四边形的存在性
四边形的存在性
1.(2012湖北孝感)如图,抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标. (2)P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时点P的坐标.
(3)点Q是抛物线在第一象限上的一个动点,过点Q作QN∥AC交x轴于点N.当点Q的坐标为时,四边形QNAC是平行四边形;当点Q的坐标为 时,四边形QNAC是等腰梯形.
2.(2012黑龙江牡丹江)如图,OA,OB的长分别是关于x的方程x212x320的两根,且OAOB.请解答下列问题: (1)求直线AB的解析式.
(2)若P为AB上一点,且AP1
PB=3
,求过点
P的反比例函数的解析式.
(3)在坐标平面内是否存在点Q,使得以A,P,O,Q为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
3.(2010贵州遵义)如图,已知抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为Q(2,1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与点A不重合),过点P作PD∥y轴,交AC于点D.
(1)求该抛物线的函数关系式.
(2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标.(3)在(2)的结论下,若点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A,P,E,F为顶点的平行四边形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2012山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4),以A为顶点的抛物线yax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)求点A的坐标及抛物线的解析式. (2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?求出t的值.
【参考答案】
1. (1)抛物线的解析式为yx22x3,
顶点D的坐标是(1,4).
(2)设四边形PMAC的面积为S,则
11
SOAOC(PMOC)OM
22
93
=m2m
22 9105
=(m)2
416 9∵1
9
∴当m时,四边形PMAC的最
4105
大面积为.
16
(3)t=
20
或t
=20- 13
93
此时,点P的坐标是().
421115
3);Q(). (3)Q(2,
416
2. (1)直线AB的解析式为yx4.
(2)y
6
x0. x
5958, 3737
或
12
(3)存在,符合条件的点Q的坐标为
(-2,1),
2754, . 55
3. (1)抛物线的函数关系式为
yx24x3.
(2)点P的坐标为(1,0)或(2,1). (3)存在,符合条件的点F的坐标为(22,1)或
(22,1).
4. (1)A(1,4),抛物线的解析式为
y=-x2+2x+3.
1
(2)S△ACG=(t-2)2+1,
4
当t=2时,S△ACG的最大值为1.