1.示范教案(1.1.1 算法的概念)
第一章 算法初步
本章教材分析
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础. 算法的应用是学习数学的一个重要方面. 学生学习算法的应用, 目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题. 通过算法的学习, 对完善数学的思想，激发应用数学的意识, 培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.
本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结. 教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系. 算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间. 让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.
在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.
本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力. 因此应从三个方面把握本章： （1）知识间的联系； （2）数学思想方法；
（3）认知规律.
本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：
1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念
整体设计
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法. 教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固. 三维目标
1. 正确理解算法的概念, 掌握算法的基本特点.
2. 通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3. 通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣. 重点难点
教学重点：算法的含义及应用. 教学难点：写出解决一类问题的算法.
课时安排 1课时
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊. 该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2（情境导入）
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念. 思路3（直接导入）
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究
提出问题
（1）解二元一次方程组有几种方法？ （2）结合教材实例⎨
⎧x -2y =-1, (1) ⎩2x +y =1, (2)
总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
⎧x -2y =-1, (1)
（3）结合教材实例⎨总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
2x +y =1, (2) ⎩
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.
（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果：
（1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组
⎧x -2y =-1, (1)
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： ⎨
⎩2x +y =1, (2)
第一步，①+②×2，得5x=1.③ 第二步，解③，得x=
1535
.
第三步，②-①×2，得5y=3.④ 第四步，解④，得y=
.
1⎧x =, ⎪⎪5
第五步，得到方程组的解为⎨
⎪y =3. ⎪5⎩
(3)用代入消元法解二元一次方程组
⎧x -2y =-1, (1)
我们可以归纳出以下步骤： ⎨
2x +y =1, (2) ⎩
第一步，由①得x=2y－1. ③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④ 第三步，解④得y=
35
. ⑤
3
15
第四步，把⑤代入③，得－1=
5
.
1⎧
x =, ⎪⎪5
第五步，得到方程组的解为⎨
⎪y =3. ⎪5⎩
⎧a 1x +b 1y =c 1, (1)
(4)对于一般的二元一次方程组⎨
a x +b y =c , (2) 22⎩2
其中a 1b 2－a 2b 1≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b 2-②×b 1，得 （a 1b 2－a 2b 1）x=b2c 1－b 1c 2. ③ 第二步，解③，得x=
b 2c 1-b 1c 2a 1b 2-a 2b 1
.
第三步，②×a 1-①×a 2，得（a 1b 2－a 2b 1）y=a1c 2－a 2c 1. ④ 第四步，解④，得y=
a 1c 2-a 2c 1a 1b 2-a 2b 1
.
b 2c 1-b 1c 2⎧
x =, ⎪a 1b 2-a 2b 1⎪
第五步，得到方程组的解为⎨
⎪y =a 1c 2-a 2c 1. ⎪a 1b 2-a 2b 1⎩
(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务. ②逻辑性：算法从
开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续. ③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行. (7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法. 也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法. 算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果. 因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例
思路1
例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数. （2）设计一个算法，判断35是否为质数.
算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数. 算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以2不能整除7. 第二步，用3除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以3不能整除7. 第三步，用4除7，得到余数3. 因为余数不为0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2. 因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1. 因为余数不为0，所以6不能整除7. 因此，7是质数.
（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1. 因为余数不为0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余数2. 因为余数不为0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余数3. 因为余数不为0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0. 因为余数为0，所以5能整除35. 因此，35不是质数.
点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
分析：对于任意的整数n(n>2)，若用i 表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n 是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i 除n, 得到余数r. 判断余数r 是否为0，若是，则不是质数；否则，将i 的值增加1，再执行同样的操作. 这个操作一直要进行到i 的值等于(n-1)为止. 算法如下：第一步，给定大于2的整数n. 第二步，令i=2.
第三步，用i 除n, 得到余数r.
第四步，判断“r=0”是否成立. 若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.
第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立. 若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第三步. 例2 写出用“二分法”求方程x -2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x2-2, 则方程x 2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b ］(满足f(a)·f(b)
2
第二步，确定区间［a,b ］，满足f(a)·f(b)
a b 2
.
第四步，若f(a)·f(m)
第五步，判断［a,b ］的长度是否小于d 或f(m）是否等于0. 若是，则m 是方程的近似解；否则，返回第三步.
当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.
近似解. 实际上，上述步骤也是求2的近似值的一个算法.
点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法. 如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……
思路2
例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊. 该人如何将动物转移过河？请设计算法.
分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.
解：具体算法如下： 算法步骤：
第一步：人带两只狼过河，并自己返回. 第二步：人带一只狼过河，自己返回.
第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回. 第四步：人带一只羊过河，自己返回.
第五步：人带两只狼过河.
点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的. 这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性. 本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用
某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.
例2 喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．问：如何安排这几个步骤？并给出两种算法，再加以比较． 分析：本例主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题． 解：算法一： 第一步，洗刷水壶. 第二步，烧水. 第三步，洗刷茶具. 第四步，沏茶. 算法二：
第一步，洗刷水壶.
第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具.
第三步，沏茶. 点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．
例3 写出通过尺轨作图确定线段AB 一个5等分点的算法.
分析：我们借助于平行线定理，把位置的比例关系变成已知的比例关系，只要按照规则一步一步去做就能完成任务.
解：算法分析：
第一步，从已知线段的左端点A 出发，任意作一条与AB 不平行的射线AP . 第二步，在射线上任取一个不同于端点A 的点C ，得到线段AC. 第三步，在射线上沿AC 的方向截取线段CE=AC. 第四步，在射线上沿AC 的方向截取线段EF=AC. 第五步，在射线上沿AC 的方向截取线段FG=AC.
第六步，在射线上沿AC 的方向截取线段GD=AC，那么线段AD=5AC. 第七步，连结DB.
第八步，过C 作BD 的平行线，交线段AB 于M ，这样点M 就是线段AB 的一个5等分点. 点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力，并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法，可谓一举多得，应多加训练.
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax 2+bx+c=0是否有实数根. 解：算法步骤如下：
第一步，输入一元二次方程的系数：a ，b ，c.
第二步，计算Δ=b2－4ac 的值.
第三步，判断Δ≥0是否成立. 若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.
点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法. 并且具有确定性、逻辑性、有穷性. 让我们结合例题仔细体会算法的特点.
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算. 设通话时间为t （分钟），通话费用y （元），如何设计一个程序，计算通话的费用. 解：算法分析：
数学模型实际上为：y 关于t 的分段函数. 关系式如下：
⎧0. 22, (0
y=⎨0. 22+0. 1(t -3), (t >3, t ∈Z ), ⎪0. 22+0. 1([T -3]+1), (T >3, t ∉Z ). ⎩
其中［t －3］表示取不大于t －3的整数部分. 算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行 y=0.2+0.1×(t－3) ；否则执行y=0.2+0.1×（［t －3］+1）. 第三步，输出通话费用c. 课堂小结
（1）正确理解算法这一概念.
(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法. 作业
课本本节练习1、2.
设计感想
本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习. 算法是本章的重点也是本章的基础，是一个较难理解的概念. 为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体会反复训练. 本节的事例有古老的经典算法，有几何算法等，因此这是一节很好的课例.