[高等数学] 各章知识点总结--第9章
第9章 多元函数微分学及其应用总结
一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间
R 2为二元数组(x , y ) 的全体,称为二维空间。R 3为三元数组(x , y , z ) 的全体,称为三
维空间。 R 为n 元数组(x 1, x 2, , x n ) 的全体,称为n 维空间。
n
n 维空间中两点P (x 1, x 2, , x n ), Q (y 1, y 2, , y n ) 间的距离:
|PQ |=
δδ的点P 的全体称为点P 0的邻域: 设P 与点P 0是R 的一个点,是某一正数,0距离小于
n
δ
n
邻域,记为U (P 0, δ) ,即U (P 0, δ) ={P ∈R ||PP 0|
空心邻域: P 0的
δ
邻域去掉中心点P 0的0就成为P
δ
空心邻域, 记为
U (P 0, δ=) {P 0
内点与边界点:设E 为n 维空间中的点集,P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域
n
U (P , δ) ,使得U (P , δ) ⊂E ,则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有
属于E 的点又有不属于E 的点,则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界.
聚点:设E 为n 维空间中的点集,P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点,则称P 为集合E 的聚点。
开集与闭集: 若点集E 的点都是内点,则称E 是开集。设点集E ⊆R , 如果E 的补集
n
n
R n -E 是开集,则称E 为闭集。
区域与闭区域:设D 为开集,如果对于D 内任意两点,都可以用D 内的折线(其上的点都属于D )连接起来, 则称开集D 是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域与其边界的并集称为闭区域.
有界集与无界集: 对于点集E ,若存在M >0,使得E ⊆U (O , M ) ,即E 中所有点到原点的距离都不超过M ,则称点集E 为有界集,否则称为无界集. 如果D 是区域而且有界,则称D 为有界区域.
有界闭区域的直径:设D 是R 中的有界闭区域,则称d (D ) =max {|PP 12|}为D 的直径。
P 1, P 2∈D
n
二、多元函数
n 元函数就是R n 的一个子集D 到R 的一个函数,即对任意的P ∈D ,都存在唯一的
y ∈R ,使得y =f (P ) 。习惯上,我们用y =f (x ) 表示一元函数, 用z =f (x , y ) 表示
二元函数,用w =f (x , y , z ) 表示三元函数. 一般用y =f (P ), P ∈R n 或y =f (x 1, x 2, , x n ) 表示n 元函数. 三、多元函数的极限
设多元函数z =f (P ) 在D 有定义,P 0是D 的一个聚点,A 为常数。如果对任意给定的ε>0,都存在δ>0,当P ∈D ⋂
U (P , δ) 时,有
f (P ) -A
P →P 0
则称A 为P 趋于P 0时函数z =f (P ) 在D 上的极限,记为lim f (P)=A 或
f (P)→A ,(P→P 0) 。
四、多元函数的连续性
设多元函数z =f (P ) 在D 有定义,P 0是D 的一个聚点。如果lim f (P)=f (P0) ,
P →P 0
则称z =f (P ) 在P 0点连续。如果z =f (P ) 在区域D 上各点都连续,就称z =f (P ) 在D 上连续.如果函数z =f (P ) 在 点P 则称函数z =f (P ) 在点P 0处不连续,0处间断, 也称P 0是函数z =f (x , y ) 的间断点。 五、偏导数
设二元函数z =f (x , y ) ,P 0(x 0, y 0) 为平面上一点。如果z =f (x , y 0) 在x 0的某一邻域内有定义且在x
0存在, 则称z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处对x 可偏导,称此极限值为函数z =f (x , y ) 在点
P 0(x 0, y 0) 处对x 的偏导数,记为
六、高阶偏导数
∂z ∂x
(x 0, y 0)
,
∂f ∂x
(x 0, y 0)
, z 'x
(x 0, y 0)
或f x '(x 0, y 0)
∂2z ∂2f ∂⎛∂f ⎫∂2z ∂2f ∂⎛∂f ⎫
'''',==f ===f =xx xy ⎪ ⎪, 22
∂x ∂x ∂x ⎝∂x ⎭∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ⎝∂x ⎭
∂2z ∂2f ∂⎛∂f ⎫∂2z ∂2f ∂⎛∂f ⎫
''= ⎪, 2=2=f yy ''= ⎪ ==f yx
∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ⎝∂y ⎭∂y ∂y ∂y ⎝∂y ⎭
'', f yx ''都在平面区域D 内连续,如果函数z =f (x , y ) 的两个二阶混合偏导数f xy 那么这两
个二阶混合偏导数在D 内相等。 七、全微分
设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某一邻域内有定义,A , B 为常数。如果
∆z =A ∆x +B ∆y +
o (ρ) ,其中ρ= 则称函数 z =f (x , y ) 在点
(简称可微),称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y ) 在点P P 0(x 0, y 0) 可微分0(x 0, y 0) 的全微分,记作dz ,即dz =A ∆x +B ∆y
可微的必要条件:函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 可微, 则(1) f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0)
d z =f x '(x 0, y 0)d x +f y '(x 0, y 0)d y 。处连续。(2) f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处偏导数存在, 且
可微的充分条件:函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某个邻域内可偏导,且偏导数
f x '(x , y ), f y '(x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续,则z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 可微。
八、多元复合函数的求导法则
链式法则:z =f (u , v ) ,u =
u (x , y ), v =v (x , y )
一阶全微分的形式不变性:z =f (u , v ) ,u =u (x , y ), v =v (x , y )
dz =
∂z ∂z ∂z ∂z dx +dy , dz =du +dv ∂x ∂y ∂u ∂v
九、隐函数及其求导法
若F (x , y ) 满足:(1) F (x , y ) 在(x 0, y 0) 某邻域内可偏导, 且F x '(x , y ), F y '(x , y ) 连续,(2) F (x 0, y 0) =0,(3) F y '(x 0, y 0) ≠0。则(1) 存在x 0的某个邻域,在此邻域内存在唯一确定的一元函数y =f (x ) 满足称函数y =f (x ) 称为由方程F (x , y ) =0所确定的隐函数,且
y =f (x ) 具有连续导数,
F (x , y ) d y
. =f '(x ) =-x
d x F y (x , y )
000
若F (x 1, x 2, , x n , y ) 满足:(1) F (x 1, x 2, , x n , y ) 在点(x 1, x 2, , x n , y 0) 的某个(n +1)
维邻域内可偏导, 且F x '(x 1, x 2, , x n , y ), , F x 'n (x 1, x 2, , x n , y ), F y '(x 1, x 2, , x n , y ) 连续。 1
000000(2) F (x 1, x 2, , x n , y 0) ≠0 , x 2, , x n , y 0) =0,(3) F y '(x 1
000则(1) 存在点(x 1, x 2, , x n ) 的某个n 维邻域, 在此邻域内存在唯一的n 元函数,且函数
y =f (x 1, x 2, , x n ) 在该邻域内具有连续偏导数, y 'x i =-
十、空间曲线的切线与法平面
F x 'i F y '
, n , 。 , i =1, 2
⎧x =x (t )
⎪
空间曲线Γ的参数方程为⎨y =y (t ) ,M 0(x (t 0), y (t 0), z (t 0)) 为曲线上一点。如果
⎪z =z (t ) ⎩
则在点M
0x '(t 0), y '(t 0), z '(t 0) 不全为0,
在点M 0处的法平面方程为:(x -x 0) x '(t 0) +(y -y 0) y '(t 0) +(z -z 0) z '(t 0) =0。 十一、空间曲面的切平面与法线
曲面∑:F (x , y , z ) =0在点处M
0在点处M
0十二、无条件极值
极值存在的必要条件:函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处取得极值, 且在该点处函数的偏导数都存在, 则z =f (x , y ) 在P 0(x 0, y 0) 点处的一阶偏导数为零, 即 f x '(x 0, y 0) =0,
f y '(x 0, y 0) =0
极值存在的充分条件:函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域内有一阶及二阶连续
''(x 0, y 0) =A ,f xy ''(x 0, y 0) =B ,偏导数,且f x '(x 0, y 0) =f y '(x 0, y 0) =0。令f xx
''(x 0, y 0) =C ,则 f yy
(1) 当AC -B 2>0时,f (x 0, y 0) 是函数z =f (x , y ) 的极值,其中当A
f (x 0, y 0) 为极大值,当A >0时f (x 0, y 0) 为极小值。
(2) 当AC -B 2
函数z =f (x , y ) (称为目标函数)在条件φi (x , y ) =0, i =1,2, , k 下极值问题转化为求辅助函数L (x , y , λ1, , λk ) =f (x , y ) +
∑λϕ(x , y ) 的无条件极值的问题。
i i
i =1
k