第36讲 静不定系统(Ⅱ)

第36讲 教学方案

—— 静不定系统（Ⅱ）

§14-3 对称及反对称性质的利用

1．对称结构的对称变形与反对称变形

结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构（图12-8a ）。

当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形（图12-8b ）。如外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形（图12-8c ）。

正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上（图12-8b ），反对称内力 Q 等于零或已知；反对称变形（图12-8c ）反对称截面上，对称内力M 为零或已知。

2．对称变形

以图12-9（a ）对称变形为例，切开结构对称截面，此为三次超静定，应有三个多余未知力，即轴力 X 1 ，弯矩 X 2 与剪力 X 3 。可证明其反对称内力 X 3 应为零，正则方程为：

δ11X 1+δ12X 2+δ13X 3+∆1P =0 （a ）

δ21X 1+δ22X 2+δ23X 3+∆2P =0 （b ）

δ31X 1+δ32X 2+δ33X 3+∆3P =0 （c ）

用图乘法计算 δij 及 ∆iP (i =1, 2, 3) 时，所要用的载荷弯矩图 M P 以及X 1=1，X 2=1，

（c ）、（d ）、（e ）、（f ），其中M P ，1，2均对称于对X 3=1时的弯矩图分别见图12-9、

称轴，而3反对称于对称轴。由莫尔积分知对称函数与反对称函数相乘在区间积分应为零，即有：

∆3P =⎰M P 3dx =0，δ13=δ31=⎰13dx =0，δ

23=δ32=⎰23dx =0 l l l EI EI EI

将此结果代入（c ）， δ33≠0则必有X 3=0。

3．反对称变形

以图12-8（c ）为例，在对称面切开后，其多余未知力也是 X 1，X 2与 X 3，同上类似证明，其对称内力X 1与X 2应等于零，只需一个协调方程，即可解出 X 3，即有

δ13=δ31=δ23=δ32=0，∆1P =∆2P =0

而正则方程为 δ11X 1+δ12X 2=0 （a ）

δ21X 1+δ22X 2=0 （b ）

δ33X 3+∆3P =0 （c ）

由（a ）、（b ）得X 1=X 2=0，由（c ）得X 3=∆3P /δ33。

4．对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化为对称和反对称两种情况的叠加。如图12-10，12-11。

例14-3 半径为 R 的圆环，直径CD 方向受一对力 P （图12-12a ）, 求圆环内弯矩M 。

解：（1）超静定次数：封闭圆环为三次超静定。在A 处截开，则有三个多余未知力，弯矩 X 1，轴力 X 2，剪力 X 3（图12-12b ）。

（2）对称性：直径AB 为一对称轴，对称截面A 上剪力 X 3应为零，对称截面B 上弯矩和轴力与截面A 上相等。由竖直方向力的平衡可得 X 2=P /2 。故只有弯矩X 1未知（图c ）。

（3）选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图（c ），则协调条件应是A 或B 截面在 P 及弯矩 X 1作用下转角 θ 应为零（由对称性可知），所以有

δ11X 1+∆1P =0 （a ）

（4）δ11 ，∆1P 计算

静定基上施加外力P 如图（d ）及单位力偶如图（e ），用莫尔法求 δ11 与 ∆1P 。 单位力偶引起弯矩：=1，(0≤ϕ≤π) 外力引起弯矩：M P =PR π⎫(1-cos ϕ)，⎛ 0≤ϕ≤⎪ 22⎭⎝

根据对称性，可只取1/4圆环进行计算，故有

⋅R πR =⎰ds =⎰2d ϕ= l 0EI EI 2EI πδ11

π22M P ()PR 1-cos ϕPR ∆1P =⎰ds =⎰2d ϕ=-l 0EI EI 2EI ⎛π⎫ -1⎪ ⎝2⎭

（5）求未知力X 1：由（a ）式

2⎛πR ⎫PR ⎛π⎫X 1⋅ ⎪- -1⎪=0 ⎝2EI ⎭2EI ⎝2⎭

得

X 1=

（6）圆环内弯矩M 为： PR ⎛π⎫ -1⎪=0. 182PR π⎝2⎭

M =M P +X 1=PR (1-cos ϕ)-(0. 182PR )⨯1=(0. 636-cos θ)PR 22

§14-4 连续梁及三弯矩方程

1．连续梁及其静不定次数

为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座（图12-13（a ）），在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。

2．三弯矩方程

连续梁是静不定结构，静定基可有多种选

择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个

支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的

位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包

含多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想

将每个中间支座上的梁切开（图12-13（b ）），

并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每

个简支梁都是一个静定基，这相当于把每个支

座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩M 1，

M 2，... ，M i ，M n +1作为多余约束力（图12-13

（b ）），则每个支座上方的铰链两侧截面上需加

上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其相

应的位移是两侧截面的相对转角。于是多余约

束处的变形协调条件是梁中间支座处两侧截面

的相对转角为零。如对中间任一支座n 来说，其变形协调条件为（图12-14（a ））

δn , n -1M n -1+δnn M n +δn , n +1M n +1+∆nP =0 （14-5）

方程（12-5）中只涉及三个未知量 M n -1，M n ，M n +1。δn , n -1，δnn ，δn , n +1 及 ∆nP 可用莫尔积分来求：

（1）求 ∆nP ：静定基上只作用外载荷时（图12-14（b ）），跨度l n 上弯矩图为 M nP ，跨度 l n +1上弯矩图为 M (n +1)P （图12-14（c ））。当 n =1 时（图12-14（e ）），跨度 l n 和 l n +1 内弯矩分别为

'=

由莫尔积分得 x n x ，''=n +1 l n l n +1

M (n +1)P x n +1M nP x n ∆nP =⎰dx n +⎰dx n +1l n EIl l N +1EIl n n +1 ⎛⎫111 =x d ω+x n +1d ωn +1⎪n n ⎰⎰ ⎪l l EI ⎝l n n l n +1n +1⎭

式中 M nP dx n =d ωn 是外载单独作用下，跨度 l n 内弯矩图的微面积（图12-14（c

）），

而 ⎰l n x n d ωn 是弯矩图面积 ωn 对 l n 左侧的静矩，如以 a n 表示跨度 l n 内弯矩图面

积的形心到左端的距离，则 ⎰l n x n d ωn =a n ωn 。同理 b n +1 表示外载荷单独作用下，跨度

l n +1l n +1 内弯矩图面积 ωn +1 的形心到右端的距离，则⎰x n +1d ωn +1=b n +1ωn +1 。于是有

∆nP 1⎛ωn a n ωn +1b n +1⎫ ⎪ =+ EI ⎝l n l n +1⎪⎭

式中第一项可看作是跨度 l n 右端按逆时针方向的转角，第二项看作跨度 l n +1 按顺时针方向的转角。两项和就是铰链n 两侧截面在外载荷单独作用下的相对转角。

（2）δn (n -1)，δnn ，δn (n +1) 的计算

当n 支座铰链处作用有n =1时，其弯矩图如图12-14（e ），用莫尔积分有：

δnn =⎰l n 1⎛x n EI ⎝l n ⎫⎛x n ⎪⎪ ⎭⎝l n ⎫1⎛x n +1⎫⎛x n +1⎫1⎪ ⎪ ⎪dx +dx =⎪n ⎰l n +1EI l ⎪ l ⎪n +13EI (l n +l n +1)

⎭⎝n +1⎭⎝n +1⎭

而δn , n -1，δn , n +1也可类似求得（利用图（d ）与（e ）以及（f ）与（e ））

δn . n -1=

（3）三弯矩方程 l n l ，δn . n +1=n +1 6EI 6EI

将δn (n -1)，δnn ，δn (n +1)，∆nP 代入（12-5）得三弯矩方程6ωn a n ()M n -1l n +2M n l n +l n +1+M n (n +1)l n +1=- ⎛⎝l n

其中n 代表任一支座，如n =1, 2,..., m ，则可得到m

个方程联立，解m 个中间支座多余力M 1，6ωn +1b n +1⎫⎪ （14-6） +⎪l n +1⎭

M 2，.... ,M m ，此m 个联立方程中每个方程只涉及

三个多余力，求解比较方便。

例14-4 左端为固定端，右端为自由端的连续梁受力P 作用如图12-15所示，其抗弯刚度为EI ，

试用三弯矩方程求解B 、C 、D 处的弯矩。

解

：为能应用三弯矩方程，将固定端视为跨度

为无限小（l '→0）的简支梁AB ，而外伸端的载荷可向支座D 简化，得一力P 与弯矩Pl ，原结构（图12-15（a ））变化为图12-15（b ）。将A 、B 、C 、D 四处支座处分别用0、1、2、3表示，则对1、2两支座应用三弯矩方程（12-6），并用：l 1=l '=0，l 2=l 3=l ，M 0=0，M 3=Pl 代入得：

2M 1l +M 2l =0

M 1l +4M 2l -Pl 2=0

则解得：

12M 1=M B =-Pl ，M 2=M C =Pl ，M D =Pl 77