二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策
浙江省温州22中学 高洪武 325000
二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
题型一：求二项展开式
1．“(a +b ) n ”型的展开式
例1．求(3x +
1x
4
) 的展开式；
解：原式=(
3x +1x
) =
4
(3x +1)
x
2
4
4
1
3
2
2
3
44
=
=
1x 1x
2
[C 4(3x ) +
4
C
3
(3x ) +4
2
C
(3x ) +4
C
(3x ) +4
C
]
2
(81x +84x +54x +12x +1)
2
=81x +84x +
12x
+
1x
2
+54
小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “(a -b ) n ”型的展开式
例2．求(3x -
1x
) 的展开式；
4
分析：解决此题，只需要把(3x -
1x
) 改写成[3x +(-
4
1x
)]的形式然后按照二
4
项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”
例3．计算1-3C n +9C n -27C n +.... +(-1) 3
1
1
2
2
3
3
1
2
3
n
n
c
n n
；
3
n
n
n
解：原式=C n +C n (-3) +C n (-3) +C n (-3) +.... +C n (-3) =(1-3) =(-2) 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项
1．求指定幂的系数或二项式系数
（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）(x 2-解：T r +1=
12x (-
9
) 展开式中x 的系数是 ； 9
C 9(x )
r
29-r
12x
) =C 9x
r
r
18-2r
(-
1
1r 18-3x r r 1r
) () =C 9(-) x
2x 2
令18-3x =9, 则r =3，从而可以得到x 9的系数为：
C 9(-
3
12
) =-
3
212
，∴填-
212
（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
273
例5．（02全国）（x +1)(x -2) 的展开式中，x 项的系数是；
解：在展开式中，x 3的来源有：
① 第一个因式中取出x 2，则第二个因式必出x ，其系数为C 7(-2) ； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出x 3，其系数为C 7(-2)
∴x 的系数应为：C 7(-2) +C 7(-2) =1008, ∴填1008。
3
6
6
4
4
4
4
6
6
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）(x +
1x
1x
2
-2) 的展开式中，常数项是 ；
3
解：(x +-2) =[
3
(x -1)
x
]=
3
(x -1) x
3
6
C 上述式子展开后常数项只有一项
3
x (-1) 6
x
3
33
，即-20
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，
考查了变型与转化的数学思想。
2． 求中间项
例7．（00京改编）求（x -
1
3
x
)
10
的展开式的中间项；
解： T r +1=
C 10(x )
5
r
10-r
(-
1
3
x
) , ∴展开式的中间项为C 10(x ) (-
r
5
5
1
3
x
)
5
即：-252x 6。
n -1
n +12
n -1
n +1
n -12
n +1
当n 为奇数时，(a +b ) 的展开式的中间项是C n 2a
n
b
2
和C n 2a
b
2
；
n
n
n n
2a 2b 2。 当n 为偶数时，(a +b ) 的展开式的中间项是C n
3． 求有理项
例8．（00京改编）求(x -
1
3
10
) 的展开式中有理项共有 项；
x
1
解： T r +1=
C
r 10
(r )
10-r
(-
x
) =
r
C
r 10
(-1) x
r
10-
4r 3
∴当r =0, 3, 6, 9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么
这个代数式是无理式。 4． 求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例9．（00上海）在二项式(x -1) 11的展开式中，系数最小的项的系数是解： T r +1=
C 11x
r
11-r
(-1)
r
r
∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C 11为最大，由此得r =5，从
而可知最小项的系数为C 11(-1) =-462 （2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求(x +
12x
) 展开式中系数最大的项；
8
5
5
解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，则有
⎧T k ≥T k -1
⎨ 又T r =
⎩T k ≥T k +1
C
r -18
. 2
-r +1
，那么有
k -1k -2-k +1-k +2
⎧≥C 8. 2⎪C 8. 2
⎨ k -1k -k +1-k
≥C 8. 2⎪⎩C 8. 2
8! 8! ⎧
≥⨯2⎪⎪(k -1)!.(9-K )! (K -2)!.(10-K )!
即⎨
8! 8!
⎪⨯2≥⎪(K -1)!.(9-K )! K ! (8-K )! ⎩
2⎧1≥⎪
∴⎨K -1K -2
21⎪≥
K ⎩9-K
52
7
解得3≤k ≤4，∴系数最大的项为第3项T 3=7x 和第4项T 4=7x 2。
（3） 系数绝对值最大的项
例11．在（x -y ) 7
解：求系数绝对最大问题都可以将“(a -b ) n ”型转化为" (a +b ) n " 型来处理， 故此答案为第4项C 7x y ，和第5项-C 7x y 。
4
3
4
5
2
5
题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例12．（99全国）若(2x +
3) =a 0+a 1x +a 2x +a 3x +a 4x ，
4
2
3
4
22
则(a 0+a 2+a 4) -(a 1+a 3) 的值为 ；
解： (2x +
3) =a 0+a 1x +a 2x +a 3x +a 4x
3) =a 0+a 1+a 2+a 3+a 4， 3) =(a 0+a 2+a 4) -(a 1+a 3)
44
4234
令x =1，有(2+
令x =-1，有(-2+
故原式=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4).[(a 0+a 2+a 4) -(a 1+a 3)] =(2+
4
3) .(-2+
4
3)
4
=(-1) =1
200422004
=a 0+a 1x +a 2x +... +2004x 例13．（04天津）若(1-2x ) ，
则(a 0+a 1) +(a 0+a 2) +... +(a 0+a 2004) = ；
200422004
=a 0+a 1x +a 2x +... +2004x 解： (1-2x ) ，
2004
=a 0+a 1+a 2+... +a 2004=1 令x =1，有(1-2)
2004
=a 0=1 令x =0，有(1-0)
故原式=(a 0+a 1+a 2+... +a 2004) +2003a 0=1+2003=2004
在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：1, -1, 0特殊值在解题过程中考虑的比较多。
例14．设(2x -1) 6=a 6x 6+a 5x 5+... +a 1x +a 0， 则a 0+a 1+a 2+... +a 6= ；
分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解： T r +1=
C
r 6
(2x )
6-r
(-1)
r
∴a 0+a 1+a 2+... +a 6=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6
=(a 0+a 2+a 4+a 6) -(a 1+a 3+a 5) =0
题型四：利用二项式定理求近似值
例15．求0. 9986的近似值，使误差小于0. 001；
分析：因为0. 9986=(1-0. 002) 6，故可以用二项式定理展开计算。 解：0. 9986=(1-0. 002) 6=1+6.(-0. 002) 1+15.(-0. 002) 2+... +(-0. 002) 6 T 3=
C 6.(-0. 002) =15⨯(-0. 002) =0. 00006
2
22
且第3项以后的绝对值都小于0. 001，
∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
66
∴0. 998=(1-0. 002) ≈1+6⨯(-0. 002) =1-0. 012=0. 988
小结：由(1+x ) =1+C n x +C n x +... +C n x ，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，x , x ,.... x 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，
2
3
n
n
12
2
n
n
因此可以用近似计算公式：(1+x ) ≈1+nx ，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(1+x ) ≈1+nx +
n
n
n (n -1)
2
x 。
2
利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
题型五：利用二项式定理证明整除问题
例16．（02潍坊模拟）求证：5151-1能被7整除。 证明： 5151-1 =(49+2) 51-1
=C 514951+C 51. 4950. 2+C 51. 4949. 22+.... +C 51. 49. 250+C 51. 251-1 =49P+251-1（P ∈N *） 又 251-1=(23) 17-1 =（7+1）17-1 =C 17. 7
17
1
2
50
51
+C 17. 7
1
16
+C 17. 7
2
15
+.... +C 17. 7+C 17-1
1617
=7Q（Q ∈N *）
∴51
51
-1=7P +7Q =7(P +Q )
∴5151-1能被7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。
二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。