第2课时 第二章有理数及其运算

第2课时 第二章有理数及其运算（2）

一、学习目标

1、复习上一节课的基础上继续有理数运算学习 2、通过老师讲解能独立做有理数的运算题

二、知识回顾

1．相反数

(1)相反数的定义

像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.

辨误区 相反数的理解

①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数．②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数．③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分．

【例1】 关于相反数下列说法正确的是( )．

1

A 0.25不互为相反数 B ．－3是相反数

4

C ．任何一个数都有相反数 D ．正数与负数互为相反数

(2)相反数的求法

求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数． 一个有理数a ，它的相反数是多少呢?

有理数a 的相反数是－a . 这里a 可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a ＝2时，－a ＝－2,2与－2是互为相反数；当a ＝－1时，－a ＝－(－1) ，因为－1的相反数是1，所以－(－1) ＝1；当a ＝m ＋n 时，－a ＝－(m ＋n ) ，所以m ＋n 的相反数是－(m ＋n ) ．

【例2】 填空：

(1)－8的相反数是__________；－(－2.8) 的相反数是__________；__________的相反1

数是；100和__________是互为相反数．

4

(2)如果m ＝－9，则－m ＝__________.

解析：(1)根据相反数的定义和求法直接写出相反数即可．其中应注意－(－2.8) 表示－2.8的相反数，等于2.8，所以－(－2.8) 的相反数也就是2.8的相反数，应该填－2.8.(2)－m 表示m 的相反数，也就是求－9的相反数．

1

答案：(1)8 －2.8 － －100 (2)9

4

(3)相反数的几何意义

一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等． 【例3】 如图，数轴上的点A ，B ，C ，D ，E 表示的数中哪些互为相反数？

分析：

解：(方法1) 由图可知A ，B ，C ，D ，E 各点分别表示－4，－2.5,0.5,2.5,4. 因为－4与4互为相反数，－2.5与2.5互为相反数，所以A 与E ，B 与D 表示的数互为相反数．

(方法2) 由图可知，点A ，B 在原点的左侧，且到原点的距离分别是4个单位长度和2.5个单位长度．C ，D ，E 在原点的右侧，且到原点的距离分别是0.5个单位长度，2.5个单位长度和4个单位长度．根据互为相反数的几何意义可得A 与E ，B 与D 表示的数互为相反数．

2．有理数的加法法则

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，

③一个数同0相加，仍得这个数．

【例4】 下列计算正确的个数是( )．

5⎛12⎛＋①(－5) ＋(－5) ＝0；②(－6) ＋(＋4) ＝－10；③0＋(－2) ＝－2；④ ＋ －＝；⎝6⎭⎝6⎭3

2⎛2⑤ －7＝－7. 3⎝3⎭

A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解析：①误将(－5) ＋(－5) 当成了两个互为相反数的和，②(－6) ＋(＋4) ＝－(|6|－|4|)＝－2，所以①②错误；根据有理数的加法法则可知，③④⑤正确．故选D 总结：有理数的加法运算可以概括为“一定、二求、三和差”． ①定：先判断两个加数的符号，并确定出和的符号； ②求：求加数的绝对值；

③和差：确定是绝对值相加还是相减． (2)加法运算法则的符号表示

【例5】 计算： ⎛2⎛3⎛1(1) ＋＋ －；(2) －＋(－3.5) ； ⎝3⎭⎝4⎭⎝4⎭(3)(－16) ＋16；(4)(－8) ＋0.

【例5－2】 已知a 的相反数是2，|b |＝3，则a ＋b ＝__________.

解析：先确定a 和b 的值，再按有理数的加法计算．因为2的相反数是－2，所以a ＝－2；因为|b |＝3，所以b ＝3，或b ＝－3，所以a ＋b ＝(－2) ＋3＝1，或a ＋b ＝(－2) ＋(－3) ＝－5.

答案：1或－5

【例6】 青云中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，抽取了一部分学生进行调查，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好(要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类，从图中你知道一共调查了多少名学生吗？

分析：从折线统计图中可以看出这次调查的学生中，喜欢足球的有30人，喜欢乒乓球的有20人，喜欢篮球的有40人，喜欢排球的有10人，再求和即可．

解：30＋20＋40＋10＝100(人) ． 答：一共调查了100名学生． 3．有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0.

①两个有理数相乘，积的符号是由两个因数的符号确定：同号(＋，＋或－，－) 得正，异号(＋，－或－，＋) 得负；②0与任何数相乘，积都是0；③1乘任何数得原数，－1乘任何数得原数的相反数．

【例1】 计算：(1)(＋4)×(－5) ； (2)(－0.75)×(－1.2) ； ⎛2(3) －×0.3； ⎝9⎭⎛1⎫(4)0× －⎪； ⎝7⎭

⎛11⎛1⎫⎛1⎫1(5) －1 －1⎪× －1⎪×1⎝2⎭3⎝4⎭⎝5⎭64．有理数的乘法运算律

(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 用字母表示为：a ×b ＝b ×a .

(2) 用字母表示为：(a ×b )×c ＝a ×(b ×c ) ．

(3)乘，再把积相加．

用字母表示为：a ×(b ＋c ) ＝a ×b ＋a ×c .

⎛1【例2】 计算：(1)(－8)×9×(－1.25)× ； ⎝9⎭

⎛151(2) ＋×(－12) ； ⎝462⎭

(3)－5.372×(－3) ＋5.372×(－17) ＋5.372×4；

34⎫⎛(4) －24⎪×2.5×(－8) ； 35⎭⎝

1175(5)－×36－6×1.43＋3.93×6. ⎝12918⎭

5．与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算 【例5】 已知a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，m 的绝对值是4，求m ×(c ＋d ) ＋a ×b －3×m 的值．

分析：互为倒数的两个数的积是1，互为相反数的两个数的和是0，绝对值是4的数是±4，所以本题要分情况计算．

解：因为a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，m 的绝对值是4，所以a ×b ＝1，c ＋d ＝0，m ＝±4.

当m ＝4时，m ×(c ＋d ) ＋a ×b －3×m ＝4×0＋1－3×4＝－11；

当m ＝－4时，m ×(c ＋d ) ＋a ×b －3×m ＝(－4)×0＋1－3×(－4) ＝13.

【例6】 一天，小刚和小明利用温差测量山峰的高度，小明在山顶测得的温度是－2 ℃，小刚在山脚测得的温度是4 ℃.已知该地区的高度每增加100 m，气温大约下降0.6 ℃，求这个山峰的高度大约是多少．

4－(－2) 解：×100＝10×100＝1 000(m)．

0.6

答：这个山峰的高度大约为1 000 m. 6．有理数的除法法则

(1)除法法则1：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何不为0的数都得0.

①注意：0不能作除数；②除法法则1与有理数的乘法法则相类似，都是先确定运算结果的符号，再确定绝对值．

(2)两个有理数相除的步骤

【例1】 下面的计算中，正确的有( )． ①(－800)÷(－20) ＝－(800÷20)＝－40； ②0÷(－2 013)＝0；

③(＋18)÷(－6) ＝＋(18÷6)＝3；

④(－0.72)÷0.9＝－(0.72÷0.9)＝－0.8.

A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 解析：①③错误，②④正确． 答案：D

⎛11⎫⎛11⎫⎛1⎫⎛1【例2】 计算： －⎪× ⎪÷ －⎪÷ －. ⎝53⎭⎝45⎭⎝20⎭⎝3⎭

分析：本题是有理数的加减乘除混合运算，可按四则混合运算的顺序进行计算，有括号的要先算括号里面的或运用运算律简化运算．

29⎛11⎛11⎛1⎛1⎫解：方法1： × ＋÷ －÷ －⎪＝－××(－20)×(－3) ＝－1520⎝53⎭⎝45⎭⎝20⎭⎝3⎭

⎛29×20×3⎫＝－18 1520⎪5⎝⎭

⎛11⎛11⎫⎛1⎫⎛1⎛11⎛11⎛11方法2： －× ⎪÷ －⎪÷ －＝ × ＋×(－20)×(－3) ＝ ⎝53⎭⎝45⎭⎝20⎭⎝3⎭⎝53⎭⎝45⎭⎝53⎭

218⎛11⎡⎛11⎫⎤⎡⎛11⎤⎛3⎫× ×20×3＝⎢ －⎪×3⎥×⎢ ＋×20⎥＝ 1⎪×(5＋4) ＝－×9＝－. 55⎝45⎭⎣⎝53⎭⎦⎣⎝45⎭⎦⎝5⎭

x |y |

【例3】 若有理数x ，y 满足xy ≠0，则m ＋__________．

|x |y

解析：当x >0，y >0时，原式＝1＋1＝2； 当x >0，y 0时，原式＝－1＋1＝0； 当x

求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a 叫做底数，n 叫做指

n

数，a 读作：的次幂(的次方) ．

乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同) ，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因

(2)乘方的意义

a n 表示n 个a 相乘．

n

即a ＝a ⨯a ⨯ a ⨯⋯⨯a .

n 个a

如：(－2) ＝(－2)×(－2)×(－2) 表示3个(－2) 相乘． 【例1】 下列说法不正确的是( )．

2 013

A ．(－2) 是负数

200

B ．－4是正数

C ．0的任何次幂(指数不为0) 都等于它本身 D ．－1的38次幂等于它的相反数

200

解析：－4表示4的200次方的相反数，是负数，故B 错误． 答案：B

【例2】 计算：

⎛4344

(1)(－2) ；(2)－3；(3) ；

⎝5⎭4⎛222 014

(4) －1；(5)－2(6)(－1) .

7⎝3⎭

8．科学记数法 (1)定义

n

一般地，一个大于10的数可以表示成a ×10(1≤a ＜10，n 是正整数) 的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．

(2)a 与n 的取法

在a ×10n 形式中，n 是原数整数位数减1，a 则是将原数保留一位整数得来的．

【例1】 用科学记数法表示下列各数： (1)3 400 000；(2)－98 120 000； (3)23 458.2；(4)960万．

6

解：(1)3 400 000＝3.4×10；

7

(2)－98 120 000＝－9.812×10；

4

(3)23 458.2＝2.345 82×10；

6

(4)960万＝9 600 000＝9.6×10.

9．有理数的混合运算 (1)有理数的混合运算

一个算式中含有加、减、乘、除、乘方运算中的两种以上的运算，就是有理数的混合运算．

2333

如：－4×[(1－7)÷6]＋[(－5) －3]÷(－2) . (2)混合运算的顺序

如果有括号，先算括号里面的． 【例1】 计算：

⎛1322 01322

(1)－0.25÷ －×(－1) ＋(－2) ×(－3) ；

⎝2⎭

2⎫11⎛⎪1212 013

(2)⎪－－2(－1) －1× 0.5－⎪÷13⎭92⎝⎪2⎪2

【例2】 某个家庭为了估计自己家6月份的用电量，对月初的一周每天电表的读数进行了记录，上周日电表的读数是115度．以后每日的读数如下表(表中单位：度) ，请你估计

3

6

的电度表读数减去上周日的电度表读数，求出这一周的总用电量，从而算出这一周的平均每天用电量，用这周的平均每天用电量乘30，就可以估算出6月份大约用多少度电．

解：(方法1)[(118－115) ＋(122－118) ＋(127－122) ＋(133－127) ＋(136－133) ＋(140－136) ＋(143－140)]÷7×30＝(－115＋143)÷7×30＝120(度) ．

(方法2)(143－115)÷7×30＝120(度) ． 答：估计6月份大约用120度电．

三、总结提升 四、达标测试

一、选择题

1．－2 014的绝对值是( ) ． A ．－2 014

D.

B ．2 014

C ．-

1

2014

1 20141

2. -的相反数是( )．

311

A. B ．－ 33

C ．3 D ．－3

3．下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温度最低的城市是( )． A ．桂林11.2 ℃ B ．广州13.5 ℃ C ．北京－4.8 ℃ D ．南京3.4 ℃

4．下列各数中是负数的是( )．

2 3

A ．－(－3) B ．－(－3) C ．－(－2) D ．|－2|

5．若x ＝(－3)×A ．－

8

1

2

1

，则x 的倒数是( )． 6

1

B. C ．－2

2

D ．2

6．2 cm接近于( )．

A ．珠穆朗玛峰的高度 B ．三层楼的高度 C ．姚明的身高 D ．一张纸的厚度

183

7．地球上的水的总储量约为1.39×10 m，但目前能被人们生产、生活利用的水只占

183183

总储量的0.77%，即约为0.010 7×10 m，因此我们要节约用水．请将0.010 7×10 m用科学记数法表示是( )．

163 173

A ．1.07×10 mB ．0.107×10 m

153 173

C ．10.7×10 m D ．1.07×10 m

8．如图，数轴上A ，B 两点分别对应有理数a ，b ，则下列结论正确的是( )．

A ．ab >0 B ．a －b >0 C ．a ＋b >0

22 013

9．已知(1－m ) ＋|n ＋2|＝0，则(m ＋n ) 的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．2 013 10．下列计算：

①(－1)×(－2)×(－3) ＝6；②(－36)÷(－9) ＝－4；③④(－4)÷

D ．|a |－|b |>0 D ．－2 013

2⎛9⎫3× -⎪÷(－1) ＝；3⎝4⎭2

1

×(－2) ＝16. 2

其中正确的个数是( )．

A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 二、填空题。 11．点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，其中表示－2的相反数的点是__________．

12．在数轴上，与表示－1的点距离为3的点所表示的数是__________．

13．如图，在数轴上从－1到1有3个整数，它们是－1,0,1；从－2到2有5个整数，它们是－2，－1,0,1,2；„„，则从－100到100有__________个整数．

14．计算(－1) ＋(－1) 的值是__________．

22

15．用“

16．若a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，则3c ＋3d －9ab ＝__________.

2

17．若|m －n |＝n －m ，且|m |＝4，|n |＝3，则(m ＋n ) ＝__________. 三、解答题

18．把下列各数填在相应的大括号里： 1，-

2 013

2 014

54

，8.9，－7，，－3.2，＋1 008，－0.06，28，－9.

65

正整数集合：{ „}；

负整数集合：{ „}； 正分数集合：{ „}； 负分数集合：{ „}．

19．(1)利用计算器计算下列各式，将结果填在横线上． 22

99＝__________；999＝__________；

22

9 999＝________；99 999＝________. (2)你发现了什么规律？

2

(3)不用计算器，直接写出9 999 999的计算结果． 20．计算： (1)2－5×

2

2

1

＋|－2|； 5

⎛1⎫⎝2⎭

(2)(－2) －|－7|＋3－2× -⎪；

⎛12⎫

-⎪×12＋32； ⎝23⎭⎛2⎫⎛1⎫22

(4)(－2) ×3÷ -2⎪－(－5) ÷5÷ -⎪.

⎝5⎭⎝5⎭

(3)－9÷3＋

21．一场游戏规则如下：(1)每人每次抽4张卡片，如果抽到形如的卡片，那么

加上卡片上的数字，如果抽到形如的卡片，那么减去卡片上的数字；(2)比较两人所抽到的4张卡片的计算结果，结果大的为胜者．

请你通过计算(要求有计算过程) 回答本次游戏获胜的是谁？ 小亮抽到的卡片如图所示：

小丽抽到的卡片如图所示：

五、教学反思