第6章 材料力学的基本概念

第二篇 材料力学

第6章 材料力学的基本概念

教学提示：材料力学是变形体力学，为设计构件提供有关强度、刚度和稳定性计算的基本原理和方法，是材料力学所要研究的主要内容。本章主要介绍材料力学的任务，基本假设，内力与应力的概念，以及杆件变形的基本形式。 教学要求：明确材料力学的任务和基本假设，掌握应力与应变的概念，了解杆件变形的基本形式。

6.1 材料力学的任务

在生产实际中，各种机械和工程结构得到广泛应用。组成机械的零件和结构的元件，统称为构件。如机械的轴，房屋的梁、柱子等。在机械或工程结构工作时，有关构件将受到力的作用，因而会产生几何形状和尺寸的改变，称为变形。若这种变形在外力撤除后能完全消除，则称之为弹性变形；若这种变形在外力撤除后不能消除，则称之为塑性变形(或永久变形) 。为了保证机械或工程结构能正常工作，则要求每一个构件都具有足够的承受载荷的能力，简称承载能力。构件的承载能力通常由以下3个方面来衡量：

构件应具备足够的强度（即抵抗破坏的能力），以保证在规定的使用条件下不致发生破坏。

构件应具备足够的刚度（即抵抗变形的能力），以保证在规定的使用条件下不产生过分的变形。

构件应具备足够的稳定性（即维持其原有平衡形式的能力），以保证在规定的使用条件下不产生失稳现象。

由上述三项构件安全工作的基本要求可以看出：如何合理的选用材料（既安全又经济）、如何恰当的确定构件的截面形状和尺寸，便成为构件设计中十分重要的问题。

材料力学的主要任务是：研究构件在外力作用下的变形、受力和破坏规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。

一般说来，强度要求是基本的，只是在某些情况下才提出刚度要求。至于稳定性问题，只是在特定受力情况下的某些构件中才会出现。

材料的强度、刚度和稳定性与材料的力学性能有关，而材料的力学性能主要由实验来测定；材料力学的理论分析结果也应由实验来检验；还有一些尚无理论分析结果的问题，也必须借助于实验的手段来解决。所以，实验研究和理论分析同样是材料力学解决问题的重要手段。

6.2 变形固体的及其基本假设

在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。变形固体在外力

作用下所产生的物理现象是各种各样的，为了研究的方便，常常舍弃那些与所研究的问题无关或关系不大的特征，而只保留其主要特征，并通过作出某些假设将所研究的对象抽象成一种理想化的“模型”。例如，在理论力学中，为了从宏观上研究物体机械运动规律，可将物体抽象化为刚体；而在材料力学中，为了研究构件的强度、刚度和稳定性问题，则必须考虑构件的变形，即只能把构件看作变形固体。在材料力学中，对变形固体作如下假设：

1、连续性假设：

认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质。根据这一假设，物体内因受力和变形而产生的内力和位移都将是连续的，因而可以表示为各点坐标的连续函数，从而有利于建立相应的数学模型。

2、均匀性假设：

认为物体内的任何部分，其力学性能相同。按此假设，从构件内部任何部位所切取的微元体，都具有与构件完全相同的力学性能。同样，通过试样所测得的材料性能，也可用于构件内的任何部位。应该指出，对于实际材料，其基本组成部分的力学性能往往存在不同程度的差异，但是，由于构件的尺寸远大于其基本组成部分的尺寸，按照统计学观点，仍可将材料看成是均匀的。

3、各向同性假设：

认为在物体内各个不同方向的力学性能相同。我们把具有这种属性的材料称为各向同性材料，如低碳钢、铸铁等。在各个方向上具有不同力学性能的材料则称为各向异性材料，如由增强纤维(碳纤维、玻璃纤维等) 与基体材料(环氧树脂、陶瓷等) 制成的复合材料。本书仅研究各向同性材料的构件。按此假设，我们在计算中就不用考虑材料力学性能的方向性，而可沿任意方位从构件中截取一部分作为研究对象。

4、小变形假设：

认为构件的变形极其微小，比构件本身尺寸要小得多。。根据这一假设，当考虑构件的平衡问题时，一般可略去变形的影响，因而可以直接应用理论力学的分析方法。

实际上，工程材料与上面所讲的“理想”材料并不完全相符合。但是，材料力学并不关心其微观上的差异，而只着眼于材料的宏观性能。实践表明，按这种理想化的材料模型研究问题，所得的结论能够很好地符合实际情况。即使对某些均匀性较差的材料(如铸铁、混凝土等) ，在工程上也可得到比较满意的结果。

6.3 杆件变形的基本形式

工程实际中的构件是各种各样的，但按其几何特征大致可以简化为杆、板、壳和块体等。本书所研究的只是其中的杆件。所谓杆件是指其长度远大于其横向尺寸的构件。杆件在不同的外力作用下，其产生的变形形式各不相同，但通常可以归结为以下四种基本变形形式。

1. 轴向拉伸或压缩

杆件受到与杆轴线重合的外力作用时，杆件的长度发生伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸(图6.1(a))或轴向压缩(图6.1(b))。如简单桁架中的杆件通常发生轴向拉伸或压缩变形。

图 6.1

2. 剪切

在垂直于杆件轴线方向受到一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的力作用时，杆件横截面将沿外力作用方向发生错动(或错动趋势) ，这种变形形式称为剪切(图6.1(c))。机械中常用的连接件，如键、销钉、螺栓等都产生剪切变形。

3. 扭转

在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于直杆轴线的外力偶作用下，直杆的任意两个横截面将发生绕杆件轴线的相对转动，这种变形形式称为扭转(图

6.1(d))。工程中常将发生扭转变形的杆件称为轴。如汽车的传动轴、电动机的主轴等的主要变形，都包含扭转变形在内。

4. 弯曲

在垂直于杆件轴线的横向力，或在作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕垂直于杆轴线的轴发生相对转动，杆件轴线由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲(图6.1(e))。如桥式起重机大梁、列车轮轴、车刀等的变形，都属于弯曲变形。凡是以弯曲为主要变形的杆件，称为梁。

6.4 内力和应力

1. 内力

构件在未受外力作用时，其内部各质点之间即存在着相互的力作用，正是由于这种“固有的内力”作用，才能使构件保持一定的形状。当构件受到外力作用而变形时，其内部各质点的相对位置发生了改变，同时内力也发生了变化，这种引起内部质点产生相对位移的内力，即由于外力作用使构件产生变形时所引起的“附加内力”，就是材料力学所研究的内力。当外力增加，使内力超过某一限度时，构件就会破坏，因而内力是研究构件强度问题的基础。

2. 截面法

为了显示和确定构件的内力，可假象地用一平面将构件截分为A 、B 两部分(图

6.2(a))，任取其中一部分为研究对象(例如A 部分) ，并将另一部分(例如B 部分) 对该部分的作用以截开面上的内力代替。由于假设构件是均匀连续的变形体，故内力在截面上是连续分布的(图6.2(b))。应用力系简化理论，这一连续分布的内力系可以向截面形心C 简化为一主矢FR 和一主矩M ，若将它们沿三个选定

的坐标轴(沿构件轴线建立x 轴，在所截横截面内建立y 轴与z 轴) 分解，便可得到该截面上的3 个内力分量F N ，F sy 与F sz ，以及3个内力偶矩分量Mx ，My 与Mz （图6.2（c ））。

图 6.2

由于整个构件处于平衡状态，其任一部分也必然处于平衡状态，故只需考虑

A 部分的平衡，根据理论力学的静力平衡条件，即可由已知的外力求得截面上各个内力分量的大小和方向。同样，也可取B 部分作为研究对象，并求得其内力分量。显然，B 部分在截开面上的内力与A 部分在截开面上的内力是作用力与反作用力，它们是等值反向的。

上述这种假想地用一平面将构件截分为两部分，任取其中一部分为研究对象，根据静力平衡条件求得截面上内力的方法，称为截面法。其全部过程可以归纳为如下3 个步骤：

(1) 在需求内力的截面处，假想地用一平面将构件截分为两部分，任取其中一部分为研究对象。

(2) 在选取的研究对象上，除保留作用于该部分上的外力外，还要加上弃去部分对该部分的作用力，即截开面上的内力。

(3) 由理论力学的静力平衡条件，求出该截面上的内力。

必须指出，在计算构件内力时，用假想的平面把构件截开之前，不能随意应用力或力偶的可移性原理，也不能随意应用静力等效原理．这是由于外力移动之后，内力及变形也会随之发生变化。

3. 应力

上节我们应用截面法分析了构件截面上的内力，但是，截面法仅能求得构件截面上分布内力系的主矢和主矩。一般情况下，内力在截面上并不是均匀分布的。为了描述内力系在截面上各点处分布的强弱程度，我们需引入内力集度(分布内力集中的程度) 即应力的概念。

如图6.3(a)所示，在受力构件截面上任一点K 的周围取一微小面积Δ A，并设作用于该面积上的内力为Δ F ，则Δ A上分布内力的平均集度为

(6.1)

图 6.3

p m 称为Δ A上的平均应力。由于截面上的内力一般并非均匀分布，因而平均应力p m 之值及其方向将随所取Δ A的大小而异。为了更准确地描述点K 的内力分布情况，应使Δ A趋于零，由此所得平均应力p m 的极限值，称为点K 处的总应力(或称全应力) ，并用p 表示，

即 (6.2)

显然，总应力p 的方向即Δ F 的极限方向。为了分析方便，通常将总应力p 分解为垂直于截面的法向分量σ 和与截面相切的切向分量τ (图6.3(b))。法向分量σ 称为正应力，切向分量τ 称为切应力。显然，总应力p 与正应力σ 和切应力τ 三者之间有如下关系

(6.3)

应力量纲是[力]／[长度]2，在国际单位制中，应力单位是“帕斯卡”(Pascal)或简称帕(Pa)，1Pa ＝1N ／m 2。由于这个单位太小，使用不便，故也常采用千帕(kPa)(1kPa=103Pa) 、兆帕(MPa)(1MPa=106Pa) 或吉帕(GPa)(1GPa=109Pa) 。

6.5．思考题

6.1 试说明下列各组物理量之间的区别和联系，常用单位和量纲。

（1）内力与应力； （2）应力与压强；

（3）正应力、切应力、与全应力；（4）弹性与塑性。

6.2 何谓强度、刚度和稳定性？材料力学的任务是什么？

6.3 何谓变形固体？材料力学对变形固体作了什么基本假设？其作用是什么？

6.4 试述杆的几何特征，杆件变形的基本形式有几种？试各举一例。