全效学法七下数学相交线与平行线答案

2.1 第1课时 对顶角、余角与补角

答案解析

1．C 【解析】 ∵∠AOB＝90°，∠1＝40°，∴∠2＝90°－∠1＝90°－40°＝50°.

2．B 【解析】 与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4，一共3个．

3．A 【解析】 两条直线相交后，所得的两个角只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．图中∠2和∠3是对顶角，故选A.

4．C 【解析】 本题考查互为余角、互为补角及对顶角的概念．

5．40°，140° 【解析】 设两个角的度数为2x，7x，由题意知2x＋7x＝180°，解得x＝20°，所以2x＝40°，7x＝140°.

6．(1)∠AOD或∠COB，∠AOE或∠BOF

(2)∠BOC，∠DOF (3)50° 130°

【解析】 本题考查补角、对顶角的概念及对顶角的性质．

7．【解析】 可设这个角为x，则它的补角为180°－x，它的余角是90°－x，根据题意列方程求解．

解：设这个角是x，根据题意，

得180°－x＝4(90°－x)＋15°15′，解得x＝65°5′，

即这个角的度数为65°5′.

8．B 【解析】 利用垂直的定义，结合已知条件先求出∠EOD的度数，再根据补角定义，求∠COE的度数．

∵OE⊥AB，∠BOD＝45°，

∴∠EOD＝90°－∠BOD＝45°(余角定义)，

∴∠COE＝180°－∠EOD＝135°(补角定义)，

故选B.

9．【解析】 由∠AOB＋∠BOD＝90°，可求得∠BOD，

1再由OC是∠BOD的平分线，得∠COD＝2∠BOD.

解：因为∠AOB与∠BOD互为余角，

所以∠BOD＝90°－∠AOB＝90°－29.66°＝60.34°.

又因为OC是∠BOD的平分线，

1所以∠COD＝60.34°×2＝30.17°.

因为0.17°＝60′×0.17＝10.2′，0.2′＝60″×0.2＝12″，

所以∠COD＝30°10′12″.

答：∠COD等于30°10′12″.

10．【解析】 本题为探索题，应从最简单的情况入手，观察角增加的规律，从而解决问题．

解：两条直线相交，对顶角有两对，它们分别是∠AOC与∠BOD，∠BOC与∠AOD；增加一条直线EF，则增加的对顶角为∠AOE与∠BOF，∠EOD与∠COF，∠EOB与∠AOF，∠EOC与∠DOF四对，则共有(2＋4)对对顶角．以此类推，n条直线相交，共有[2＋4＋6＋8＋„＋2(n－1)]对对顶角．而2＝1×2，2＋4＝6＝2×3，2＋4＋6＝12＝3×4，„„

所以[2＋4＋6＋8＋„＋2(n－1)]

＝(n－1)n＝n2－n，

即n条直线交于一点，共有(n2－n)对对顶角．

2.1 第2课时 点到直线的距离

答案解析

1．C

2．D 【解析】 因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：当两条直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；当两条直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误．综上所述，D正确．故选D.

3．D

4．70 【解析】 ∵∠BOD＝20°，∴∠AOC＝∠BOD＝20°.

∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠COE＝90°－20°＝70°.

5.解：过点A作BC的垂线，交CB的延长线于点E，

第5题答图

根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，

可得AE的长度即为点A到BC的距离．

6．解：某人在路的左侧A处，要到路的右侧，如图，沿垂线段AC的方向走最近，理由是垂线段最短．

第6题答图

若他要到路对面的B处，如图，连接AB，沿线段AB走最近，理由是两点之间线段最短．

17．解：∵OE为∠BOD的平分线，∴∠BOE＝2∠BOD，

即∠BOD＝2∠BOE＝2×15°＝30°；

∵OA丄OB，OC丄OD，∴∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＝360°－90°－90°－30°＝150°.

8．解：(1)∠COE的余角有2个，是∠AOC和∠BOD；

(2)∵OF平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOF＝36°.

∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝36°.

∵EO⊥AB，∴∠AOC＋∠COE＝90°，

∴∠COE＝90°－∠AOC＝90°－36°＝54°.

9．解：如答图所示，连接AB，过点B作BC⊥MN于点C，(1)若从点A到点B，沿线段AB走路程最短，理由是两点之间，线段最短；(2)若从B又要到公路MN上去，沿线段AB，BC走路程最短，理由是两点之间，线段最短及垂线段最短．

第9题答图

2.2 第1课时 直线平行的条件1

答案解析

1．A

2．C 【解析】 ∠2，∠3是两条直线GF，EC被直线AB所截得的同位角，故选择C.

3．A 【解析】 利用“同位角相等，两直线平行”可作出判断．

4．∠FAE，∠FAC

5．31 【解析】 因为∠ABC＝∠ADE时，DE∥BC，理由是同位角相等，两直线平行．

6．(1)50° (2)50° (3)130° 【解析】 (1)因为∠1＝∠2时，a∥b，因此∠2＝50°；(2)当∠3＝50°时，∠2＝50°，因此∠1＝∠2，所以a∥b；(3)当∠4＝130°时，∠2＝180°－130°＝50°，因此∠1＝∠2，所以a∥b.

7．平行 同位角相等，两直线平行 【解析】 本题是阅读题，认真阅读是解题的关键，考查直线平行的条件：同位角相等，两直线平行．

8．解：(1)∠1与∠2，∠3与∠4；

(2)AB∥CD，CD∥EF.

9．【解析】 要判断直线AB，CD是否平行，关键是看这两条直线被第三条直线EF所截而形成的角中是否有同位角相等．

解：(1)AB∥CD.理由：

由对顶角相等，得∠EGA＝∠BGF.

由∠EGA＝∠DHF(已知)和等式的性质，

得∠BGF＝∠DHF.

根据同位角相等，两直线平行，有AB∥CD.

(2)AB∥CD.理由：

由邻补角的定义，有∠EGB＋∠BGF＝180°.

由已知条件∠EGB＋∠DHF＝180°，

有∠BGF＝∠DHF.

根据同位角相等，两直线平行，得AB∥CD.

2.2 第2课时 直线平行的条件2，3.

答案解析

1．A 【解析】 A．∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)，故正确；B.根据“∠DCB＋∠ABC＝180°”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故错误；C.根据“∠ABD＝∠BDC”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故错误；D.根据“∠BAC＝∠ACD”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故错误；

2．B 【解析】 A．已知∠1＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可以判断，故正确；B.不能判断；C.同旁内角互补，两直线平行，可以判断，故正确；

D.同旁内角互补，两直线平行，可以判断，故正确．

3．D 【解析】 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，A项中∠1与∠2相等，B项中∠2与∠4相等，C项中∠3与∠4相等，均不能推出a∥b，因为它们不是a，b被截得的同位角或内错角，不符合题意；D项中∠1＋∠4＝180°，因为∠1的对顶角与∠4是a，b被截得的同旁内角，符合题意．故选D.

4．C 【解析】 要认准BC和AD两条直线被第三条直线BD所截得到的两个角是∠1和∠2.

5．(1)∠5 ∠6 (2)∠6 ∠5 (3)∠4，∠A ∠3

【解析】 本题考查了对同位角、内错角、同旁内角概念的理解和运用．

6．75° 43° 【解析】 根据内错角相等，两直线平行，有∠1＝∠B＝75°，∠2＝∠C＝43°时，l∥BC.

7．(1)∠C (2)∠DEF (3)∠EFC (4)∠AED

【解析】 (1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)、

(4)同旁内角互补，两直线平行．

8．(1)∠BED 同位角相等，两直线平行

(2)∠DFC 内错角相等，两直线平行 (3)∠AFD

9．【解析】 要说明DF∥AE，只需说明∠ADF＝∠DAE，这由已知条件知∠ADC＝∠BAD，且∠1＝∠2，则可得出∠ADF＝∠DAE，问题解决．

解：DF∥AE，理由如下：

因为CD⊥DA，DA⊥AB，

根据垂直定义可知∠CDA＝∠DAB＝90°，

又因为∠1＝∠2，

所以∠CDA－∠2＝∠DAB－∠1，

即∠ADF＝∠DAE，

根据内错角相等，两直线平行可知DF∥AE.

10．此题答案不唯一，填写的条件可以是∠CDA＝∠DAB或∠FCD＝∠FAB或∠BAC＋∠ACD＝180°等

【解析】 本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．欲证AB∥CD，在图中发现AB，CD被直线AC或AD所截，然后根据平行线的判定方法寻找同位角或内错角或同旁内角即可．根据同位角相等，两条直线平行，可以添加∠FCD＝∠FAB；根据内错角相等，两条直线平行，可以添加∠CDA＝∠DAB；根据同旁内角互补，两条直线平行，可以添加∠BAC＋∠ACD＝180°.

2.3 平行线的性质

答案解析

1．C

2．B 【解析】 本题考查平行线的性质，即当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．A项中的∠1与∠2是两平行线形成的同旁内角，只能得到∠1＋∠2＝180°的结论，不能得到∠1＝∠2；B项中由“对顶角相等”和“同位角相等”可得到∠1＝∠2；C项中的两个角不是由两平行线形成的内错角，不能得到∠1＝∠2；D项中的两个角不是由两平行线所形成的同位角、内错角、同旁内角，故无法判断两角的数量关系．故选B.

3．D 【解析】 由DF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．

∵DF∥AB，∴∠BED＝∠D＝70°.

∵∠BED＋∠BEC＝180°，

∴∠CEB＝180°－70°＝110°.故选D.

4．12° 5.60 6.110

7．解：∠F＝∠G.理由如下：

因为∠AED＋∠BAE＝180°，所以AB∥CD，

所以∠1＋∠GAE＝∠2＋∠AEF，

又因为∠1＝∠2，所以∠GAE＝∠AEF，

所以FE∥AG，所以∠F＝∠G.

8．解：能．理由：因为DF∥AC，所以∠C＝∠FEC，又∠C＝∠D，所以∠D＝∠FEC，所以BD∥CE.

9．A 【解析】 首先过点C作CD∥a，如答图所示．

第9题答图

∵a∥b，∴CD∥a∥b，

∴∠ACD＝∠1＝40°，∠BCD＝∠2＝60°，

∴∠3＝∠ACD＋∠BCD＝100°.故选A.

2.4 用尺规作角

答案解析

1．【解析】 作一个角等于两个角的和，应先作一个角等于已知的∠α，再以∠α的一边为边向角的外部再作一个角使它等于已知的∠β.

解：(1)先作∠AOB＝∠α.

(2)在∠AOB的外部作∠COB＝∠β，则∠AOC＝∠α＋∠β即为所求．如图所示．

第1题答图

2．【解析】 先作一个角等于已知角∠α，再以∠α的一边为边向角的内部作一个角使它等于∠β.

解：(1)作∠AOB＝∠α.

(2)在∠AOB的内部作∠COB＝∠β，则∠AOC＝∠α－∠β即为所求．如图所示．

第2题答图

3．解：如图所示．

第3题答图

作法：(1)作∠AOC，使∠AOC＝∠α.

(2)以O为顶点，OC为一边，在∠AOC的外部作∠COB，使∠COB＝∠α.

(3)以O为顶点，OB为一边，在∠COB的外部作∠BOD，使∠BOD＝∠α. 则∠AOD＝3∠α即为所求．

4．解：作图略；

作法：(1)作∠AOC，使∠AOC＝∠α.

(2)以O为顶点，OC为一边在∠AOC的外部作∠COD，使∠COD＝∠α.

(3)以O为顶点，OD为一边，在∠DOA的内部作∠DOB，使∠DOB＝∠β，则∠AOB＝∠θ即为所求．

5．【解析】 由平行线联想平行线的判定条件，利用“同位角相等，两直线平行”来作图，本题实质上是过P点作一个角等于已知角．

解：(1)过点P作直线l2与l相交于点A；

(2)作∠BPC＝∠PAD；

(3)延长CP得直线l1，则l1就是所求作的直线，如图所示．

第5题答图

6．解：(1)如图所示，连接OC，在OC上取一点M，作∠MCD＝∠COA，则CD是过C点平行于OA的直线．因为由∠MCD＝∠COA，根据同位角相等，两直线平行，得CD∥OA

.

第6题答图

(2)作∠MCE＝∠COB，则CE是过C点且平行于OB的直线．由∠MCE＝∠COB，根据同位角相等，两直线平行，得CE∥OB.

(3)因为∠DCE＝∠MCD＋∠MCE，∠AOB＝∠COA＋∠COB，又因为∠MCD＝∠COA，∠MCE＝∠COB，

所以∠DCE＝∠AOB.