勾股定理的历史与证明
【 学法指导】
勾股定理 的历 史与证 明
吴 中武
( 贵州省 松桃县牛 郎镇 中学 , 贵州
松桃
54 0 ) 5 19
摘 要: 勾股定理是个伟大的定理。这个定理有十分悠久的历史和极其重要的意义 , 人们一 直对 勾股定理颇感 兴趣 , 因为这个定理在 生活 中很 实用, 所谓 勾股定理—— 在直角三 角形 中, 两条直 角边的平方和等于斜 边的平方。 世界上几乎所有文明古 国都对此定理有所研 究。
关键词 : 勾股定理 ; 历史 ; 证明 中图分 类号 : 6 3 G 3. 6 文献标志码 : A 文章编号 :6 4 9 2 (O 2 1一 16 0 1 7— 3 4 2 1 )0 O O — 2
.
在我 国最 古 老的数学 著作——《 髀算 经》 的开 周 头, 记载 着一段周 公 ( 周著名 的政治 家 , 元前 10 西 公 10 年左右 ) 向商高 ( 周时的贤大夫 ) 请教数学知识 的对话 , 昔者周公 问商 高 日:窃 闻乎大夫善数 也 ,请 问昔者包 “ 牺立周 天历度一 夫天可不 阶而升 ,地不可得尺寸 而 度 , 问数安从 出?” 请 商高 日 :数之法出于圆方 , “ 圆出于 方, 方出于矩 , …以为勾广三 , … 股修 四, 径偶五 。既方 之 ……” 译文 : 从前周公 问商高 :我私下听说你 善于演 “ 算 , 问远古者包 牺 氏( 请 传说 中的人 物 ) 对整 个天空 逐
赵 爽创制 的这 幅“ 勾股 圆方 图 ” , 中 以弦为边 长得 到正方形A C ,是 由4 BD 个相等 的直角 三角形 再加上 中 间的那个小正方形组成 的。每个直角 三角形 的面积 为
Z
a; b 中间的小 正方形 的面积为( ) a 。于是便可得如
下 的式子 : = a b24 b化 简得c a h。这种证 c (- ) × 1 , 2 + a 2 。 -+
Z
于量度之事是如何完成的, 那天不能由台阶而上, 地不
能用尺寸来量 , 问相关 的数据是怎样 产生 的?” 请 商高 说 :……在对 矩形 ( “ 长方形 ) 沿对 角线对折 时 , 产生 会 短边 ( ) 勾 长为3 长边 ( ) , 股 长为4 斜 长 ( ) 的直角 , 弦 为5
三角形 的比率 。” 故有人称之为“ 高定理 ” 商 。 从 以上 嗽 寸 中可知商 高不仅 知道勾 股定 理 , 话 还 会 运用勾 股定理 , 周髀 算经》 在《 卷上之 二《 陈子模型 》 中就有这样 的记载 。“ 侯勾六尺 , 即取竹 , 空径一 寸 , 长 八 尺 , 影而视 之 。空 正掩 日, 日应空之孑 , 捕 而 L 由此 观 之, 率八十寸而得径一寸 , 以勾为首 , 故 以髀 为股 , 从髀 至 日下六万里 , 则八万里。若求邪至 日 ,
日下为勾 , 者 以 日高为股 , 勾股各 自乘 , 并而开方除之 , 得斜 至 日。” 陈 子不仅知 道和熟 练运用勾股定理 ,陈子 还能把勾股定 理 为模型运用在天体的测量之 中。 几千 年来 ,古今 中外 的人们一 直在探索它 的证 明 方法 , 不但 有 数学 家 , 还有 物理 学家 , 至 画家 、 甚 政治 家。 世界上几乎所有文 明古 国都对此定 理有所研究 。 我 国古代数 学家赵 爽( 卿 , 汉末吴 国人 ) 最早运 用 字 东 是 这种思想证 明勾股定理 的人 ,赵爽利用把一个 正方形 分成 四个全 等的直 角三角形和一个小 正方形 ,给 出了 勾股定理的详细证 明。 具体证 明为 : 每个直 角三角形 的
面积 为 a ; b 中间的得小正方形的面积为(_ ) a h 。他是
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明方法很简 明 , 很直观 , 现 了我 国古代数学家赵 爽 它表 高超 的证题 思想 和对数 学的钻研精神 ,是我们 中华 民 族 的骄傲 。 刘徽用 了“ 青朱 出入图” 为代表 的证 明, 不用 文 字说 明 , 不用数 学符号推 理 , 只要 一看 图形 , 股定 勾 理的证明便清晰地呈现 ,整个证 明单靠移 动几块 图形 而得 出 , 被称 为“ 也 无字证 明 ” 即剪贴证 明法 , 把勾 , 他 股为边 的正方形 上 的某 些 区域 剪下来 ( , 到 以弦 出)移 为边 的正方形 的空 白区域 内( )结果 刚好填满 , 全 入 , 完 用 图解法就解决 了问题 。( 如图2 )
嬲2
传说 中毕达哥拉斯的证法 ( 图3 : 如 )
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欧几里 得《 几何 原本 》 对勾股定理 的证 明在西方是 最早的 , 图3 如 。证明大致步骤 如下 :
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AABF A ADC.
世 界 上第 一个 最先 用形 数结 合方 法 得 到勾 股定 理 的 人 ,赵爽弦 图” “ 是后世证 明的先导 , 就是把 图形作适 当 的分割 、 、 、 、 , 移 补 拼 凑 显示 出图形 之间的数量关 系 , 如
图 1 :
AA F B 的面积= 正方形A H 的面积 CF AA C D 的面积= 四边形A L D M的面积 正方形A H 的面积= CF 四边形A L D M的面积
・ . . ‘ .
△ BAK A BCE
AB K A 的面积: 正方形B G 的面积 K C AB E C 的面积: 四边形B E ML 的面积
・
. .
正方形B G 的面积= K C 四边形B E ML 的面积
-
16 0 -
【 教师观点】
构建 以学 生为主体 的高校课堂教学模 式研究
。 李永夫 , 徐秋芳
( 浙江农林大学
环境 与资源学 院 , 浙江
临安
3 10 ) 13 0
囊
摘要: 随着
高校课堂教 学改革 的逐步深入 , 如何构建 高效 、 主动 的课 堂已经成 为 目前广大教师们非 常重视 的
问题 。如何将 学习的主动权 还给上课 的学生, 如何 让学生真正成为课 堂的主体 , 日益成为高校教 师正在 努力的 也
重要研 究方向。本文探 讨 了构建以学生为主体的 高校课堂教 学模 式, 主要介 绍 了课 堂教 学中学生 为主体的含义 , 实现学生为主体 的意义 , 以及在课 堂教学过程 中实现 学生为主体的方法和途径 , 旨在为高校课 堂教 学提供参考。
关键词 : 学生主体 ; 校课 堂 ; 学模 式 高 教
中 图分 类 号 : 6 2 G 4. 0 文献 标 志 码 : A 文 章 编 码 :6 4 9 2 (0 2 1 — 1 7 0 1 7 — 34 2 1 )0 00 — 2
目前各大高校都在进行课 堂教学改革 ,这些 改革 主要涉 及到教 学方法 、 教学 媒介 、 教学对 象等 等 , 如何
课 堂为 中心 ,这种传 统的教育观念 只注重教师 主体作 用 ,而忽视 了学生 的主体地位 。在 注重素质教育 的今
天, 这种现象严重 阻碍 了课程改革 的顺利进行 。 文将 本 从 学生为主体这个 概念 的含义 、意义和实现课堂 教学 中学生为主体 的途径 进行 阐述 ,旨在 为高校 的课堂教
构建高效 、主动 的课 堂 已经成 为 目前 广大教师 非常重 视 的问题 。其实 , 高校 的教学改革 , 论从哪个 角度进 无 行, 最终 目的还是 为了优 化教学效果 , 提高学生全方 位 的素质和能力 。因此 , 我们要构建 “ 以学生为核心” 的教
育理念 , 形成 以学生为主体 的高校新 型教学模 式 , 最大
学改革提供理论 指导。
一
、
学生作为课堂教 学主体 的含义
程度地调 动学生 学习的主观能 动性 ,发挥学生 在高校 课堂 中作为 主要参 与者 的关键作 用 ,这样才能促 进学 生综合素质 的全方位发 展与提高 , 才有 利于实现 “ 合 综
素质高 、 适应能力强” 高素质人才的培养 目标 。 传 统的课堂教学 以教 师为 中心 、 以教材为 中心 、 以
学生为主体是 指在 教学过程 中学 生作为学 习活动 的主体 , 学生应是教学 活动的 中心 , 而教师 、 教材 、 教学 手段都应为学生 的学习服务 。教 师应该 引导学生积极 参 与教学活动 , 当教学活动 的主角和主体 , 并充 而不是 简单 地把教学看成灌输 知识 的过程 ,或 者把学生看成
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. .
S 正方形 c正 正方 Kc S y AF A} +S 形RG= 正7N D  ̄
面积相 等( 边长都是 ab , 以可 以列 出等式a+z4× + )所 zh +
即: 因此 ,
在外 国称为“ 毕达哥拉斯定 理” 。 美 国第2 任总统茄菲尔德的证 法如图4 0 :
吉b + a 简 a 。 a孚41, 得+c = × b = 化 h2
田
这个直 角梯形是 由2 - 角边分别 为ab 斜 边为c @直 、, 的直角 三角形 和1 个直角边 为c 的等腰 直角三角形 拼成 的。因为3 个直 角三角形的面积之和 等于梯形 的面积 , 所 以可 以列 出等式 + × a: 2 h
二
,化 简得
勾股定理是联 系数 学和几何 的桥梁 ,是数形结合 的原始定理 , 人们用 图形去研究 数 、 用数去研 究 图形 的 开始 , 是数形结合 的真正体现 。它的运用导至 了无理 也 数 的发现 。利用证 明的图3人 们造 出了非 常美丽 的勾 , 股 树如图6 。我 国的数学 大师华 罗庚就 曾经提议 , 不妨 把 图2 青 朱出入 图” “ 这一数学 图形语言发送 到太空 , 作 为 与“ 星人 ” 外 沟通 的信号 。
e= 2 b 。 2 a+
这种证明方法 由于用 了梯形面积公式 和三角形 面 积公式 , 从而使证 明更加 简洁 , 它在数学史上 被传为 佳
话。
勾 股定理 的证 明有40 0 多种证法 ,如图5 的证法 是
几何课本常用的方法 。 左边 的正方形是 由一个边长为a 的正方形和一个边长 为b 的正 方形 以及4 直角边分别 个 为 a b 斜边为c 、, 的直角三角形拼成的。 右边 的正方形 . 是 由一个边 长为e 的正方形和4 直角边分别 为ab 斜 个 、, 边为c 的四个直角三角形拼成的。因为这两个 正方形 的
一
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