指数交叉对偶理论及其本质探讨

第２６卷第１０期

ＶｏＬ２６

Ｎｏ．１０

统计与信息论坛

Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＦｏｒｕｍ

２０１１年１０月

Ｏｃｔ．。２０１１

【统计理论与方法】

指数交叉对偶理论及其本质探讨

汪慧玲，何永涛

（兰州大学经济学院，甘肃兰州７３００００）

摘要：指数交叉对偶理论的问世是指数理论发展史上灿烂的一页，指数交叉对偶的方法在消除指数公式选择过程中出现得偏性、提升公式检验水平的研究中得到了广泛的应用和发展，也获得了令人瞩目的成就，为指数理论的研究和实际应用开辟了新天地。按照参与期的标准把指数交叉对偶划分为两位置交叉与多位置交叉并对其实现方式进行分别探讨，针对理论界一些值得商榷的观点给予了剖析，并通过对交叉公式与基本公式及交叉公式之间相对离差趋势的研究，揭示其在运算过程中对公式及数据偏性进行修正。

关键词：偏误；指数交叉对偶；函数论公式；多位置公式；统一指数理论中图分类号：Ｃ８１２

ｌ

０２１２

文献标志码：Ａ文章编号：１００７—３１１６（２０１１）１０一Ｏ００８一０８

一、引

言

质量的需求。１９２２年在其被尊称为统计指数理论

圣经的《指数的编制》（ＴｈｅＭａｋｉｎｇ

ｏｆＩｎｄｅｘＮｕｍ－

指数交叉对偶的思想最早是由美国学者费希尔（Ｆｉｓｈｅｒ）提出的，源于提升公式检验水平、提高公式

收稿日期：２０１１一０６—０８

ｂｅｒ）一书中，费希尔对两位置因子及时间交叉对偶进行了详细的分析。由于存在指数计算公式类型、

作者简介：汪慧玲，女，甘肃兰州人，经济学博士，教授，研究方向：计量经济学Ｉ

何永涛，男，河南商丘人，硕士生，研究方向：经济模型与应用。

ＡＣｏｍｐａｒａｔｉｖｅＳｔｕｄｙｏｆＣｏｍｐｌｅｘＳａｍｐｌｉｎｇＩｎｆｅｒｅｎｃｅＳｙｓｔｅｍｓ

ＪＩＮＹｏｎｇ－ｊｉｎ＇”。ＨＥＢｅｎ－ｌａｎｂ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒａｎｄｏｍｉｚａｔｉｏｎ－－ｂａｓｅｄ；ｍｏｄｅｌ－－ｂａｓｅｄ；ｓａｍｐｌｉｎｇｓｃｈｅｍｅ；ｃｏｍｐｌｅｘｓａｍｐｌｉｎｇｉｎｆｅｒｅｎｃｅ

（责任编辑：李勤）

８

万方数据

汪慧玲，何永涛：指数交叉对偶理论及其本质探讨

同一指数公式的权数时期选择不同，指数公式会违反“时序倒置检验”和（或）“因子倒置检验”、指数计算结果呈现型偏或权偏的偏误特征，而交叉对偶的意义则在于校正公式，以及改变公式的不稳定性或偏性［１】拈＿３９。就型偏而言，算术平均数为上偏，调和平均数为下偏，可以用因子交叉对偶进行修正，权偏则显现于加权综合指数公式，包括帕氏公式Ｐ与拉氏公式Ｌ，并表现出物价与数量变动方向一致规律，通过对Ｐ与Ｌ指数公式进行交叉时间对偶，得到一个既符合因子倒置检验，又符合时序倒置检验，这被费希尔称为“理想公式”［２］ｌ“－１３６。费希尔还对怎样校正公式的所有可能的、可行的交叉方法进行分析和系统化，为我们做出了示范，这一研究得出了著名

的指数目录。

继费希尔提出指数交叉对偶理论之后，弗利希指出通过交叉因子对偶和以不变权数计算的几何平均数是惟一能同时接收公度性检验、因子倒置检验和循环检验的公式，把交叉对偶理论扩展到环比指

数公式中［３］９５－９８。泰尔（Ｔｈｅｉｌ）对交叉时间对偶中平

均权数值方法进行探讨，在他的公式中，平均权数值

是基期、报告期的权数及两者的算术平均数三种资料的几何平均，这种颇为复杂的平均方法的动机在

于它能符合因子倒置检验［４】。芬兰学者瓦提亚

（Ｖａｒｔｉａ）通过研究发现，当基期的价格接近０时，

Ｔｈｅｉｌ公式存在权数比个体指数的对数下降更快的现象，导致一种商品价格极端下降并不能降低价格

指数［５］。为解决上述问题，瓦提亚对Ｔｈｅｉｌ公式中平均权数值方法进行扩展，并创立了两个新的公式（ＶａｒｔｉａＩ和ＶａｒｔｉａⅡ），在公式Ｉ和公式Ⅱ中Ｖａｒｔｉａ

分别对基期和报告期的价值量与权数求取对数平均数，随后Ｖａｒｔｉａ证明：两个指数公式都符合时序倒置检验和因子倒置检验，而且，在价格变化和数量变化的极端情况下同样是正确的［６］。基尼（Ｇｉｎｉ）对相应个数的相加性指数序列中以不变权数计算的几何平均数的多位置交叉进行研究，通过对不符合因子倒置检验要求的多位置交叉公式进行交叉因子对偶而获得新的多位置公式，这种交叉意味着放弃平均数检验。在理论上，我们的确丧失了最后结果是特定关系中个体指数的“正常”平均数，但是，违法检验的程度是不显著的［７］。２０世纪６０年代一批学者

（Ｄｒｅｃｈｓｌｅｒ、Ｅｌｔｅｔ６、Ｋ６ｖｅｓ和Ｓｚｕｌｃ）展开了对指数多位置交叉公式的研究［８№＿８７。喀沃斯（Ｋｒａｖｉｓ）把

他们的研究成果进行综述并提出ＥＫＳ公式即上述学者ｌ！ｌｔｅｔ６、ＫＯｖｅｓ、Ｓｚｕｌｃ三个人姓的缩写［９］６７－７１。

万方数据

ＥＫＳ公式是对基尼理论的发展，在对其任一位置与其余位置对比时，将得到任何关系都一致的指数。

近年来，指数交叉理论没有新的发展。从事指

数研究的学者所面临的一个现实问题就是怎样彻底弄清“公式”问题的实质，对这一问题的争论是旷日持久的。一方面，它是统计学者们的研究范围。另

一方面，它又是其他经济理论学者涉足的领域，学者

们既要对应用指数计算方法的组织实践负责，又要对统计科学研究负责，这就是说，统计学家的实践效果应该与整个统计理论相一致。而对于经济学家来说，指数交叉理论是经济学或计量经济学理论的一部分，对自己所创造的指数公式在运用过程能够产生什么问题却不必费心。这种研究学科支系的不同确实会导致各行其是，彼此缺乏照应。笔者认为与

经济现实相对立的，并不是指数计算的实践，而是指

数理论本身。进而言之，与指数理论相对立的，也不是实践中指数计算所涉及的经济问题，而是对经济

现实总特征的认知，因此本文对指数交叉理论的考察仅限于比指数计算方法论更为狭窄的范围。

二、指数交叉对偶理论的实现

在指数交叉计算实践中，想要对其进行有效、清晰的划分是困难的，因为随着指数理论的发展，指数

交叉计算方法在逐渐地融合，界限在逐渐消除。本

文所说的两位置交叉理论主要是基于费希尔的理论，但并不仅仅拘泥于此而是增加了它的发展趋势。多位置交叉理论主要阐述基尼及其以后学者的研究

成果。应该注意到较简单的和较复杂的、改进的指数公式的应用，不仅仅是一个统计方法论的发展阶

段问题，还与所需要数据的收集方法、资料收集的可

能性、所用程序的成本，以及统计工作的效率密切相关。最后需要说明的是，指数交叉理论的这两种方

法是同时发展的，并没有明显的实践先后次序。

（一）两位置交叉对偶

１．因子交叉对偶。对于两期ｎ维的价格实向量

组Ｐ＝｛Ｐ１，ｐ２）、数量实向量组Ｑ＝｛口１，ｑ２）、价值实向量组Ｖ＝｛ｌ，１，１，２），在使用同一指数公式情况下，如果存在价格指数丁，与数量指数，。的乘积等于价值指数ｊ。，则以该公式计算指数满足因子倒置检验。费希尔发现运用算术平均数、几何平均数、调和平均

数以及某种位置平均数（众数或中位数）方法得到

的这些未加权的简单指数公式没有一个符合这一检

验要求［１０ｌ，如：

９

统计与信息论坛

星堑．娶』≠婴：Ｌ．

∑ｎＭ拼∑：。口１７∑：，＇，｝

幻

通过权数的平均，或两种不同方法加权指数的

平均，都可以求得交叉的时间对偶。这两种情况在某

些情况下会得出同样的结果。埃奇沃思

其中Ｐ；、口１、１，｛代表第一期实分向量，ｐ２、口２和ｙ｝表示第二期实分向量，对于其他简单指数公式来说，上述结论同样成立。费希尔认为不符合因子倒置检验的指数公式在某种程度上存在偏误，需要对其进行改进，进而提出因子交叉对偶理论。费希尔对其中运用几何平均数方法的指数公式，进行如下的因子交叉对偶，后来证明这种交叉是显著的。

首先，构造未加权的价格指数公式工，与数量指数公式Ｊ。，即有：

‘＝（Ｈ

（Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ）通过对权数求算术平均数得到时间交叉对偶指数公式①，首先对权数求算术平均数，即：

吼＝望学（净１，２’．．Ⅻ）

陛：当生！！堕叩

这里ｑ｛、ｑ｝分别为当期与报告期的数量实向量的分向量，然后以ｑｔ为权数求取价格指数ｆ善，即：

∑ｎ剐ｑｉｐｊ

Ｔ－，丙区１２＂，ｘｉｎ

Ｉｑ＝（隅耖

这个公式也被称之为Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ—Ｍａｒｓｈａｌｌ公式，此公式也可以表示为拉氏指数公式和帕氏指数公式的加权平均②。如果我们计算的不是ｑ；和ｑ｝的算术

平均数，而是它们的几何平均数或调和平均数，即如

进一步计算价值指数Ｊ。。然后，把后者作为补充信息，并要求这些指数使得方程Ｉ，・Ｉｑ—ｆ。成立。由此，就可以计算价格指数公式Ｊ，与数量指数公式Ｉ。的因子对偶Ｂ与Ｊ；，即：

果哆的权数为ｑｔ＝（口１口｝）寺、吼一２／（１／ｑ；＋１／ｑ｝）或吼＝口ｉｌｑｉ２／（ｑ｛＋口；）那么，以这种权数得到的几何

平均数形式公式和调和平均数形式公式将因为没有

嚣＝乏和－；＝￡

一般的，有Ｊｐ≠毋及工。≠Ｊ；。接着对指数公式

本身及因子对偶项进行几何平均数形式交叉，并分

平均权数而失去意义［１１ｌ。如同计算瑶的情形一样，

对以不同方法加权的指数公式可进行如下的交叉时

间对偶。以相乘性形式的指数公式为例，首先构造基

别以砖和Ｉ｝来表示计算结果，则有：

砖＝（ＪｐＪ；）童和对＝（Ｉ。Ｉ：）专

费希尔证明通过这种对本身与对偶项交叉的方法而得到的价格指数和数量指数之乘积正好等价于价值指数，即公式符合因子倒置检验的要求。

２．时间交叉对偶。在加权指数公式中，为保证指

数仅反映指定项的变化，指数公式是从所对比的时

期的权数＇．Ｉ；＝＇，｝／∑ｎ川＇，｝和报告期的ｗ｝＝

谚／∑ｎ剐＇，｝权数，以此权数为基础构造两个相乘形

式的指数公式Ｇ１、Ｇ２，即：

Ｇ１＝１『譬－（篑）∞｝，Ｇ２＝１『譬ｔ（箦２）硼｝

然后对两期的公式进行几何平均数形式的交叉，并以Ｇ来代表相应的交叉公式：

Ｇ＝（Ｇ１．Ｇ２）专

期中的一个时期取得权数，因此从不同公式得到的许多不同结果。这可使我们得出这样一个结论：上述的计算是片面的，有必要将两个时期的权数资料全部考虑进来，以改变这种计算。但是，这种方法必须比以前更精准且仍能保证指数仅代表指定项的变化。我们也可以说，加权的指数对所比较的两个时期要保持中立，或者说，这种指数应能满足时序倒置检验。在权数资料发生改变的情况下，这个问题可以通过某种交叉来解决。

读者可以证明此公式也是权数的平均过程。另外，如果几何平均数是根据拉氏基本公式和帕氏基本公式计算的③，那么，可获得费希尔的“理想”公

式Ｆ：

Ｆ＝（Ｌ．ｐ）ｋ

这一公式不同于以权数的平均而得到的任何其他公式。但是公式Ｆ并不否定任何一致性。因为，在

ｍ懑１２＝迄糍＝雠⑦霹＝裂＝黼＝嚣∑ｊ…端肛嚣

①埃奇沃斯以求取价格指数为例，当然求取数量指数方法相同。

２

ｍ

１０

万方数据

汪慧玲，何永涛：指数交叉对偶理论及其本质探讨

这种情况下，尽管权数的平均与指数的平均两者（它

这一公式可以符合每一可能关系中的循环检验和平均数检验，但不符合因子倒置检验。

基尼提出从相应个数的相加性指数序列中以不变权数计算的几何平均数多位置交叉计算方法。其

计算公式如下：

们是取得时间交叉对偶的两种方法）并不一致，但是时序倒置检验与因子交叉对偶却是一致的［１２］。也就是说，Ｌ和Ｐ互为因子对偶：Ｌ＇ｐ＝Ｉ，／Ｌｑ＝Ｐ及Ｐ暑＝Ｉ，／只＝Ｌ。另外，公式Ｆ使Ｌ和Ｐ两者的因子对偶相一致，因为（Ｌ・珥）童＝（Ｐ・Ｐ；）童＝（Ｌ・Ｐ；）ｔ＝Ｆ，通过这种结构的交叉公式，我们找到了一个既符合因子倒置检验，又符合时序倒置检验的公式。这就是费希尔把这一公式称为理想公式的原因。

（二）多位置交叉对偶

冗一。重，Ｓｒ，／ｂ）ｋ（鱼鳞、ｒ－－ｔ）｛

如果ｒ一２，则元＝Ｆ。然而，可以看到，在计算

两位置的Ｆ值时，可以同时进行两种不同类型的交叉，而对于相应的交叉时间对偶，则只须进行一次运算，其结果也不同于交叉因子对偶的结果。当ｒ＞２时，Ｆ不符合因子倒置检验的要求，不过并不影响继续进行对Ｆ的交叉因子对偶①：

如果我们想就已结束的较长时期，或就一些封闭的地区单位计算指数序列，那么，一方面没有理由说明我们为什么不能使用开放体系的计算方面，而另一方面，我们可以试着将计算程序做些改进，为此，我们必须以放弃体系的开放性为“代价’’。这种改

进的方法通常是将交叉程序进行多位置推广，这一点在开放体系内是不能实现的。

Ｘ＝（Ｒ｝）专

ｊ＿ａ．ｉ

以上面的方法获得的ｘＩ是一个新的多位置公

式，它同样可以从所有可能的两因素指数Ｆ中直接得出：

与两位置交叉时间对偶相似，这里，我们可以通

过平均权数的指数，或者通过不同加权的指数来进行计算。另外，也可以进行多位置公式的交叉因子对

Ｘｔ肛一（Ｔｒ．Ｒ佑Ｆ∥）÷Ｕ∈｛ｚ）且歹≠６、ｔ）

偶。多因素交叉的资料基础在一定意义上说是最多的，它要使用每一个可能的资料矿和Ｐ。（ｚ＝１，．．・，

ｒ），但是，它要支出相当数量的劳动和费用（这一程

除了Ｅ公式外，基尼还提出了另一公式，他类似提到上面的公式，但后者只作为特例，在此我们不

进行详细讨论。

在２０世纪６０年代，一些学者（Ｄｒｅｃｈｓｌｅｒ、ｌ至ｌｔｅｔＯ、ＫＯｖｅｓ和Ｓｚｕｌｃ）以每一关系中计算出来的指数Ｆ

序主要应用于极为重要的调查研究）。如果我们对封闭体系内所有位置ｚ（ｚ＝ｌ，２，．．・，ｒ），就每一个产品计算平均数为：

蟊：学

协

为基础对传递性指数口少进行了研究。从某种意义上说，他们认为这一指数最接近于直接为每一种关系计算的指数Ｒ膳的整体，这就是说，它能使如下的二次函数取得最小值：

以这一平均值为权数求某一产品多位置简单综合指数，那么，我们就可以得到广义的ＥｄｇｅｗｏｒｔｈＭａｒｓｈａｌｌ公式，即：

瓦：鼬：盥

∑：：，和｝

∑州ｒ口制

∑：：，薛户？ｓ。

∑ｒＩ，∑：：，（１０９ａ／ｂ—ｌｏｇＥ佑）２＝ｍｉｎ

正如这些学者所证明的，这一问题的解为口ｐ

＝Ｘｌ佑，关于这一问题，请参看Ｄｒｅｃｈｓｌｅｒ、Ｓｚｉｌｄｇｙｉ及

Ｋｒａｖｉｓ等作者的论述。在国外文献中，此处所论述的

指数公式被称为ＥＫＳ公式。上述公式可以作如下解释：先将位置ｔ和ｂ分别与全部可能的位置做直接的或间接的一一对比，再计算这些对比的几何平

均数［１４］１０卜１０９。

∑：；。西ｐ｝

（ｔ、ｂ∈｛ｚ），且ｔ≠６；Ｓｚ＝户；／ｐ｝）

如果ｒ＝２，则上式就变成秽。通过权数的平均，

我们得到一个相当于将指数平均的方法，面是以

三、关于指数交叉对偶理论的探讨

费希尔在提出简单公式交叉对偶的理由时，认

：∑：。面户？为权数而计算的指数Ｓ。的加权平均数。

①这种交叉意味着放弃平均数检验。在理论上，我们的确丧失了最后结果是在特定关系中个体指数的“正常”平均数的保证，

但是，违反检验的程度实际上是不显著的。

１１

万方数据

统计与信息论坛

为有义务对这一问题作些解释。他指出，这一方法中存在一个实践的谬误。由于没有ｑ和锄的资料可用，我们才采用简单价格指数公式，而交叉因子对偶却假定我们具有这些资料。这种校正方法是为了完整起见而写进他的著作的。接着他又说：“它有助于说明，即使是从错误加权的不利条件开始，尽管永远也不能完全克服这些不利条件，但是能得到一定程度

的校正。”这里有两点是正确的。首先，正规的因子

局限性，就不会认为，对指数进行的交叉运算脱离了经济实际。相反，指数计算更深地植根于经济的土壤。如果我们能摆脱直观方法的局限性，在讨论某一公式的经济内涵问题时，首先就应该考虑这样一个事实，即为某一特定目的而设计的不同公式以不同方式反映所考察现象的某些方面。

仅仅抓到指数交叉的缺点就大加指责，甚至全盘否定是有欠公允的。通过交叉指数公式计算得出的数值最明显的趋势是离差很小，为此我们利用帕尔・科夫斯所收集的关于布达佩斯市场年供给量和标准价格构成的资料①对费希尔指数公式系谱的三代指数公式②进行对比，对比结果见图１Ｅ¨。

１１０％

倒置检验在费氏的正规体系中是“没有踪迹”的，把它包括进来就会使整个体系更为复杂。但是上面提

到的“实践谬误”，说的更恰当些，可能是出于理论上

的动机。另一方面，如果我们真正从实际出发，找到用交叉因子对偶校正的未加权公式，是否真的存在时间谬误。资料Ｐ２／ｌ、ｑ２ｎ以及＇／３很可能来源不同，个体数量指数和个体价格指数也很可能来自两个代表样本，因而代表商品不完全一样，而价值指数（按总指数看待）是来自全面资料中的价值总量之商。在

这种情况下，就可用三种不同来源的资料来求公式

Ｌ———卜—＿．——Ｌ—Ｉ＿—上———冉倚单

Ｊ

１２０％１３０％１４０％１５０％

／Ｉｇ

ＧＩ＋

Ｌ●———｜＿——卜—－工————＿ＪＬ————上加权

，

Ｇ．Ｇｌ

工

的（适当的）实际值。如果我们来看一看费希尔的体系，在这里，资料ｑ、Ｐ和ｖ指的是同一些商品。从而，

这个体系在上述意义上的扩大，或者因子倒置检验

简单

的作用对加权公式的约束，都能使整个体系摆脱矛

盾的困境。

加投

国内外的许多学者对交叉指数持反对态度，有

一种影响较大的观点认为，这些通过交叉而得到的

交叉

指数不具有任何经济内容。这一观点无非是说：能否对公式作出直观的解释，如果能作出这种解释，它便有经济意义。毫无疑问，实践中经常遇到的问题是某些给定公式的实际经济内容是什么？值得注意的是，

即使在论述严密的指数文献中，对某一特定指数公

１７０％１７５％１８０％１８５％１９０％

Ｌ十＋—Ｌ———ｌ＿———Ｌ—Ｈ＿Ｌ简单

＾，

暑

口１‘

Ｌ——－｜—上——●－．—Ｊ＿——Ｌ—上一Ｇ．

Ｐ工

Ｇｌ

Ｌ．加权

式的经济内涵问题，仍可能有多种不同解释。按照直观解释的精神，我们可以把那些未经交叉计算的指

数公式所表示的假设列出来作为解答，这在指数计算的教学和宣传中，在统计的“生产者＂和“消费者”之间的思想交流中都是必需的、有用的［１５１。然而许多复杂的统计方法的应用，如果都要用直观解释来实证，那是困难的，指数计算也是如此。但是，坚持直观解释绝不意味着拒绝采用较抽象的数学方法。因此，许多情况下，正是数学方法的优越性导致了拒绝来源于其他方法的各种考虑［１引。

假如我们能够清醒地认识到直观解释的作用和

Ｉ

Ｉ鬈ｌ

Ｅ百＋

ｃ

Ｉ

Ｌ交叉

ＢＰ－１２（１９１３、１９１８年）价格指数

图１

简单公式、加权公式和交叉公式结果比较图

数值中最明显的趋势是从简单指数公式得到的数值离差最大，价差公式所得数值离差最小、数值更集中。Ｂｏｒｔｋｉｅｗｉｃｚ指出指数数值的差异用三个因素来解释，即个体价格指数的相对离差、个体数量指数的相对离差以及测定这两类个体指数之间随机关系的相关系数［１８Ｉ。交叉指数公式之所以离差最小，是因为其对包含在所交叉基本公式中的误差信息进行

①参照帕尔・科夫斯的《指数理论与经济实现》。

⑦对三代公式分类标准探讨已超出本文范围，请读者参照费希尔的《指数的编制》。

１２

万方数据

汪慧玲，何永涛：指数交叉对偶理论及其本质探讨

了平均，可以或多或少地消除与经济现实的偏差。为

更清晰地描述这种离差关系，我们以公式庐和Ｆ

为例进行讨论。

首先我们先确定公式Ｆ与基本公式Ｌ和Ｐ的关系，然后再讨论公式Ｅ与基本公式Ｌ和Ｐ的关系，最后对两者存在离差原因进行剖析。假设ＰＩＬ＝Ｂ，则可得公式Ｆ与基本公式的比率为：

四、指数交叉对偶理论发展趋势展望

（一）指数交叉理论在函数论方法中的运用

弗利希在其著作中把指数理论发展区分为两个主要趋向，即：原子论方法和函数论方法［１９１。原子论方法是把单个产品的数据看作是独立的变量，我们需要解决的问题就是确定这些独立变量的函数，以表示“总的价格变化”，上面我们用到的指数计算方法即属此类。函数论方法的中心内容是用来确定消费者的满足水平以及消费者从所消费的消费品总

量中得到的利益的效用函数和需求函数，以及来自

一＝—————‘—－一＝一＝ｎ

Ｌ

Ｌ

Ｌ

至：ｌ塑坐：！垦：塑坐：Ｒ１／ｚ

＝（１＋％／１・Ｖ０／ｌ・嘭７１２７１）“２

Ｐ

ＬＢ

＿ＬＢ

—Ｆ

２—（ＬＰ—）１１ｚ

２瓦了西严（Ｌ・ＬＢ）１／２

＝Ｂ１／２

其中魄，ｔ＝％／ｋ＝［∑ｗ１（ｑ｛仃一ｋ）２］１／２／ｋ

表示个体ｉ数量指数的相对离差，Ｖ０，－＝％／ｋ＝

新古典经济理论中的无差异曲线和无差异面。萨缪

尔森和斯威姆在《不变经济指数和典型对偶》一文中

首次把对偶理论引进函数论方法中并对不变经济指数和典型对偶之间的关系进行研究呦］。在这篇文章中，作者证明当且仅当效用函数是位似的和一阶齐次的，且是典型形式，则公式Ｌ和Ｐ交叉所得到

的“理想”公式Ｆ在位似二次效用函数的情形下是准确的，即Ｌ和Ｐ的“对称平均数”，以及它们之中的Ｆ的“对称平均数”都是十分相似的。在非位似效用函数的情况下，作者认为“真实”指数并不一定落在Ｌ和Ｐ之间，因此Ｌ、Ｐ及Ｆ均是无效的，但是作者并没有提出能获得更加近似的公式。

帕尔・科夫斯以Ｃｏｂｂ－－Ｄｏｕｇｌａｓ型的位似效用函数为基础对萨缪尔森和斯威姆的理论进行真实数

［∑埘（ｐ｝仃一ｋ）２］Ｖ２／Ｌ＾表示个体ｉ价格指数的相对离差，用瑶１夕２／１＝％．龟／咆・％＝∑埘（ｑ；九

一ｋ）・（ｐ｝仃一ＬＡ）／％・ａｐｉ测定两者之间随机关系

的相关系数。可见，交叉公式Ｆ与基本公式之间产生离差的外部关系的因子是有下述次级因子构成：

１．不同个体的价格指数在总指数周围的分散度

（有相对离差测定）；

２．各个个体数量指数的离差；

３．各个个体价格指数和数量指数之间的线性关

系的强度。现在，我们讨论公式Ｅ与基本公式之间的关系，这要比公式Ｆ稍微复杂些，其比率如下：

ＥＬ

Ｌ＋Ｌ玑・ＢＬ

－－－－＿－－－・——－－二－－＿－－－－－－－一：＝－・－－－－－－－－－－－：－－—－－一

１＋Ｌｍ・Ｂ

Ｌ（１＋ｋ）ｌ＋ｋ

据的计算。根据计算结果，他认为Ｌ与Ｐ之间的差别较大，Ｆ作为这些相互间存在很大差别的结果的几何平均数，也与“真实”指数有着很大程度的差别，通过多位置交叉产生的公式计算的结果更近似于真

实指数。萨缪尔森对指数交叉理论在函数论方法中

＝１＋Ｖ：口｝，－・丁了｝・ｑｎ．霹７－…田

ＥＰ

Ｌ＋Ｌｍ・ＢＬＢＬ（１＋Ｌｑ，）

１Ｂ

ＥＬ

公式Ｅ的突出特征是以１和ｋ加权的Ｌ和Ｐ的算术平均数，因此，如果Ｌ吼＝１则有Ｅ＝（Ｌ＋

应用所作出的贡献具有重大意义，现在许多学者也

在探讨连续指数［２¨。

（二】指数交叉理论在统一指数理论中的运用

Ｐ）／２；如果ｋ＞１或ｋ＜１则价格指数Ｅ分别接

近于Ｐ或Ｌ，若Ｂ＜１，则在ｋ超过１００％的情况

下，我们可以得到小于Ｌ和Ｐ的简单算术平均数的指数Ｅ。在相反的情况下，指数Ｅ将大于这个平

均数。

统一指数理论从指数计算的角度，将公式特征的分析与现实性质的研究结合起来，其研究的对象

既可以用函数来描述，也可以用随机模型来描述，而

且后者能更好地描述现实。数量和价格分布，它们

之间的随机关系，以及形成这种关系的因素，即随时

就公式Ｅ和Ｆ的关系而言，当Ｌ缶一１时，由于算术平均数大于几何平均数，故Ｅ＞Ｆ。若ｋ＜１且Ｂ＜１，则Ｅ总是大于Ｆ。而在ｋ＜１时，我们则无法判定两者之间大小。

间而变化的总体统计结构，以及结构的不同类型等，都必须进行经验研究，因此统一指数理论拥有比每一种研究方法本身更为丰富的手段。

①在费希尔指数公式体系中公式Ｅ表示Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ－－Ｍａｒｓｈａｌｌ公式，同本文中秽。

１３

万方数据

统计与信息论坛

国家之间的差异是多维的，这包括地理上的差一般的有效性。特别对于体现某种确定趋势结构发展的时序序列、存在很大结构差异情况下，这种公式被认为是最好的公式。近年来，关于交叉理论在统一指数中运用的探讨仍在进行中。但我们认为任何指数理论在向实际工作推荐时都应该考虑两个方面：第一，需要对公式的选择进行理论思考。需要给公式附上“使用说明书”。我们必须弄清楚公式理论上的“等级＂，指数的计算方法这一“等级”是一般有效，还是依某些特殊条件而定。第二，我们必须强调，在指数计算中，需要对理论和实践同样重视。

异、社会制度的特性等。这种差异存在使各地区“连锁”也绝非是一维的，使建立国家间可对比的统一指数更加困难。许多学者对这一问题进行了深入研究，Ｄｒｅｃｈｓｌｅｒ在他的论文中，谈到对比一组几个国家可能性时，讨论了怎样选择最少的、必需的双边对比方法。他提出渐进性是一条应该遵守的基本原则瞄１。因此，对比的国家在发展阶段上和经济结构上一定要具有相对的类似。通过对指数公式进行两位置或多位置交叉而得到的交叉公式，则在统一指数计算中具有

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ｏｆＩｎｃｏｍｅ

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１４

万方数据

汪慧玲，何永涛：指数交叉对偶理论及其本质探讨

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ

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ＷＡＮＧＨｕｉ—ｌｉｎｇ．ＨＥ

Ｙｏｎｇ－ｔａｏ

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Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｒｏｓｓ－－Ａｎｔｉｔｈｅｓｉｓ－－Ｉｎｄｅｘｔｈｅｏｒｙｉｓｔｈｅｍｉｌｅｓｔｏｎｅｉｎｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙｏｆｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｉｎｄｅｘｔｈｅｏｒｙ．Ｉｔｉｓｆｕｌｌｙａｐｐｌｉｅｄａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｅｄｉｎｅｌｉｍｉｎａｔｉｎｇｔｈｅｂｉａｓｗｈｅｎｓｅｌｅｃｔｉｎｇｔｈｅｉｎｄｅｘｆｏｒｍｕｌａｅ．Ｉｔ

ｇａｉｎｅｄｒｅｍａｒｋａｂｌｅａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｉｎｐｒｏｍｏｔｉｎｇｔｈｅｔｅｓｔｌｅｖｅｌｏｆｔｈｅ

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（责任编辑：李勤）

ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄｉｎｄｅｘ

“第四届（２０１１）国际统计与管理工程学术研讨会＂圆满召开

“第四届（２０１１）国际统计与管理工程学术研讨会”由中国现场统计研究会统计综合评价研究分

会、澳大利亚的ＡｕｓｓｉｎｏＡｃａｄｅｍｉｃＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＨｏｕｓｅ、山东省应用统计学会联合发起，山东省应用

统计学会具体承办，济南大学管理学院和上海南康科技有限公司协办。会议于２０１１年７月２４—２９日在辽宁省大连市顺利召开。

本届会议的主题是“当今世界应用统计、管理科学的创新与发展”，围绕统计领域和管理领域的２０余个议题面向国内外征集论文。先后有１２００多名作者向大会投稿，大会组委会组织有关专家从众多来稿中筛选出８００多篇论文作为本次学术研讨会的交流论文，拟从中筛选出部分优秀论文出版相应的纸介质英文版论文集，分别提交ＩＳＴＰ和ＥＩ检索。

来自中国大陆、中国台湾、中国香港、美国、加拿大、英国、日本等国家和地区的论文作者代表，特别邀请的统计界、管理工程界的一些知名学者以及相关方面的领导和嘉宾共２００多人参加会议。

参会代表围绕“统计理论方法、统计应用、管理科学、管理工程”等四个议题进行深入的探讨和交流，有７位专家先后在大会上作了主题报告，其余代表分别在相应的分会场上进行了专题发言。

“第五届（２０１２）国际应用统计与管理科学学术研讨会”拟于明年７月底在北戴河举行（暂定），并出版相应的英文版论文集分别提交ＩｓＴＰ和ＥＩ检索，敬请有关人士继续关注。

（朱孔来供稿）

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万方数据

指数交叉对偶理论及其本质探讨

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

汪慧玲， 何永涛， WANG Hui-ling， HE Yong-tao兰州大学经济学院,甘肃兰州,730000统计与信息论坛

Statistics & Information Forum2011,26(10)

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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_tjyxxlt201110002.aspx