，BE，

典型例题二

CFBD，例02．如图，已知：四边形ABCD中，E，F为垂足，且AECF，AEBD，

BACDCA.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证法1 ∵AEBD，CFBD， ∴AE//CF ∴ 12

∵BACDCA， ∴BAEDCF 在RtAEB和RtCFD中，

∵AEBCFD90,AECF,BAEDCF， ∴AEBCFD， ∴AB

CD

∵BACDCA，

∴AB//CD

∴四边形ABCD是平行四边形. 证法2 设AC与BD交点为O. ∵AEBD,CFBD， ∴AE//CF ∴12

在AOE和COF中，

12，AECF，AEOCFO90，

∴AEOCFO. ∴AOCO,OEOF. 在ABE和CDF中，

∵ BAEDCF,AECF,AEBCFD90， ∴ ABECDF

∴ BEDF,BEOEDFOF， 即BODO ∵AOCO，

∴四边形ABCD是平行四边形. 说明 由垂直得到平行是关键

典型例题三

例03．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行的四边形吗？为什么？ 错解 是平行四边形.

正解 不一定是平行四边形. 如图，ADCDAE，ABACDE，则在四边形ABDE中有ABDE，BE，但四边形ABDE显然不是平行四边形.

说明 错解中没有根据平行四边形定义或判断定理判断.

典型例题四

例04．已知：如图，四边形ABCD中，AB//CD，以AD，AC为边作长DC交EB于F.

ACED，延

求证：EFFB.

证明：过B作BG//AD，交DC的延长线于G，连结EG. ∵ DC//AB，

∴四边形ABGD是平行四边形. ∴BG//AD. ∵AD//CE， ∴ BG//CE.

∴ 四边形BGEC是平行四边形. ∴ EFFB.

说明：本题综合考查了平行四边形的判定与性质，解题关键是作出正确的辅助线.

例05．已知一个六边形的六个内角都是120，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米，那么这个六边形的周长是______厘米.

解答：如图，延长FA，CB相交于G，延长CD，FE相交于H. 由题设条件，易知ABG和DEH都是等边三角形.

∴GH60 ∴GCHF为平行四边形.

∴GCHF10,GFHC14. ∴EFHFEH1055

AFCGAGGFAB14113

∴ 六边形的周长为：199551342（cm）

说明：本题考查平行四边形及等边三角形的应用，解题关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，本题还可以将其变成等边三角形，其作辅助线的方法可以是延长FA，CB交于G，延长BC，ED交于K，延长DE，AF交于Q，则GKQ为等边三角形.

典型例题六

例06．如图，已知：在四边形ABCD中，ADBC，DEAC于E，BFAC于F，且AFCE.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，已给出的条件有ADBC，所以只需再证

DCAB或AD//BC就可以了，那么通过三角形全等证明AD//BC更容易一些.

证明：∵AFCE（已知）， ∴AFEFCEEF 即AECF

∵DEAC,BFAC（已知）， ∴ADE和CBF是直角三角形. 在RtADE和RtCBF中， AECF(已证)



ADCB(已知)

∴ RtADERtCBF(HL)

∴ DAEBCF（全等三角形的对应角相等）. ∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）

又∵ ADBC（已知），

∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 说明：要证明一个四边形是平行四边形，首先要联想到判定四边形是平行四边形的几种判定方法，然后结合给出条件和图形的特点，选择一种可行的判定方法.

典型例题七

例07．如图，已知：在

ABCD中，点E、F在AC上，且AFCE，点G、H分别

在AB、CD上，且AGCH，AC与GH相交于点O.

求证：四边形EFGH是平行四边形.

分析：要证四边形EGFH是平行四边形，就要证明GE//FH或EF与GH互相平分，

那么通过证明AGECHF，可证明GEFH，AEGGFH，∴

GEOHFO，∴GE//FH. 从而可证四边形EGFH是平行四边形，我们也可以通过

证明AOGCOH，从而证得GOHO，AOCO，再由AFCE，证得OEOF，从而证明四边形EGFH是平行四边形.

证明：∵AFCE（已知）， ∴AFEFCEEF. 即AECF.

∵AB//CD（平行四边形的性质）

∴ BAEDCA,AGOCHO（两直线平行，内错角相等）. 在AOG与COH中， AGOCHO(已证)

BAEDCA(已证) AOCO(已证)

∴ AOGCOH(AAS).

∴ OGOH AOCO（全等三角形的对应边相等）. 又∵AEOF

∴OEOF

∴ 四边形EGFH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

说明 平行四边形的判定方法较多，要根据给出条件判断使用哪个判定方法，再根据不同的判定方法，创造条件去证明.

典型例题八

例08．如图，已知：四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形.

求证：（1）四边形BCFE是平行四边形.

（2）ABEDCF. 分析：（1）要证明四有BCFE是平行四边形，可以从边、角等方面考虑，在本题中，因已有两个平行四边形，从边下手比较好.

因此，我们不妨从边开始寻找条件，那么由ADFE得AD//

EF，由BCFE是平行四边形.

（2）由图中的三个平行四边形可知，ADBC,AEDF,BECF，则根据“边边边”可证明ABEDCF.

ABCD可得，AD//BC，因此有EF//BC，从而可证明四边形

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD//BC且ADBC（平行四边形的对边平行且相等） ∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD//EF，且ADEF（平行四边形的对边平行且相等） ∴BC//EF,ECEF.

∴四边形BCFE是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD

∵四边形BCFE是平行四边形， ∴ BECF.

∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AEDF

∴ ABEDCF（SSS）

典型例题九

例09．已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，过B作BE//AD，过D作DE//AC交BE于E.

求证：SDCESABC.

分析：计算面积，我们可以通过面积的计算公式，但同时，对于一些特殊的图形可采取特殊的方法，如，同底同高的两个三角形面积相等，同底等高的三角形和平行四边形的面积比为1:2. 那么由给出条件中的几对平行线，可考虑构造几个平行四边形. 延长DC交BE于F，延长AC交BE于M，则图中就有两个平行四边形，即AMED和ABFD. 而且这个平行四边形的底都为AD，且高都是AD，BE平行线之间的距离，即它们的高也相等，所以它们的面积相等. 继续观察图形可发现

ABC的面积恰好是

DCE的面积恰好是

ABFD面积的一半，

AMED的一半. 因此可证明这两个三角形的面积相等.

证明：延长DC交BE于F，延长AC交BE于M. 则四边形ABFD和四边形AMED皆为平行四边形，且

（同底等高）

又∵

（等底等高），

（同底等高），

∴ SABCSDCE.

典型例题十

例10．如图，已知：O为等边三角形ABC内的任意一点，且OD//BC交AB于D，

OF//AB交AC于F，OE//AC，交BC于E.

求证：OD

OEOFBC

分析：要证明BCODOEOF，要把BC分成三段，或把三条线段移到BC上去. 那么因为条件中给出了3对平行线段，所以适当延长其中的某些线段就可以得到一些平行四边形. 我们延长DO交AC于H，延长FO交BC于G. 则四边形BGOD与四边形ECHO是平行四边形，因此，有DOBG，CEOH，所以只要能够证明OEGE，OHOF就可以了. 因为ABC是特殊的三角形—等边三角形，它的每个内角都等于60，又因为OG//AB，OE//AC，∴ OGEOEG60，所以OGE是等边三角形. 同理，

FOH也是等边三角形，所以可证得GEOE，OFEC.

证明：延长FO，交BC于G，延长DO，交AC于H. ∵OD//BG,OG//BD， ∴ 四边形ODBG是平行四边形.

∴ ODBG（平行四边形的对边相等） 同理可证：四边形ECHO也是平行四边形， ∴OHCE

∵ ABC是等边三角形， ∴ BCA60 ∵ OG//AB,OE//AC，

∴ OGEOEG60（两直线平行，同位角相等）， ∴OEG也是等边三角形， ∴ OEGE.

同理可证：FOH也是等边三角形， ∴ OFOHEC

∴ BCBGGEECODOEOF

典型例题十一

例11．（济南市，2001）如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一颗大核桃树. 田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）

分析：这是一道考查学生动手作图的能力设计题. 题中要求扩建后的池塘：面积扩大一倍，形状成平行四边形，且核桃树不动.

这样的图形设计方案，只能连结AC与BD交于O点，将原池塘分割成四块，分别以AB、BC、CD、DA为对角线，向外作AOBE、BOCF、CODG

、DOAH.

连结EF、FG、GH、HE，就可得到EFGH.

如图，依据中心对称图形的性质，其设计合乎题设要求.

选择题

1．如图，EF

过

ABCD的对角线的交点O交AD于E，交BC于F，若

AB4,BC5,OE1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）

A．16 B．14 C．12 D．10

2．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）

A．AB//CD,ADBC B．AB,CD C．ABCD,ADBC D．ABAD,CBCD

3．A,B,C,D在同一平面内，从①AB//CD；②ABCD；③BC//AD；④BCAD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

4．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）

A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行，一组对角互补 C．一组对角相等，一组邻角互补 D．一组对角互补，另一组对角相等 5．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）

A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直

C．两条对角线互相平分 D．一对邻角和为180°

6．下列四个条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）

A．一组对边平行，另一组对边相等 B．两条对角线互相垂直

C．两条对角线相等 D．一组对边平行，一组对角相等 7．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

参考答案：

1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．B

填空题

1．E是ABC中线BD上任意一点，延长BE到F，使DFED，则四边形AECF是________.

2．在

ABCD中，连结DE,EF,FB，则图中共有______E,F分别为AB,DC的中点，

个平行四边形.

3．把边长为3cm，5cm，7cm的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成______种不同的四边形，其中有______个平行四边形.

4．如果一个四边形每相邻两角互补，那么这个四边形是________.

5．如图，ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC.若ABC周长为12，PD

PEPF______.

参考答案：

1．平行四边形 2．4 3．6，3 4．平行四边形 5．4

判断题

判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）：

1．在四边形ABCD中，如果ABBC,CDAD，那么四边形ABCD一定是平行四

边形. （ ）

2．如果四边形中，有一组对边相等，还有一组对角相等，那么这四边形一定是平行四边形. （ ）

参考答案 1．× 2．×

解答题

1．如图，于H.

ABCD中，AEBD于E，CFBD于F，BGAC于G，DHAC

求证：GEFH.

2．已知ABC（如图），请用直尺（没有刻度）和圆规，作一个平行四边形，使它的三个顶点恰好是ABC的三个顶点（只需作一个，不必写作法，但要保留作图痕迹）.

3．已知：如图，在交AD延长线于F.

ABCD中，DE平分ADC交CB延长线于E，BF平分ABC，

求证：四边形BFDE是平行四边形.

4．如图，已知在

ABCD中，EF交AC于O，若AECF,BEDF，

求证：EF与AC互相平分.

5．如图，BD是ABC角平分线，DE//BC,EF//AC.

求证：BE

CF.

6．如图，

ABCD中，E,F在AC上，且AFCE,EHBC,FGAD，垂足分

别为H,G.连GH交EF于点O.

求证：GH与EF互相平分.

7．已知：如图，AC是ABCD的对角线，MN//AC，分别交DA，DC的延长线于M，N交AB，BC于P，Q.

求证：MQPN.

8．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E,F分别在DB,BD的延长线上，

BEDF.

求证：AF//CE.

9．已知：如图，

ABCD中，DFAC,BEAC,M,N分别是AB,DC的中点. 求

证：四边形MENF是平行四边形.

10．如图，已知O是于E、F两点.

ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）填空：不加辅助线的原图中，全等三角形共有_______对（不要求将全等三角形表示出来，也不要证明）.

参考答案： 1．证明：在

ABCD中，AB//CD,ABCD.

∴ BAGDGH ∵ BGAC,DHAC，

∴BGAC,DHAC，∴BAGDCH ∴AGCH ∴OAOC ∴ OGOH 同理 OEOF

∴四边形GEHF是平行四边形. ∴GEFH 2．略 3．证法1：在∴1E.

∵DE平分ADC，BF平分ABC， ∴1

12

ADC,2

12

ABC

ABCD中，∴AD//BC,ADCABC

∴12

∴2E. ∴DE//BF

∵DF//BE，∴四边形BFDE是平行四边形. 证法2：在

ABCD中，∴ABCD,ADBC,AC,ADCABC

∵DE平分ADC，BF平分ABC，

∴3

12

ADC，4

12

ABC

∴34

在ABF和CDE中，∵AC,ABCD,43， ∴ABFCDE. ∴ BFDE,AFCE. ∵ADCB，∴DFBE

∵BFDE. ∴四边形BFDE是平行四边形 证法3：由证法2中得到DFBE，再由

ABCD得到DF//BE.

∴DF//BE ∴四边形BFDE是平行四边形.

4．连AF,CE.易证ABECDF，得EABFCD，从而证得AE//CF，则四边形AECF是平行四边形. 故EF与AC互相平分

5．DE//BC得BEDE，平行四边形EFCD得DECF

6．连FH,GE证AGFCHE，得GFEH.而GF//EH，则GFHE是平行四边形. 从而GH,EF互相平分

7．证明：∵MQ//AC,MA//QC， ∴四边形MQCA是平行四边形. ∴MQAC

∵ PN//AC,AP//CN， ∴ 四边形APNC是平行四边形. ∴PNAC. ∴MQPN.

8．证明ADFCBE或连AC交BD于O，证明AOOC,OEOF 9．证明NF&ME或连BD交AC于O，证明OFOE,OMON 10．（1）证COAO,OFOE；（2）6对

解答题

1．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于F点.

求证：BCDF.

2．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，并且

AO

CO,BODO.

求证：BADDCB.

3．如图，将ABCD沿AC折叠，点B落在B处，AB交DC于点M. 求证：折叠后重合的部分（即MAC是等腰三角形）.

4．如图，在

ABCD,P1,P2是对角线BD的三等分点.

求证：四边形AP1CP2是平行四边形.

5

．如图，已知

DE,BF的中点.

ABCD中，E,F分别是AB,CD上的点，AECF,M,N分别是

求证：四边形ENFM是平行四边形.

第十一讲 平行四边形的判定

一、【基础知识精讲】

1.平行四边形的判定方法： ① 两组对边分别平行

② 两组对边分别相等

③ 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 ④ 两组对角分别相等 ⑤ 对角线互相平分

2.平行四边形性质的运用： ① 直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，

线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等． ② 判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行． ③ 先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．

二、【例题精讲】

例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( ) A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对角分别相等的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形

（2）下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A．AB=CD，AD∥BC C．AB∥CD，AD∥BC

例2．已知：如图，□ABCD中，点E、F在对角线上，且AE＝CF．

求证：四边形BEDF是平行四边形．

B．AB=CD，AB∥CD

D．AB=CD，AD=BC

例3．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，

G是OA的中点，H是OC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．

三、【同步练习】 A组

1．如图，四边形ABCD，AC、BD相交于点O，

若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是______,

根据是

2．在图中，AC=BD， AB=CD=EF，CE=DF，

图中有哪些互相平行的线段？

3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ）

A．88°，108°，88° C．88°，92°，92°

4．如图，四边形ABCD中，AD=BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AF=CE．

B．88°，104°，108° D．88°，92°，88°

D

求证：四边形ABCD是平行四边形．

5、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF， 则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.

6．如图，在ABCD 中，点E、F在对角线AC上，并且OE=OF．

（1）OA与OC，OB与OD相等吗？

（2）四边形BFDE是平行四边形吗？

（3）若点E，F在OA，OC的中点上，你能解决上述问题吗？

B组

1、在

ABCD中,∠ABC=750，AF⊥BC于F，AF交BD于E，

若DE=2AB，则∠AED等于（ ） A、600 B、650 C、700 D、750

2．如图，在

ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、

BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形

3．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A做BE的 平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF。 （1）求证：AF=CE

（2）若AC=EF，证明AF⊥AE

4．如图，ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，

且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q，.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？

第四章 四边形性质探索 4.2 平行四边形的判定

课程学习要求

知识技能：

1.掌握平行四边形的判定定理，并能与性质定理、定义综合应用 2．使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系．

3．会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是哪几个定理． 过程与方法：

1．通过“探索式试明法”开拓学生思路，发展学生思维能力．

2．通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力． 情感态度和价值观

通过一题多解激发学生的学习兴趣．美育渗透点。通过学习，体会几何证明的方法美．

重点难点剖析

1. 探索四边形是平行四边形的条件，通过操作和合情推理发现结论；得出平行四边形的判定方法，说明理由 【剖析】

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2. 会用平行四边形的判定进行说理

典型例题展示

重难点题讲解

1.平行四边形的判定及应用

【例1】如图5，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC6, AB3，

求四边形ABCD的周长． D

B

图5

【解法一】：∵AB∥CD

∴BC180 又∵BD

∴CD180

∴AD∥BC即得ABCD是平行四边形 ∴ABCD3，BCAD6 ∴四边形ABCD的周长262318 【解法二】：如图6

D

B

图6

连接AC

∵AB∥CD

∴BACDCA 又∵BD，ACCA ∴△ABC≌△CDA

∴ABCD3，BCAD6

∴四边形ABCD的周长262318 【解法三】:如图7

D

B

图7

连接BD

∵AB∥CD

∴ABDCDB

又∵ABCCDA ∴CBDADB

∴AD∥BC即ABCD是平行四边形 ∴ABCD3，BCAD6 ∴四边形ABCD的周长262318

【点拨】 要求此四边形的周长，先判断此四边形的形状，再依据平行四边形的性质解决. 2.平行四边形的判定 【例2】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，

AFCE，DFBE，DF∥BE． 求证：（1）△AFD≌△CEB． （2）四边形ABCD是平行四边形．

D

C

A

F

B

【证明】：（1）DF∥BE， DFEBEF．

AFDDFE180°， CEBBEF180°， AFDCEB．

又AFCE，DFBE，

△AFD≌△CEB(SAS)．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB， DACBCA，ADBC，

AD∥BC．

四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

【点拨】依据平行线的性质判定三角形全等，再根据全等三角形的性质为平行四边形的判定创造条件.

易错题型讲解

【易错点1】给定条件判断能都画出平行四边形

【例1】在给定的条件中，能画出平行四边形的是（ ）． （A）以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边;

（B）以6cm、10cm为对角线，8cm为一边;

（C）以20cm、36cm为对角线，22cm为一边;

（D）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边 【正解】根据题意应该选择C 【错因分析】本题中判断能否画出平行四边形关键要看两条对角线的一半和四边形的一边是否构成三角形，（也就是是否符合三角形的三边关系）若能构成三角形则可以画出平行四边形；若不能构成三角形则不能画出平行四边形.在判断时不应该用两条对角线的长度和四边形的一边组成三角形.

中考真题讲解

【例1】（2009年常德市）下列命题中错误的是（ ）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是梯形 【解】根据四个选项可以判断出错误的命题是D选项.

【点拨】可以依据平行四边形的判断方法进行逐一判断即可. 【例2】（2009年威海）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，ABBF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ） A．ADBC

D

B．CDBF

C

C．AC D．FCDE

E

A

F

B

【解】根据题意应该选择D 【点拨】此类问题属于开放性问题，只要添加一个适当的条件就可以证明问题中的结论成立，需要依据平行四边形的判断方法进行证明.

综合技能探究

【例1】 (2009年黄冈市)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．

证明：∵点E为Rt△ABC的斜边中点， ∴EC＝EA＝EB ∴∠EAC＝∠ECA．

∵AF＝CE，CE＝EA

∴AF＝AE，

∴∠AFE＝∠AEF． ∵∠ACB＝∠EDB＝90° ∴FD∥BC ∴∠AEF＝∠EAC

∴∠EAC＝∠ECA＝∠AFE＝∠AEF． ∴∠EAF＝180°－∠AFE－∠AEF＝180°－∠EAC－∠ECA＝∠AEC ∴AF∥CE 又∵AF＝CE

∴四边形ACEF是平行四边形

【点拨】本题要依据平行四边形的判定和直角三角形斜边上的中线的性质进行解决. 【例2】如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。 （1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。

（2）求h的值。

【解】：连结EF

∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形 ∴BE∥FD，BF∥ED

∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BE＝FD

又∵l1、l2、l3和l4之间的距离为h ∴S△ABE＝

12

12

12

12

BE·h，S△FBE＝BE·h，S△EDF＝FD·h，S△CDF＝FD·h

∴S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF （2）

过A点作AH⊥BE于H点。 【解法一】：∵S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF

又∵ 正方形ABCD的面积是25

∴SABE

254

，且AB＝AD＝5

又∵l1∥l2∥l3∥l4

∴E、F分别是AD与BC的中点 ∴AE＝

12

AD＝

52

∴在Rt△ABE中， BE＝

AB

2

AE

2



552

又∵AB·AE＝BE·AH

ABAEBE

55

525

5

∴AH

2【解法二】：不妨设BE＝FD＝x (x>0)

则S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF＝又∵正方形ABCD的面积是25， ∴S△ABE＝则xh

12xh

254

xh2

，且AB＝5

252

①

BE

2

又∵在Rt△ABE中：AE＝又∵∠BAE＝90o，AH⊥BE ∴Rt△ABE∽Rt△HAE ∴

AHAB

AEBE

AB

2

x5

22

，即

2

h5



2

x5x

2

22

变形得：(hx)25(x5)②

254

2

把①两边平方后代入②得：25(x5)③

22

解方程③得x

552

（x

552

舍去）

把x

552

代入①得：h5

【规律总结】此问题主要涉及平行四边形的判定、性质，利用方程的思想以及相似三角形的知识解决.

分层题型训练

（A层）夯实基础训练

一、选择题

1.根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( )

A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对边分别相等的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 2．下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是( )

A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．一组邻边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组对角互补 3．四边形ABCD中，AD∥BC，当满足条件( )时，四边形ABCD是平行四边形 A．∠A＋∠C =180 B．∠B＋∠D =180 C．∠A＋∠B =180 D．∠A＋∠D =180 4．已知下列三个命题

⑴两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ⑵一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形 ⑶一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形 其中错误的命题的个数是( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题

1. 已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的条件是_______（•填一个你认为正确的条件）．

2.如图1，在ABCD中，MN分别是AB、CD的中点，BD分别交AN、CM于点P、Q，在结论： ①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S△ADP=

14

S

ABCD

中，则结论正确的个数是 3．

3．四边形任意相邻内角都互补，那么四边形是______________．

4. 四边形ABCD中，已知AB//CD，若再增加条件_______可知四边形ABCD为平行四边形． 三、解答题

1.已知如图，在平行四边形ABCD中，∠A =60，E、F分别为AB、CD的中点，AB = 2AD，求证：BD =3EF．

证明：四边形DECF是平行四边形。

C

E

2如图，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。

（B层）拓展知识训练

一、选择题

1. 下列说法正确的是（ ）．

A.有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B.平行四边形的对角线相等

C.平行四边形的对角互补，邻角相等 D.平行四边形的对边平行且相等

2．能够判定四边形是平行四边形的条件是( )

A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直 C．两条对角线互相平分 D．一条邻角互补

3.以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

4. 下面给出了四边形ABCD中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ABCD

是平行四边形 的是（ ）

Ａ．１：２：３：４ Ｂ．２：２：３：３Ｃ．２：３：２：３ Ｄ．２：３：３：２ 二、填空题

ABCD的顶点A，C分别作对角线BD的垂线，1. 过垂足是E，F，则四边形AECF

是__________．

2. 一组平行线有三条直线，另一组平行线也有三条直线，这两组平行线相交所围成的平行四边形有________个．

3. 一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有abcd2acbd，则此

2

2

2

2

四边形是__________．

4. 已知平行四边形的面积是216cm2，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，则这个平行四边形的周长为________．

三、解答题

1. 如图4，将□ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BEDF，求证四边形AECF是平行四边形．

C

F

2. 在四边形ABCD 中，AD∥BC，且AD >BC，BC = 6cm,P,Q 分别从A，C 同时出发，P 以1厘米/秒的速度由A 向D 运动，Q 以2厘米/秒的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 成为平行四边形？

参考答案

（A层）夯实基础训练

一、选择题 1. C 2. B 3. D 4. A

二、填空题

1. AB∥CD或AD=BC等等 2. 3

3. 平行四边形

4. AB=CD或AD∥BC等 三、解答题

1. 证明：连结DE，在平行四边形ABCD中，

//CD，DF =AB//AE， ∴DF

12

CD，AE =

12

AB，

∴四边形AEFD是平行四边形，∴EF = AD． 又∵AB = 2AD，AB = 2AE， ∴AD = AE，且∠A =60， ∴DE = AE = BE，

C

∴∠1 =

12

∠2 =

12

×30，∴∠ADB =90，

BD =

ABAD

22

=(2AD)2AD

2

=3AD，

∴BD =3EF．

2. 【答案】∵D．E、F分别为AB．BC．CA的中点， ∴DF∥BC，DE∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形.

（B层）拓展知识训练

一、选择题

1. D；2. C；3. B；4. C； 二、填空题 1. 平行四边形 2. 9

3. 平行四边形 4. 102

三、解答题

1. 证明：连接A、C，设AC与BD交于点O．

E

F

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OAOC，OBOD， 又∵BEDF，∴OEOF． ∴四边形AECF是平行四边形．

2. 解：设t秒钟后四边形ABQP成为平行四边形 则AP=BQ ∴AP=t，BQ=6-2t ∴t=6-2t 解得t=2

答：2秒钟后四边形ABQP 成为平行四边形