圆锥曲线过焦点的直线怎样设简单
研究的问题：过焦点的直线方程怎样设比较简单。
2
x2y
请看第一题：过椭圆2+2=1（a>b>0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂
ba
直的弦AB，若点M在x轴上,且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭x2
（1）求椭圆+y2=1的“左特征点”M的坐标；
5
x2y2
（2）试根据（1）中的结论推测：椭圆2+2=1（a>b>0)的“左特征点”M是一个怎样
ba的点？并证明你的结论。
B
-1
O
13
x
x2
此题需要设出过焦点的直线AB的方程。椭圆+y=1的左焦点F(−2,0)，由
5题知直线AB的斜率存在，设为k.
x1x2。
育个
4n1
和yy=−。1222
n+5n+5
故可设AB方程为:①y=k(x−2),然后将y代入椭圆方程联立求出x1+x2和
②也可设成x=ny+2(n其实就是y1+y2=
顶上
教
到底怎样简单呢？
单就以上步骤来说，复杂程度相差无几，我们来看后边的计算：
y2y1
=0，即“左特征点”M(m,0)在x轴上，可知kMA+kMB=0，+
x1x2−my1(x2−m)+y2(x1−m)=0
y1=k(x1−2)
，
y2=k(x2−2)
代入上式
按①的设法需将
k(x1−2)(x2−m)+k(x2−2)(x1−m)=0，整理得……
性化
2
1
)，然后将x代入椭圆方程求出k
辅
导
我们可画出草图：
yA
中心
圆的“左特征点”。
按②的设法需将
x1=ny1+2，x2=ny2+2
代入上式得
y1(ny2−2)+y2(ny1−2)−( y1+y2)m=0. 整理得2ky1y2−(y1+y2)(m+2)=0可见直线AB的方程按①的设法略显复杂。
题二：过抛物线y=ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是m、n，求我们来画草图：
yFP
O
x11
+的值。mn
2
此题的前几步和上题类似，
此时我们能更深切的体会到按②的设法得到y1+y2和y1y2,然后代入上式，要比按①的设法要简单的多。
教
综上：过焦点的直线在设方程时，要考虑后面步骤的需要，需要y+y和yy，按②的方法设。需要x+x和xx，
1
2
12
1
2
12
顶上
就按①的方法设。
育个
14a11m+n
而+==mnmn11
(y1+)(y1+)
4a4a
(y1+y2)+
性化
p1=(a为常数）24a
辅
导
中心