小专题 巧用勾股定理解决折叠与展开问题

小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

1．如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB ＝6，BC ＝9，求BF 的长．

2．长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，求AB 的长．

3．如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4. 在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．求D ，E 两点的坐标．

4．有一长方形纸片ABCD ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF.

(1)求证：△DEF 是等腰三角形；

(2)若AD ＝3，AB ＝9，求BE 的长．

5．有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm，BC ＝8 cm.

(1)如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，则CD ＝________cm；

(2)如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，点C 与AB 中点H 重合，点M ，N 分别在AC ，BC 上，则AM 2，BN 2与MN 2

之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题

6．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB 为5 cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是( )

A ．6 cm B ．12 cm

C ．13 cm D ．16 cm

7．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是____________m(精确到0.01 m)．

8．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.

(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少？

(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，则爬行的最短路程是多少？

9．如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯外离杯底4 cm的点C 处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm的点A 处．

(1)求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离；

(2)若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C 处，其余条件不变，请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离．

参考答案 1．∵点C′是AB 边的中点，AB ＝6，∴BC ′＝3. 由图形折叠的性质，知C′F＝CF ＝BC －BF ＝9－BF. 在Rt △C ′BF 中，BF 2＋BC′2＝C′F2，∴BF 2＋9＝(9－BF) 2. 解得BF ＝4.

2．∵四边形ABCD 是长方形，AD ＝8，∴BC ＝8. ∵△AEF 是由△AEB 翻折而成，∴BE ＝EF ＝3，AB ＝AF ，△CEF 是直角三角形．∴CE ＝BC －BE ＝8－3＝5. 在Rt △CEF 中，CF ＝CE －EF ＝5－3＝4. 设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即(x＋4) 2＝x 2＋82. 解得x ＝6. ∴AB ＝6.

3．依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，在Rt △ABE 中，AE ＝OA ＝5，AB ＝4. ∴BE ＝3，从而CE ＝

52. ∴E 点坐标为(2，4) ．在Rt △DCE 中，DC 2＋CE 2＝DE 2. 又∵DE ＝OD ，∴(4－OD) 2＋22＝OD 2. 解得OD ＝∴D 点2

5坐标为(0) ． 2

4．(1)证明：由折叠的性质，得∠DEF ＝∠BEF. ∵AB ∥DC ，∴∠BEF ＝∠DFE. ∴∠DEF ＝∠DFE. ∴DE ＝DF ，即△DEF 是等腰三角形．

(2)由折叠的性质，得ED ＝EB. 设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝AB －x ＝9－x. 在Rt △ADE 中，AD ＝3，AD 2＋AE 2＝DE 2. ∴32＋(9－x) 2＝x 2. 解得x ＝5. ∴BE ＝5.

5．AM 2＋BN 2＝MN 2. 证明：过点B 作BP ∥AC 交MH 延长线于点P ，连接NP ，∴∠A ＝∠PBH ，∠PBN ＋∠C ＝

⎧∠A ＝∠PBH ，

180°，即∠PBN ＝90°. ∵H 是AB 的中点，∴AH ＝BH. 在△AMH 和△BPH 中，⎨AH ＝BH ， ⎩∠AHM ＝∠BHP ，

∴△AMH ≌△BPH(ASA)．∴AM ＝BP ，MH ＝PH. 又∵NH ⊥MP ，∴MN ＝NP. 又∵在Rt △BNP 中，BP 2＋BN 2＝NP 2. ∴AM 2＋BN 2＝MN 2.

6．C

7. 2.60

8．(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，

∴A 2C 24＋117(cm)．

∴A 1C 252＋（17）242(cm)．

(2)如图1所示，A 2C 15＋5＝52(cm)．

如图2所示，A 2C 1＝9＋1＝82(cm)．

如图3所示，A 2C 1＝6＋4＝213(cm)．

∵5＜2＜82，

∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是52cm.

9．(1)如图，

由题意可，得CD ＝9 cm，AD ＝12－4－4＝4(cm)，

∴AC ＝AD ＋CD ＝97(cm)．

97cm.

(2)如图，

将杯子侧面展开，作A 关于EQ 的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，

1则A ′D 18＝9(cm)，CQ ＝12－4＝8(cm)，CD ＝4＋8＝12(cm)． 2

在Rt △A ′DC 中，由勾股定理，得A′CA′D＋CD ＝9＋12

＝15(cm)．

君悦文化

答：蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15 cm.