浅谈微积分在大学教学和实际生活中的应用_郭伟伟
2013年南昌教育学院学报高等教育第28卷第6期
浅谈微积分在大学教学和实际生活中的应用
郭伟伟
(路安职业技术学院山西长治046204
摘要:微积分是微分学和积分学的合称,它作为数学学科的重要分支,不但在数学学科中占据着非常重要的地位,并且在力学、经
济学、生物学、天文学等领域内也有非常重要的作用,同时,20世纪中叶电子计算机的出现也使得微积分的应用范围得到了拓展。函数的
产生促进了科学技术的快速发展,微积分也应运而生。微积分对于我们解决相关问题有很大帮助,比如,利用微积分来预测答案(利用极
限的思想)、确定一些简单的学习方法、投资决策、对实际问题进行数学建模等,这些问题都可以通过微积分的知识和方法来进行分析,
并找出其中的规律,从而做出决策。
关键词:微积分应用;投资决策;数学建模
中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:1008一6757(2013)06一0080一01
微积分是建立在函数、实数、极限基础上用于解决变量瞬
间变化的函数。它是函数的微分与函数的积分的一个数学分
支。它的基本内容可以归结为:无限细分就是微分,无限求和
就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是
用一种运动的思想看待问题。在现代的大学教学中微积分主要
是应用在数学教学和物理教学中,在数学教学中,它的主要研
究对象是变量在函数中的作用;在物理学方面,主要用于解决
人们关于速度和加速度的问题。微积分是在十七世纪中叶由牛
顿和莱布尼茨建立的,但是当时他们的主要出发点是直观的无
穷小量,理论上这个概念还不是很牢固。直到十九世纪,柯西
和维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格的实数
理论,这门学科才得以严密化。本文将从微积分的内容、微积
分在大学教学中的应用、微积分在实际生活中的应用这三个角
度出发,探讨了微积分的相关实际应用内容。
一、微积分的内容
微积分是指上由微分、积分、以及一个微积分定理—牛顿莱布尼茨公式组成。极限、微分、积分概念,极限方法,微
积分计算原理,运动辨证思想和数学观念的培养,组成了微积
分的知识结构系统,极限概念和极限思想方法贯穿了微积分的
全部内容。总的来说微积分可以看作是一种无限分割的思想,
即将复杂的问题拆解成很小的组成部分,通过研究小的内容来
对整体进行估计的一种思想。
二、微积分在大学教学中的应用
在现在的大学教育中,很多专业知识的学习都会涉及到微
积分,那么笔者这里将对微积分在大学教学中的应用进行一下
简单的介绍,主要是从数学教学和物理教学上来说明。
(一)微积分在数学教学上
的应用
微积分的基本概念中包括积分学和微分学。其中积分学的
主要内容有:定积分和不定积分;微分学的主要内容有:几线
理论、导数、微分。一般地,提到微积分,人们自然就会联想
到数学分析,但是实际上数学分析是微积分的一种方法,并且
数学分析还函数论等其他分支学科。微积分作为数学的一个重
要分支,在数学教学上的应用主要集中于以下几个方面:
1微积分用于数学建模
在实际生活中,通过讲一个抽象的生活问题具体化成一个
数学模型来对现实问题进行简化、假设,并得到一个比较合理
的解决方案,这就是数学建模的意义所在。在历史上,人们利
用微积分的知识对很多现实问题进行数学建模,并且取得了巨
大的科学贡献。比如,牛顿利用自己研究的微积分提出了万有
引力定律,这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学
模型之一,还有道格拉斯生产函数也是通过微积分的理论才提
出来的。这些伟大的例子都说明了微积分在数学建模过程中起
着举足轻重的作用。
2.微积分用于等式的证明
在研究变量之间制约关系时,经常会对相关的等式进行证
明,由于微积分的这种无限分割的思想,使得它在某些数学问
题上可以起到以简驭繁的作用,加之它的一些重要的性质、定
理,比如微积分的中值定理、函数的增减性、极值判定法、定
积分的性质等,使得它在证明等式成立时非常有用,使用微积
分可以使等式简化,降低利用普通方法证明的技巧性,从而容
易求证。
3.微积分用于函数的变化性态及作图
函数图象对于理解函数起着至关重要的作用。由于它的直
观性,使得我们在说明一个函数的整体特性时,有必要给出函
数的图像。传统的函数制图方式就是多点手绘法,但是这种图
一般是比较粗糙,只能够对函数的某些直观特性加以反映,但
是对于函数具体细节无法体现。但是,用导数作为工具,可有
效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点做
出准确的判断,从而比较准确地作出函数的图象。而导数与微
分是一个非常相近的概念,这也是微积分的一个重要的部分。
(二)微积分在物理学上的应用
微积分的无限分割思想不仅在数学上有非常重要的应用,
同时在物理学上也解决了很多重要的问题,主要集中在以下几
个方面:
1微积分在变力做功中的应用
我们知道,恒力做功问题可以直接应用公式来解决,但是
实际科研中遇到的问题基本都是变力做功,这个时候我们就必
须使用极限的方法,即将位移无限细化,那么细分的每个小位
移中的变力就可以在那一瞬间被看作是恒力,然后利用每段位
移的功进行求和就是整个变力所做的
功,在函数图形上,它
类似于函数图形与X轴、Y轴围城的面积(这里的面积有正负之
幻。这样变力做功问题就得到了解决。
2.微积分在变速直线运动中的应用
对于匀速直线运动来说,在计算位移时可以利用S=V*t,但
是运动的速度是变化的话,就按照上述公式解决这个问题,但
是就像上面所说的将时间无限分割,那么在很短的一个时间段
内的速度就可以被看作是匀速直线运动,这样就也解决了非匀
速直线运动的问题。这同样也是利用微积分的思想去考虑的。
三、微积分在实际生活中的应用
在复杂的社会经济活动中,也存在着许多微积分的应用例
子,比如对于一些经营者的投资决策、风险利润的估计等都有非
常大的帮助,下面我你们就举出这方面的应用来进行具体阐述:
(一)微积分是投资决策具备的数学常识
(下转第84页)
收稿日期:2013一05一18
作者简介:郭伟伟(1982女,山西长治人,助理讲师,从事数学与应用数学方向的研究。
一80一2013年李岩:浅议计算机图形分离算法的设计与实现第28卷第6期
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其中的A:连通区域;T:连通区域内像素;(p,q):像素的
坐标;r(p,q)、g(p,q)、b(p,q):像素(p,q)在原图的RGB值;r(w)、
g间、b间:像素帆q)在量化后的图像的RGB值。
连通区域粗糙度较小的部位一般都是人工生成的,应用这样
的粗糙度计算,相比起均方差公式的计算,效果比较让人满意。
五、边缘对比度的计算
在掌握边缘位置的情况下,RGB的计算边缘对比度计算可
以通过以下的公式:
通过以上的研究表明,为了提高识别的效果,可以把边缘
对比度和粗糙度的比值作为测度。在一些连通区域中,我们可
以进行粗糙度和边缘上全部像素点的边缘对比度的比较,接着
使比值呈现从低到高的状态、下图是各个连通区域的测试值。
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经过计算得出G(X劝的结果以后,可以将三个分量的相加起[l]BraunKM,BaiasubramainallR,EschbachR.Devel叩melltand
来,就得出了边缘对比度。常规的边缘对比度比较大的就是计evafuatiollofsixCamut一mapPingaigorithmsforPictoriaiimages算机图形。[A].In:proceedi雌5ofthe7theolorImagi雌,scottsdale,1999:
六、最终的设计结果144一148.
DesignandimPlementationofcomPutergraPhicsalgorithm
LiYan
(JiningNormalColle罗,WulanehabuInnerMongolia,012000,China)
Abstraet:Theproeess证eomputergraphiesseparatio
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graphiesseparational即rithm15practiealandseientifle-
Keywords:eomputergraphiesseparation;sel仁organizingmap;eolorquantization;eonneetedeomponentlabeling;regionalroughnes龟;edgeeontrast
L责任编辑:邓乐」
(上接第80页)
初等数学在一定程度上可以解决一些经济上的常规问题,
但是当遇到复杂的投资决策时,初等数学的知识的作用还是极
其有限的。我们考虑这样一种投资决策问题,每年以固定的金
额均匀的流人银行,那么在计算N年之后的现金总值时就可以
用定积分的方法来解决。当我们在投资时,肯定会考虑到资金
的时间成本,而这就增大了投资决策的不可预知性,但是使用
微积分进行考虑就能够让投资更趋于理性化、科学化,利于降
低风险,提高回报。
(二)微积分在历史学习中的应用
我们知道,对于很多学习历史的学生来说,都很难将大大
小小的历史事件记得特别清楚,但是我们这可以利用微积分的
思想来考虑一下关于历史的学习方法。可以做一条横线表示时
间的起点和终点,利用无限分割的思想将这些年代全部划分
开,对于每一个小的时间段,对一些标志事件、重大变革、
注明集团、领军人物一一进行标注,再把每个部分的主题、因
素、要点掌握清除,对于历史这门课基本就掌握的差不多了。
这样做虽然不能够将所有事件永远牢记,但是能在遇到学习困
难时,利用微积分的思想在一小段时间内迅速掌握一个大体的
脉络。这就是微积分在历史学习中的应用。
四、结语
数学的价值不在于掌握死板的知识理论,重要的是要将这
些知识转化成实际生活中可以用得到的东西,并不断促进人类
生活的进步。微积分作为数学的重要分支,无论是在生活中还
是在学习中,都能够实现目标最大化、最优化效果。本文从微
积分的内容、微积分在大学教学中的应用和微积分在实际生活
中的应用这三点出发,对微积分的实际应用进行了具体阐述,
希望对读者能产生一定借鉴意义。
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APPlicationofcalculusinuniversityteachingandreallife
GuoWei一wei
(Lu,anVoeationalandTeehniealCollege,ChangzhiShanxi,0
46204,China)
Abstraet:Theealeulus15theintegrationofthedi价rentialandealeulus,it15animportantbranehofmathematies,notonlyoeeupiesave巧important
positioninmathematies,butalsohasve巧importantroleinmeehanies,eeonomies,biolo舒andastronomy,atthesametime,
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Keywords:叩pliedealeulus;investmentdeeision;mathematiealmodeling〔责任编辑:邓乐〕
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