第二课时 证明(三)上课教案

证明（三）

一、知识结构 1知识网络图示：

定义、性质、判定

思考：三角形三边中点连线和四边形四边中点连线问题

二．例题分析

例1、如图，已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF .

例2、如右上图ABCD ，四内角平分线相交于E 、F 、G 、H .

求证：四边形EFGH 是矩形

例3、在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF 是线段AC 的中垂线，交AD 、BC 于E 、F . 求证：四边形AECF 是菱形

例4、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点． 求证：CE ⊥BE ．

例5、如图，AD 为ΔABC 的中线，E 为AC 上一点，连结BE 交AD 于F ，且AE ＝FE 。 求证：BF ＝AC

A

E F

C D

B

例6. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF =DC ，连接CF ． （1）求证：D 是BC 的中点； （2）如果AB =AC ，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．

C D

三、习题

1. 已知 ABCD 的对角线相交于点O ，它的周长为10cm ， ∆BCO 的周长比∆ABO 的周长多2cm ，则AB= cm。 2. 如图，已知E 为 ABCD 内任一点， ABCD 的面积为40， 那么S EAB +S ECD = 。

3. 下列命题①平行四边形的两组对边分别平行且相等；②平行四边形的对角线互相平分且相等；③平行四边形的对角相等，邻角互补；④平行四边形短边间的距离大于长边之间的距离。其中正确的命题个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4. 三角形的中位线平行于__________，且等于__________的一半.

5. 一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为__________.

6. 已知∆ABC 的周长为50cm ，中位线DE=8cm，中位线BF ＝10cm ，则另一条中位线DF 的长是（ ） A.7㎝ B.5 ㎝ C.9 ㎝ D.10㎝

7. 如图，E ，F ，G ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，

DA 上的点，且AE =BF =CG =DH =

与正方形ABCD 的面积之比为（ ） Ａ．

1

AB ，则图中阴影部分的面积 3

Ｄ．

2 5

Ｂ．

4 9

Ｃ．

1 23 5

8. 如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若∠1=50， 则∠AEF =（ ）

A ．110° B．115° C．120° D．130°

9. 如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ， CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则 △ABC 的面积是（ ）

A ．10 B．16 C．18 D．20

图 1

图 2

10. 已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线长为8cm ，则这个菱形的周长为 。

11. 如左下图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，若 ∠CAE =15°，求∠BOE 的度数.

12.

如图，在

3⨯4的矩形方格图中，不包含阴影部分 的矩形个数是 个．

13. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，

∠ADC +∠BCD =90 ，且DC =2AB ，

分别以DA ，AB ，BC 为边向梯形外作 正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3， 则S 1，S 2，S 3之间的关系是．

14. 如图矩形ABCD 中，AB ＝8㎝，CB ＝4㎝， E是DC 的中点，BF ＝则四边形DBFE 的面积为 。

1

BC ， 4

15. 如图，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 和AD 的中点，BE 和CF 交于点P 。 求证：AP ＝AB 。

16. 如左下图，ABCD 和AEFG 都是正方形. 。求证：BE =DG

17. 已知：如图，E 、F 分别为 ABCD 中AD 、BC 的中点，分别连接AF 、BE 交于G ，连接CE 、DF 交于点H 。求证：EF 与GH 互相平分。

18. 如图，已知点F 是正方形ABCD 的边BC 的中点，CG 平分∠DCE ，GF ⊥AF 。 求证：AF=FG。

19. 已知，如图在ΔABC 中，点D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 边上的中点。

求证：⑴四边形AFDE 是平行四边形； ⑵ AFDE 周长等于AB+AC。

20．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a ≠b ，k >0) ，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =

1

，求BE 2+DG 2的值． 2