激光原理与技术6
激光原理与技术
西安电子科技大学 技术物理学院 刘继芳
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 研究方法采用波动光学理论
光的衍射概念和计算方法
采用腔型
开腔的典型代表:对称共焦腔
R1=L
R2=L
F L
一、对称共焦腔及其意义
实共焦腔: R1 0, R2 0 对称共焦腔:R1 R2 L
R1 R2 L 两腔镜焦点重合且在腔内 2 2 g1 0, g2 0, g1g2 0 临界腔!
无几何偏折损耗!(衍射损耗仍存在)
意义:
惟一可以给出自再现模解析解的腔型
其他腔型模的解可等效为共焦腔处理
F L
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
二、Fox and Li开腔模概念(1961)
平面光波在平行平面腔中的来回反射,不计几何偏折损耗(大NF 腔) 时,等价于通过周期分布“孔拦”的传输。用数值迭代方法 计 算证实:自再现模存在。(3000次以后不再发生变化)
等价
L L L
u1 u2 u3 uq uq+1
uq 1 uq 复常数
开腔中的自再现模场分布=衍射为零时的自洽场分布
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
三、自再现模的本征方程(对称共焦腔)
1. 求自再现模本征方程的物理基础 ——菲涅耳—基尔霍夫方程
已知衍射屏xOy上场分布u(x,y),根据惠更斯—菲涅耳原理:
e ikr 1 cos u ( x , y ) u ( x, y ) dxdy S r 2 i
子波强度 球面波倾斜因子
r:pp两点间距,
1 cos 倾斜因子, 2
x r
x p
:r与腔轴之间夹角
p
y
y
z
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 2. 再现模本征方程
若谐振腔满足:
L>>a,a >>,有: cos 1 i e ikr u ( x , y ) u ( x, y ) dxdy S L
1 cos 1 2
自洽条件:u( x, y) u ( x, y )
S
则有:
u( x, y) u( x, y) K ( x, y; x, y)dxdy
x
只有对称共焦腔:当xOy面在M1处,当xOy面在M2处满足! x
F L z y
y
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
分析如下:
这是关于u的积分方程,求解:u(x,y)[ u(x,y) ]横 向场分布的本征方程。 其解u为本征函数(横模),为本征值。 本征方程积分核 K ( x, y; x, y) eikr ,为复对称核。 腔结构对称,积分核对称! L
i
积分方程理论:(1) 对称核:本征函数一定是正交归一函数系 腔内任意场分布=ti本征函数i (2) 复核:本征函数、本征值一定是复值
本征函数u正交归一化的函数系,加下标: u um 。 um对应本征值 m
§2.3 对称共焦腔的自再现模
行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
本征方程可改写为: 因此:
m u m ( x, y ) u m ( x, y) K ( x, y; x, y )dxdy m 0,1,2
S
um和m为复数,故有:
um ( x, y) um ( x, y) e
m
i m ( x , y )
m m ei 意义?
m
um m e i u m ∵ um
可见:m对本征模在腔内渡越时产生两方面影响: (1) m引起振幅变化:损耗 (2) e im产生一个附加相移
自再现模平均单程损耗因子:
D
um um um
2
2
2
1 m
2
不同横模损耗不同!
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
自再现模腔内单程渡越相移:
k m L Δ m m arg( u) arg( u) arg( m ) m
几何相移
附加相移
对称共焦腔的驻波条件(频率条件):
2π m m k m L Δ m qπ k m
c Δm m q 2L π
纵模指数
c
横模指数
可见:对于横模指数为m的横模,可以有不同的振荡频率! 记为TEMm(n)q模
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
四、对称共焦腔自再现模在镜面上场分布
1. 自再现模本征方程解
i ikr K ( x, y; x, y) e L
r—关键 —
对称共焦腔最简单
任意腔可等效为对称共焦腔
已知M1面(球面)上场分布u,求M2面上场分布! 相应间距: r P 1P 1 PP 1 2 由OOP和OOP : x O P P1
1
( L 1 )2 L2 ( x 2 y 2 )
2 x P P 1
O z L
( L 2 )2 L2 ( x2 y2 )
1
x y 2L
2
2
2
x y 2L
2
2
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
可求得r: r [( x x)2 ( y y)2 L2 ]1 / 2 1 2
( x x) ( y y) L 1 2 2 L L
2
2 1/ 2
1 2
( x x)2 ( y y)2 L 1 1 2 2 2L x 2 y 2 x 2 y 2 xx yy L 1 2 2L 2L L
xx yy L L
代入本征方程有: mum ( x, y)
x2 y2 x2 y2 2 1 2L 2L
i ikL e um ( x, y )e S L
ik
xx yy L
dxdy
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
mum ( x, y) 本征方程也可改写为:
x 其中: f x , L
i ikL i2π( f x f y) e um ( x, y )e x y dxdy S L y fy L
可见:um ( x, y) um ( x, y) 构成傅里叶变换对
mum ( x, y) cFTum ( x, y) 物场与频谱场分布自洽
① 若um(x,y)可分离变量
求解大为简化
um ( x, y) umn ( x, y) um ( x)un ( y)
m mn m n
② 若S有限大——本征方程可精确求解; 若S很大——本征方程需近似求解。
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
③ 实际上,S的大小并不由腔镜镜面尺寸决定,很多情况下是由腔 内增益介质横截面尺寸决定(尺寸很小) ④ 腔镜横截面(介质横截面)形状不同,分离变量方法不同。
方形——直角坐标系下分离变量
圆形——极坐标系下分离变量
2. 方镜对称共焦腔镜面上场分布—厄米高斯函数
直角坐标系下分离变量 u mn ( x, y) u m ( x)u n ( y) y
2a 2a x 腔镜反射面在xOy面投影 腔镜反射面形状
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
分离变量后的本征方程:
ik ( ) ik m n u m ( x )u n ( y ) e u m ( x)u n ( y )e L L dxdy a 2 πL 2 a 2 令:X x 2πN / a, Y y 2πN / a N a k /( 2πL) 菲涅耳数 L 2 πN i ikL i ( XX YY ) U ( X ) U ( Y ) e U ( X ) U ( Y ) e dXdY 有: m n m n n 2 πN 2π m ikL a xx yy
令: 则:
m n m n /ie ikL
1 U m ( X ) 2π m
2 πN
2 πN
U m ( X )eiXX dX
U n (Y )
1 2π n
2 πN
2 πN
U n (Y )eiYY dY
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
当N较大时,积分方程有如下解(用近似解代替精确解):
Um ( X ) e
X2 2
Hm ( X )
U n (Y ) e
Y2 2
H n (Y )
其中:Hm、Hn为厄米多项式:
H0 ( ) 1 H2 ( ) 4 2 2 H4 ( ) 16 4 48 2 12
H1 ( ) 2
H3 ( ) 8 3 12
d m 2 H m ( ) (1) e m e d
m 2
(1) k m! (2 ) m 2 k k 0 k!( m 2k )!
m 2
m m 整数部分 2 2
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——开腔模场分布的波动光学分析
2 2 2 2 2 X x π x a x 2 由: 2 2πN 2 2π x 2 2 2a L L 2a w0s L 其中: w0 s
π
得: X
2
x w0s
Y 2
y w0s
x2 y2
2 w0 s
x x 镜面上场分布: u ( x, y ) CmnH m 2 Hn 2 e w0s w0s
mn e
π i[ kL ( m n 1) ] 2
m=0,1,2 n=0,1,2
镜面上场分布为厄米高斯函数(分布)!相应光束称为厄米高斯光束
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
3. 圆镜对称共焦腔镜面上场分布—拉盖尔高斯函数
取极坐标系 (,,z)
分离变量
umn ( , ) um ( )un ( )
得镜面上场分布: umn ( , ) Cmn 2 其中
:w0 s
L
π
e L 2 n 2 w0s w0s
2
m
2
2 w0 s
eim
, Lm 为缔合拉盖尔多项式 n ( ) m=0,1,2 n=0,1,2
mn e
π i[ kL ( m 2 n 1) ] 2
镜面上场分布为拉盖尔高斯函数(分布)!相应光束称为拉盖尔高斯光束
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
缔合拉盖尔多项式: Lm 0 ( ) 1
Lm 1 ( ) 1 m
L ( )
m n k 0
n
1 Lm ( ) [(1 m)( 2 m) 2(2 m) 2 ] 2 2 (n m)!( )k
(m k )! k!(n k )! n 0,1,2
综合(方和圆)讨论:
(1) 方: mn e
π i[ kL ( m n 1) ] 2
圆: mn e
π i[ kL ( m 2 n 1) ] 2
均为纯虚数!mn描述损耗,说明衍射损耗等于零!
相当于菲涅耳数NF,亦即镜面尺寸a的结果。
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——开腔模场分布的波动光学分析
(2) 镜面上场分布相位与x,y无关。 ——镜面是本征模场分布的等相面! (3) 用TEMmnq表示本征模。 m —x 方向场零点数目 n — y 方向场零点数目
m, n—横模指数 q — 纵模指数
q — z 方向半波长数目
(4) m=0,n=0的本征模称为基模,记为TEM00。 方: u00 ( x, y) C00e
x2 y2
2 w0s
圆: e u00 ( , ) C00
2
2 w0s
损耗最低,起振容易。称为优势振荡模
振幅分布为高斯函数——基模高斯光束 1 2 2 当 x 2 y 2 w0s 或 2 w0s 时,振幅减小为中心的
e
圆形光斑,中心最亮,向外逐渐减弱。w0s称为光斑半径
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
(5) 镜面光斑图样
x2 y2
2 w0s
TEM00模
m=0,n=0
2 x 2 y 2 2 w0 s
方: u00 ( x, y) C00e y
e 圆:u00 ( , ) C00
2
2 w0s
x
u00 ( x, y) u00 (0,0) / e
w0s
L
π
y
x 镜面上00模光斑半径
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 TEM10模 方:
u10 ( x, y) C10 xe
x y
2 w0s 2 2
圆:
e u10 ( , ) C10
2
2 w0s
cos
m=1,n=0
x方向:1根零线 y方向:无零线 y
方向:1根零线 方向:无零线
x
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 TEM01模
方: 圆:
x y
2 w0s 2 2
u 01 ( x, y) C01 ye
m=0,n=1
(1 2 u 01 ( , ) C01
w
2 2 0s
2
2 w0s
)e
x方向:无零线 y方向:1根零线 y
方向:无零线 方向: 1根零线
x
与TEM10模相同
与TEM10模不同
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——开腔模场分布的波动光学分析
(6) 共振(纵模)频率 方: mn
e
π i[ kL ( m n 1) ] 2 π i[ kL ( m 2 n 1) ] 2
圆: mn e
π 2
mn [kL (m n 1) ]
mn [kL (m 2n 1) ]
k 2 π c
π 2
共振(驻波)条件: mn qπ
π [kL (m n 1) ] qπ 2
mnq
c [q (m n 1) / 2] 2L
π [kL (m 2n 1) ] qπ 2 c mnq [q (m 2n 1) / 2] 2L
纵模频率间隔: Δ q q 1 q
c 2L
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——开腔模场分布的波动光学分析
五、腔内(外)行波场
我们得到了对称共焦腔镜面上的场分布。实际上,上述光波场 在腔内(外)是传播的!腔内(外)任一参考面上的光波场?
由镜面上的场分布+菲涅耳—基尔霍夫积分求出任意z面上的场 分布,即为行波场。 umn(x,y) umn(x,y,z) z
L RP TEMmn: mx, ny,
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
1. 方型镜
umn ( x, y, z )
2
1
mn
m! n!
1/ 2
2x 2 y w0 Hm Hn w ( z ) w ( z ) L w( z ) 2
2
e
x2 y2 ik 2R( z)
e
x2 y2 w (z)
e
z i kz ( m n 1) tan 1 f
基模:TEM00(m=0, n=0)厄米—高斯光束
u00 ( x, y, z )
w0 e L w( z )
2
2
x2 y2 ik 2R( z)
e
x2 y2 w (z)
2
e
1 z i kz tan f
w0 e L w( z )
ik
x2 y2 ~( z) 2q
e
1 z i kz tan f
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——开腔模场分布的波动光学分析
其中:
1 1 ——光束复曲率 i 2 ~ q ( z ) R( z ) πw ( z )
2 R L πw0 ——光束共焦参数 f 2 2
w0
f
π
L
2π
w0s 2
条件:
f2 R( z ) z ——光束等相面曲率半径 z 1/ 2 z 2 w( z ) w0 1 f ——光斑半径 L/2
O
(1) z坐标原点选在对称共焦腔中心处
L
L/2 z
(2) 行波场相位参考点也选在腔中心处。即z=0,=0
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
2. 圆型镜
m TEMmn: n
——开腔模场分布的波动光学分析
m
umn ( , , z ) u0 e
w0 m 2 Ln 2 2 e w( z ) w( z ) w ( z)
2
2
w 2 ( z ) im
e
2 ( m 2 n 1) tan 1 z i k z f 2R( z)
w0 m u0 2 Ln 2 2 e w( z ) w( z ) w ( z)
2
m
z 2 i kz ( m 2 n 1) tan 1 ik ~ f 2 q ( z ) im
e
e
其中:~
1 , f , w0 , w( z ), R( z ) 与
方型镜意义相同。 q ( z)
基模:TEM00(m=0, n=0)拉盖尔—高斯光束
u 00 ( , , z ) u 0
w0 e w( z )
ik ~ 2q ( z )
2
e
1 z i kz tan f
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
五、基模高斯光束特性
1. 基模高斯光束参量
基模光束可统一表示为: E ( x, y, z ) E0 ( z )e
等相面为球面,所以为球面波。 描述光束的基本参量为: ~
1 1 i 2 —复曲率 q ( z ) R( z ) πw ( z )
r2 ik ~ 2q ( z )
e
1 z i kz tan f
w0
f
π
f2 R( z ) z z w( z ) w0 1 2 πw0 f
———等相面曲率半径
z f
2 1/ 2
—光斑半径
———光束共焦参数
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 2. 振幅特性
z处基模光束振幅为:
r2 2 w2 ( z )
A( z ) E0 ( z )e
A[r w( z )] E0 ( z )/e w(z)—z处光斑半径
z 2 由 w( z ) w0 1 f
1/ 2
w2 ( z ) z 2 2 1 关于z的双曲方程 2 w0 f
可见:w(z)随z变化,并且有: w(0)=w0取最小值—束腰 束腰半径:w0
f
π
w0
O L
w(z) w0s z
w0s 2w0
z L/2 f
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 3. 方向特性—发散角
xOz面或yOz为双曲线:
00
L
z
双曲线的两渐近线的夹角200称为高斯光束的远场发散角 由: 00 lim dw( z ) z π w0 dz
得: 2 00
2 πw0
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 4. 变心特性—变心球面波
相位因子: 2f
1
O
e
r2 ik z 2R( z)
球面波
e
i tan
z f
球心
z
超前的附加相位因子
f2 由: R( z ) z z
( R ( z ) z!不同于球心不变的球面波了) R(z)
2f
可见: z=0,R(0),平面波 z=f,R(f)=2f=L=R,球面波(心在另一镜处) z>L/2,R(z)>L=R,球面波(心向原点靠近) z ,R(0),球面波(心在原点处)
f
f 2f
z
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
5. 附加相移
根据相位因子: 附加相移:
e
r2 ik z 2 R ( z )
e
i tan 1
z f
z f 可见: z=0,tan10=0,附加相移=0 Δ tan 1
z=f=R/2,tan11=/4,附加相移=/4 z=f= R/2,tan11 = /4,附加相移= /4 从镜1到镜2一个单程相移/2!
tan1z/f /2 /4
f
z
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
6. 谐振频率
单程相移(2=r2=0):
1 z2 1 z1
k ( z2 z1 ) (m n 1) tan tan πq π f πf L 4 4 z 1 2 1 z1 k ( z2 z1 ) (m 2n 1) tan tan πq f f
z1
O L
z z2
mnq
c 1 q ( m n 1 ) 方镜 2L 2
mnq
c 1 圆镜 q ( m 2 n 1 ) 2L 2
00q
c 1 q 2L 2
Δ q
c 2L
Δ m Δ n 4
c 2L
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——开腔模场分布的波动光学分析
6. 模体积
基模体积(m=n=0):
V00 1 1 L 2 Lπw0 Lπ s 2 2 π
2
w0s
L2 2 高阶模体积:
Vmn
L
1 2 2 Lπwm w s ns 2 1 2 Lπ (2m 1)( 2n 1) w0 s 2
wms 2m 1w0s
wns 2n 1w0s
(2m 1)(2n 1) V00