7.3无理数概念
7.3√2是有理数吗
学习目标:1、 理解无理数的概念,明确√2不是有理数的原因。
2、 正确区分有理数,无理数,并会举例分类。
学习重点:无理数的概念以及与有理数的区别。
学习难点:√2不是有理数的与证明。
关键:与有理数对比,小组间交流,加深理解
学习过程:
一:引桥过渡:
有理数是 所有的分数,整数,它们都可以化成有限小数,或无限循环小 实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。 无理数是无限不循环小数。 如圆周率、√2等。
二:小组间交流:无理数与有理数的区别
1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成整数、小数或无限循环小数,比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,
比如√2=1.414213562…………根据这一点, 人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、无理数不能写成两整数之比,举例不对,1分之根号2,根号2本身就不是整数。
利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数。 证明:假设√2不是无理数,而是有理数。
既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式: √2=p/q
又由于p 和q 没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为最简分数, 即最简分数形式。
把 √2=p/q 两边平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数,p 必定为偶数,设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q 必然也为偶数,设q=2n
既然p 和q 都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。
1. 判断a√b是否无理数(a ,b 是整数)
若a√b是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:
a √b=c/d(c/d是最简分数)
两边a 次方得b=c^a/d^a 即c^a=b*(d^a) c^a一定是b 的整数倍,设c^a=b^n*p 同理b*(d^a) 必然也为b 的整数倍,设b*(d^a)=b*(b^m*q). 其中p 和q 都不是b 的整数倍
左边b 的因子数是a 的倍数,要想等式成立,右边b 的因子数必是a 的倍数,推出当且仅当b 是完全a 次方数,a√b才是有理数,否则为无理数。
三、无理数的口诀记忆
√2≈1.41421:意思意思而已
√3≈1.7320:一起生鹅蛋
√5≈2.2360679:两鹅生六蛋(送) 六妻舅
√7≈2.6457513:二妞是我, 气我一生
e≈2.718:粮店吃一把
π≈3.14159:山顶一寺一壶酒
无理数包括:正无理数和负无理数。是无限不循环小数。
四:无理数的练习: 页练习题。
完成后小组讨论,集体更正答案。
五:课堂小结 本节课你有何收获?和同桌交流。
六:课后提升 如何将√2表示在数轴上?√3 ,√5,√6呢?
见课本 交流与发现。
七:教学反思