正四面体,一个不能被忽视的模型
在立体几何的教学过程中，有学生曾问过笔者一道题目： 已知三棱锥P-ABC，其中PA=4，PB=PC=2，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，求三棱锥P-ABC的体积. 当时，笔者给他的解答过程是这样的（如图1）： 作BC的中点D，连结PD，AD，则PB=PC，D是中点，PD⊥BC. 同理，AD⊥BC，？摇？摇所以BC⊥平面PAD. 又因为BC？奂平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC. 所以△PAD中AD边上的高PH也是三延长PB，PC分别到点E与点F，使BE=CF=2，这样PA=PE=PF=4. 又由题设∠APB=∠APC=∠BPC=60°，则△PAE，△PAF，△PEF，△AEF都是正三角形. 因此，三棱锥P-AEF是正四面体，显然正四面体的体积是相对容易求的. 再观察三棱锥P-ABC和P-AEF，其实它们就是以A为顶点，△PBC，△PEF为底面的两个三棱锥，两者的体积比就是底面三角形的面积比，而△PBC和题目解答完后，笔者注意到了正四面体模型在这道题中所起的作用. 由于课堂中对正四面体模型教学的“缺失”，导致同学们对正四面体模型的认识不够，更加无法谈掌握及灵活运用. 所以，笔者认为，如果能熟练地掌握正四面体模型的相关性质，并加以“巧用”“妙用”，肯定会有意想不到的效果. 下面笔者谈一谈“正四面体模型”对解题的二次思考. 正四面体的性质 性质2 正四面体内接于一正方体，且它们内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线. 利用正四面体的性质 一、利用性质1，简化解题过程，避免无效的重复计算 例1 在棱长都相等的四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，连结AF，CE. （1）求异面直线AF与CE所成的角的余弦值； （2）求CE与平面BCD所成的角的正弦值. 解析 （1）连结FD，在平面AFD内，过E作EG∥AF交FD于G，则∠CEG 是异面直线AF与CE所成的角（或是其补角），如图3所示. （2）在平面AFD内，易证平面AFD⊥平面BCD，过E作EH⊥FD，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角. 点评 在已知此四面体为正四面体时，有效地使用正四面体中性质1进行简化运算，能避免不必要的计算错误和重复运算. 例如第2小问中求解EH的长度，如果不用正四面体中的高，那计算必然烦琐. 所以，在平时的复习过程中加强对正四面体模型的认识是有必要的，当掌握正四面体中高的值、角的大小等结论后，我们可以大大提高解题效率，做到事半功倍. 特别是在选择题、填空题中. 二、利用性质2，使问题的解决别具一格、简洁流畅 例2 一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________. 解析 如图4所示，将正四面体补成正方体，由性质2可知正四面体的棱切球，即此球为正方体的内切球. 点评 该题的参考答案较复杂，上述解法把正四面体补成正方体，然后再利用正四面体的棱切球半径等于正方体的内切球半径解决，就会有意想不到的解题功效. 对几何体的多角度认识，往往能将问题的解决途径多元化. 三、构建正四面体模型，使解题角度更新颖 点评 此题很好地将“正四面体与球”以及“正四面体与正方体”之间的相容关系展现在我们面前. 思 考 著名数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”在前面阐述的“正四面体模型”对解立体几何题所带来的思路之新颖、运算之便捷、图形之直观，使笔者感触颇多. 于是，笔者认为在高中数学的学习中可以通过解题训练来培养解题能力. 1. 培养认真审题的好习惯 仔细、认真地审题，提高审题能力是解题的首要前提. 复习中要养成仔细、认真的审题习惯，通读题，对题目中的条件（特别是发现题目中隐含条件）、问题及有关的情况，进行整体认识，充分理解题意，把握本质和联系，理清正确的解题思路. 2. 运用数学思想方法解题 由于高中数学中“数”与“形”无处不在，所以采用数形结合的思想可使问题明朗化，不但直观，而且全面、整体性强，能比较容易地找到问题的关键，对解题大有益处. 解数学题最根本的途径是“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，所以转化与化归的数学思想也是高中数学解题中的常用数学思想方法. 3. 解完题后的反思训练 养成解题后反思的习惯，务必做到：（1）检验求解结果. 主要是核查结果是否正确无误，推理是否有理有据，解答是否详尽无漏. （2）讨论解法. 主要是寻求其他不同解法或改进解法，分析解法特征关键和主要思维过程；寻找规律，多题一解等. 这将有利于开拓思维、积累经验，整理方法；有助于增强思维的灵活性和发展提高解题能力.