高三单元测试20(立体几何03教师卷)

新课标高考单元测试题立体几何20教师卷

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下面几何体各自的三视图中，至少有两个视图相同的是(

)

A ．①②③ B ．①④ C ．②④ D ．①②④

【解析】选D. 易知①正方体的三个视图均相同；②圆锥的正视图和侧视图均为等腰三角形；③三棱台的正视图和侧视图为两个不同梯形，俯视图是一三角形内套着一个三角形；④正四棱椎的正视图和侧视图均为一等腰三角形，故有①②④符合条件．

2．(2010年山东枣庄第八中学质检) 等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是( )

A ．S 球>S 正方体 B ．S 球＝S 正方体

C ．S 球

43322【解析】选C. 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则R ＝a . 又S 球＝4πR ， S正方体＝6a 3

316322222R ＝46πR >4πR ＝S 球． 9

13．正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积2

的( )

3939A. 2244

1h 【解析】选B. 设原棱锥的高为h ，底面面积为S ，则V ＝Sh ，新棱锥的高为底面面积为9S ，32

1h V ′9∴V ′＝·9S ·＝，故选B. 32V 2

34．如图，△ABC 为正三角形，AA ′∥BB ′∥CC ′，CC ′⊥平面ABC 且3AA ′＝BB ′＝CC ′＝AB ，2

则多面体ABC －A ′B ′C ′的正视图(也称主视图)

是( )

3【解析】选D. 由AA ′∥BB ′∥CC ′及CC ′⊥平面ABC ，知BB ′⊥平面ABC . 又CC ′＝′，且2

△ABC 为正三角形，故正视图应为D 中的图形．

5．α、β表示平面，m,n 表示直线，则m ∥α的一个充分条件是( )

A 、α⊥β且m ⊥β B、α∩β=n且m ∥n C、m ∥n 且n ∥α D、α∥β且m ⊂β

【解析】选D. α⊥β且m ⊥β⇒m ⊂α或m ∥α；α∩β=n且m ∥n ⇒m ⊂α或m ∥α； m ∥n 且n ∥α⇒m ⊂α或m ∥α；α∥β且m ⊂β⇒m ∥α(面面平行的性质) ．

6．已知△ABC 的平面直观图A ′B ′C ′是边长为2的正三角形，则原△ABC 的面积为( )

A. 3 B ．3 C.6 D ．6

【解析】选D. 由斜二测作图的规则知S ∆A 'B 'C '2=, S ∆A 'B 'C '=3⇒S ∆ABC =26. S ∆ABC 4

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．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积

的比是( )

A ．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．5∶3

[1**********]【解析】选C. 底面半径r ＝l ＝. 故圆锥中S 侧＝l ，S 表＝πl ＋π() ＝πl ， 2π33339

所以表面积与侧面积的比为4∶3.

8．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC 2，则球O 的表面积等于( )

A ．4π B．3π C．2π D．π

【解析】选A. A 、B 、C 三点在一小圆面上，∵AB ⊥BC ，AC 为斜边， ∴小圆的圆心为AC 的中点D . ∵SA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴AC 3. ∵S ，A ，B ，C 都在球面上，取SC 的中点O ，则OD ∥SA . ∵SA ⊥平面ABC ，∴OD ⊥平面ABC ，∴O 为球心，SO 为半径．∵sc =+3=2，∴SO ＝1，∴球O 的表面积为4π.

9．设a 、b 、c 是空间三直线α、β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( ) ．

A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥β

C ．当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥b

D ．当b ⊂α，且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c

【解析】选B.B 中只有当b 垂直于两个面的交线时，有b ⊥β，故选B.

10、如图，现有一块边长为2的正方形铁皮，其中E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，做成一个垃圾铲，则它的体积为（ ）

A 、 B、 C、1 D、2 32

【解析】选A. 所得的垃圾铲△DPC 的面积为3，又PE ＝1，PE ⊥DP, PE⊥CP ∴PE ⊥面DPC 则

13V P －CDE ＝V E-DPC ＝S △DPC ·PE . 33

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

【解析】几何体为底面是直角梯形的四棱柱，v =(1+2) ⨯2⨯1=3【答案】3

12．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三

角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________

时，CF ⊥平面B 1DF .

【解析】由直三棱柱及D 是A 1C 1的中点，得B 1D ⊥平面AC 1，而CF ⊂平面AC 1，

2∴B 1D ⊥CF ，故若CF ⊥平面B 1DF ，则必有CF ⊥DF . 设AF ＝x (0

x 2＋4a 2， DF 2＝a 2＋(3a －x ) 2，又CD 2＝a 2＋9a 2＝10a 2。∴10a 2＝x 2＋4a 2＋a 2＋

2(3a －x ) ，解得x ＝a 或2a .

【答案】a 或2a

13．三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB ＝30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2CM ，则三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系(x ∈(0,3])的是______________．

11122【解析】CM ＝x ∴NO ＝8－2x ∴V N －AMC ＝S △AMC ·NO (4x －x ) ．【答案】V N －AMC ＝(4x －x ) 322

14. 已知a 、b 是两条异面直线，a ⊥b . 点P ∉a 且P ∉b . 下列命题中：

①在上述已知条件下，平面α一定满足：P ∈α且a ∥α且b ∥α；

②在上述已知条件下，存在平面α，使P ∉α，a ⊂α且b ⊥α；

③在上述已知条件下，直线c 一定满足：P ∈c ，a ∥c 且b ∥c ；

④在上述已知条件下，存在直线c ，使P ∉α，a ⊥c 且b ⊥c . 正确的命题有________(把所有正确的序号都填上) ．

【解析】构造正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设AB 所在的直线为a ，CC 1所在的直线为b ，当点

P

∈

CD 12

时，不存在平面α，使P ∈α，a ∥α且b ∥α，①错；同理可得③也错；而②④正确．

【答案】②④

15．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上) ．

【解析】由PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得PA ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面PAB ⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，③错；在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确．

【答案】①④

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分) 一几何体的三视图如下：

(1)画出它的直观图，并求其体积；

(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．

【解】(1)该几何体的直观图如图，其中PC ⊥面ABC ，∠ABC

12＝90°，△ABC 斜边AC 上的高为 cm，PC ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，5

11123∴V P －ABC ＝××6＝12(cm) ． 325

(2)互相垂直的面有：面PAC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面PAB .

17．(本小题满分12分) 如图，已知三棱锥A －PBC ，∠ACB ＝90°，AB ＝20，BC ＝4，AP ⊥PC ，D 为AB 的中点，且△PDB 为正三角形．

(1)求证：BC ⊥平面PAC ；

(2)求三棱锥D －PBC 的体积．

1【解】(1)证明：∵△PDB 为正三角形，D 为AB 的中点，∴PD ＝BD ＝AD ＝AB ，∴∠APB 2

＝90°，即AP ⊥PB . 又知AP ⊥PC ，且PB ∩PC ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC . 又AC ⊥BC ，且PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC 。

11(2)由(1)，PC ＝PB －BC ＝10－4＝221，∴S △PBC ＝BC ·PC ＝×4×221＝421. 又AP 22112222⊥平面PBC ，且AP ＝AB －PB ＝20－10＝103，∴V A －PBC ＝AP ·S △PBC 3×421＝3311407，由D 为AB 的中点知V D －PBC A －PBC ＝×407＝207. 22′18．(本小题满分12分) 如图1所示，在边长为12的正方形AA 1A 1A ′中，BB 1∥CC 1∥AA 1，且

′AB ＝3，BC ＝4，AA ′

1分别交BB 1、CC 1于点P 、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A ′A 1与AA 1

重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1.

(1)求证：AB ⊥PQ ；

(2)在底边AC 上有一点M ，AM ∶MC ＝3∶4，求证：BM ∥平面APQ .

【证明】(1)因为AB ＝3，BC ＝4，AA ′＝12，所以折

222叠后的AC ＝A ′C (折叠前) ＝5，从而AC ＝AB ＋BC ，

即AB ⊥BC . 又因为AB ⊥BB 1，而BC ∩BB 1＝B ，

所以AB ⊥平面BC 1，又PQ ⊂平面BC 1，所以AB ⊥PQ .

(2)过M 作MN ∥CQ 交AQ 于N ，连结PN ，BM ，

因为AM ∶MC ＝3∶4，∴AM ∶AC ＝MN ∶CQ ＝3∶7.

由题意知MN ＝PB ＝3. ∵PB ∥CQ ，∴MN ∥PB .

∴四边形PBMN 为平行四边形．∴BM ∥PN ，∵BM ⊄平面APQ ，PN ⊂平面

APQ ，∴BM ∥平面APQ .

19.(本小题满分12分) 四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的三视图如下．

(1)求出该四棱柱的表面积；

(2)求证：D 1C ⊥AC 1.

13【解】(1)由三视图可知，S AA 1D 1D ＝S AA 1B 1B ＝1×2＝2， S A 1B 1C 1D 1＝S ABCD ＋2)×1＝，22

S D 1DCC 1＝2×2＝4，S B 1BCC 12＝2。则该四棱柱的表面积S ＝11＋2.

(2)证明：由三视图得，该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形．

在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，连结C 1D ，AC 1∵DC ＝DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形．∴

DC 1⊥D 1C . 又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ，∴AD ⊥平面DCC 1D 1， D1C ⊂平面DCC 1D 1，∴AD ⊥DC 1. ∵AD ，DC 1⊂平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ，∴D 1C ⊥平面ADC 1，又AC 1⊂平

面ADC 1，∴D 1C ⊥AC 1.

20．(本小题满分13分) 一个空间几何体G －ABCD 的三视图如图所示，其中A i 、B i 、C i 、D i 、G i (i ＝1,2,3) 分别是A 、B 、C 、D 、G 五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影．在正(主) 视图中，四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，且A 1B 1＝2a ；在侧(左) 视图中，A 2D 2⊥A 2G 2；在俯视图中，A 3G 3＝B 3G 3

.

(1)根据三视图作出空间几何体G －ABCD 的直观图，并标明A 、B 、C 、D 、G 五点的位置；

(2)在空间几何体G －ABCD 中，过点B 作平面AGC 的垂线，若垂足H 在直线CG 上，求证：平面AGD ⊥平面BGC ；(3)在(2)的条件下，求三棱锥D －ACG 的体积及其外接球的表面积．

【解】(1)空间几何体的直观图如图所示，由题意可知，平面ABCD ⊥平面ABG ，四边形ABCD 为正方形，且AG ＝BG ，AB ＝2a .

(2)证明：因过B 作平面AGC 的垂线，垂足H 在直线CG 上，所以BH ⊥平面AGC . 因为AG ⊂平面AGC ，所以BH ⊥AG . 又BC ⊥平面AGB ，所以BC ⊥AG . 又因为BC ∩BH ＝B ，所以AG ⊥平面BGC . 且AG ⊂面AGD ，故平面AGD ⊥平面BGC .

(3)由(2)知，AG ⊥平面BGC ，所以AG ⊥CB ，所以△ABG 为等腰直角三角形．过点G 作GE ⊥AB

1于点E ，则GE 为G 点到平面ABCD 的距离，且GE ＝AB ＝a ，AG ＝BG ＝2a . 所以V D －ACG ＝V G －ADC 2

1123＝×DC ×GE ＝. 取AC 中点M ，因为△AGC 和△ACD 均为直角三角形，所以MD ＝MG ＝323

1MA ＝MC ＝AC 2a . 所以M 是四棱锥D －ACG 的外接球的球心，半径为2a ，所以S 球22

a ) 2＝8πa 2.

21．(本小题满分14分) 如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为

→1→正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，G 为BC 上的点，CG ＝CB . 3

(1)求证：PC ⊥BC ；

(2)求三棱锥C －DEG 的体积；

(3)AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ？若存在，求AM 的长；否则，说明理由．

【解】(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC . 又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD . 又∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD . 又∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .

(2)∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G －DEC 的高．∵E 是PC 的中点，∴S △EDC

1111122＝△PDC ＝×(×2×2)＝1. ∴V C －DEG ＝V G －DEC ＝GC ·S △DEC ＝2223339

(3)连结AC ，取AC 中点O ，连结EO 、GO ，延长GO 交AD 于点M ，则PA ∥平

面MEG . 证明如下：∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，∴EO ∥PA . 又∵EO ⊂平

面MEG ，PA ⊄平面MEG ，∴PA ∥平面MEG . 在正方形ABCD 中，∵O 是AC 的中点，∴△OCG ≌△

2OAM ，∴AM ＝CG ＝为所求。

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