定积分的概念与计算.定积分在不等式证明中的应用
定积分的概念与计算、定积分在不等
式证明中的应用
一、选择题（共32小题；共160.0分）
1. \(\int_{ - \frac{{\mathrm{\pi }}}{2}}^{\frac{{\mathrm{\pi }}}{2}} {\left( {1 + \cos x} \right){\mathrm\rm {{\mathrm{d}}}}x} \) 等于 ( )
A.
\({\mathrm\rm {\pi }}\)
B.
2
C.
\({\mathrm\rm {\pi }} - {\text{2}}\)
2. 定积分 0
A.
ln2x
D. \({\mathrm\rm {\pi }} + 2\)
e dx 的值为 ( )
B. =1−
1
1
−1
1−1
0x dx ，b
C.
e 2−1 D. e 2
3. 设 a =
A.
11
0x 2dx ，c
= 0x 3dx ，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( )
C.
a >c>b
a
a >b>c B.
2
b >a>c D. b >c>a
4. 已知复数 z =a 1+i +i （a ∈R，i 为虚数单位）为实数，则 0 4−x +x dx 的值为 ( )
A.
2+π
B.
2+2π
C. 4+2π D. 4+4π
K, f x ≤K, 5. 设函数 y =f x 的定义域为 R+，若对于给定的正数 K ，定义函数 f K x =
f x , f x >K, 则当函数 f x =，K =1 时，定积分 1f K x dx 的值为 ( )
x
12
A. 2ln2+2 B. 2ln2−1 C. 2ln2 D. 2ln2+1
6. 如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为
A.
41
B.
5
3
1
C.
6
1
D.
7
1
7. 设函数 f x =ax 2+b （a ≠0），若 0f x dx =3f x 0 ，则 x 0= ( )
A.
±1
ln2x
B.
C.
±
D. 2
8. 定积分 0
A.
e dx 的值为 ( )
B.
1
C.
e 2−1
D.
e 2
−1
9. 设函数 f x =x − x ，其中 x 为取整记号，如 −1.2 =−2， 1.2 =1， 1 =1．又函数 g x =−f x 在区间 0,2 上零点的个数记为 m ，f x 与 g x 图象交点的个数记为 n ，则
3x
m g x dx 的值是 ( )
A.
−212
5
n
B.
−3−1
4
C.
−4
5
D.
−6
7
10. 若函数 f x =∣x 3∣+∣x +1∣，则 −2f x dx = ( )
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
11. 如图中阴影部分的面积是
A.
2 B.
9−2 C.
3
32
D.
3
35
12. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v t =7−3t +
251+t
t 的
单位：s ，v 的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 ( )
A.
1+25ln5
B.
8+25ln
311
C. 4+25ln5 D. 4+50ln2
13. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲 和 v 乙（如图所示）．那么对于图中给定的 t 0 和 t 1，下列判断中一定正确的是
A. C.
在 t 1 时刻，甲车在乙车前面 在 t 0 时刻，两车的位置相同
B. D.
t 1 时刻后，甲车在乙车后面 t 0 时刻后，乙车在甲车前面
14. 如图所示，阴影区域是由函数 y =cosx 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是
A. 1 B.
2
C.
2
π
D. π
15. 由曲线 y = ，直线 y =x −2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( )
A.
31
10
B. 4
1
C.
3
16
D. 6
16. 若 f x =x 2+2 0f x dx ，则 0f x dx = ( )
A.
−1
B.
−31
C.
31
D. 1
(第二次月考)17. 由直线 x =2x =2，曲线 y =x 及 x 轴所围图形的面积是 ( )
A.
415
11
B.
4
17
C.
ln2
2
1
D. 2ln2
18. 在弹性限度内，弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按胡克定律 F =kl 计算．今有一弹簧原长 80 cm，每压缩 1 cm 需 0.049 N 的压缩力，若把这根弹簧从 70 cm 压缩至 50 cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了 功（单位：J ）
A.
0.196
B.
0.294
C.
0.686
D.
0.98
19. 直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( )
A.
1
3
4
B. 2 C.
3
8
D.
16 3
20. 0 e x +2x dx 等于 ( )
A.
1
B.
e −1
C.
e
D.
e +1
21. 由曲线 y =x 2，y =x 3 围成的封闭图形面积为 ( )
A.
121
B.
4
1
C.
31
D.
12
7
22. 由函数 y =log 2x 与函数 y =log 2 x −2 的图象及 y =−2 与 y =3 所围成的封闭图形的面积是 ( )
A.
15
1
B. 20 C. 10 D.
以上都不对
23. 定积分 0 2x +e x dx 的值为 ( )
A.
e +2
2
B.
21
e +1
2
C. e D. e −1
24. 若 S 1= 1x 2dx ，S 2= 1dx ，S 3= 1e x dx ，则 S 1, S 2, S 3 的大小关系为 ( )
x
A.
S 1
π
π
B.
S 2
C.
S 2
D.
S 3
25. 由直线 x =−3, x =3, y =0 与曲线 y =cosx 所围成的封闭图形的面积为 ( )
A.
1
2
1
B. 1 C.
2
D.
26. −1 +x dx = ( )
A.
π
B.
1
2
π
C. π+1 D. π−1
27. 若函数 f x , g x 满足 −1f x g x dx =0，则称 f x , g x 为区间 −1,1 上的一组正交函数，给出三组函数：
① f x =sin 2x, g x =cos 2x ；② f x =x +1, g x =x −1；③ f x =x, g x =x 2．
1
1
其中为区间 −1,1 的正交函数的组数是 ( )
A.
B.
1
C.
2
D.
3
28. 抛物线 y =x 2−x 与 x 轴围成的图形的面积为 ( )
A.
ππ−
8
1
B. 1 C.
6
1
D.
21
29. 1+cosx dx 等于 ( )
A.
41
π B. 2 C. π−2 D. π+2
30. 2x dx 等于 ( )
A.
−2ln2
B.
2ln2
C.
−ln2
D.
ln2
31. 已知二次函数 y =f x 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为
A.
52π
B.
3
4
C.
2
3
D.
2
π
32. 直线 y =4x 与曲线 y =x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( )
A.
2 B.
4 C.
2
D.
4
二、填空题（共20小题；共100.0分）
33. 设 n = 1
2x 2−1
x
dx ，则 e n −2=．
3
34. 曲线 y =x, y =x 2 所围成图形的面积为 35. 若二项式 m −
π
的展开式中的常数项为 −160 ，则 0sinxdx =． 6
m
36. 定积分 0 x +cosx dx =． 37. 若 0x 2dx =9，则常数 T 的值为
T
38. 设 a >0 ，若曲线 y = 与直线 x =a ，y =0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ，则 a =
39. 0 x −1 dx =
40. 函数 f x =−2x 2+7x −6 与 g x =−x 的图象所围成封闭图形的面积为 41. 函数 y =x −x 2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于． 42. 0 +x dx =．
43. 由抛物线 y =x 2 和直线 y =1 所围成图形的面积为
44. 如图，在边长为 e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 ．
12
45. 设 y =f x 为区间 0,1 上的连续函数，且恒有 0≤f x ≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分 0f x dx ．先产生两组（每组 N 个）区间 0,1 上的均匀随机数 x 1，x 2，⋯，x N 和 y 1，y 2，⋯，y N ，由此得到 N 个点 x i , y i i =1,2, ⋯, N ，再数出其中满足 y i ≤f x i i =1,2, ⋯, N 的点数 N 1，那么由随机模拟方法可得积分 0f x dx 的近似值为． lgx , x >0,
若 f f 1 =1，则 a = 46. 设 f x = a 2
x + 03t dt , x ≤0,
47. 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
1
1
48. 曲线 y =sinx 0≤x ≤π 与 x 轴围成的封闭区域的面积为．
49. 如图，点 A 的坐标为 1,0 ，点 C 的坐标为 2,4 ，函数 f x =x 2．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
50. 从如图所示的长方形区域内任取一个点 M x, y ，则点 M 取自阴影部分的概率为 ．
51. 正方形的四个顶点 A −1, −1 , B 1, −1 , C 1,1 , D −1,1 分别在抛物线 y =−x 2 和 y =x 2 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 ．
52. 当 x ∈R, ∣x ∣
11
1dx + 0xdx + 0x dx +⋯+ 0x dx +⋯= 01−x dx ，从而得到如下等式：1×2+2×
1
13
1
1n+1
112
1n
1111
2 +3× 2+⋯+n+1× 2
12
+⋯=ln2.
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
012n C n ×2+2C n × 2 +3C n × 2 +⋯+n+1C n × 2
1
1
12
1
13
1
1n+1
=．
答案
第一部分 1. D 2. B 6. C
7. C
11. C 12. C 16. B 17. D 21. A 22. C 26. B 27. C 31. B 32. D 第二部分 33. 1
2
34. 16
35. 1−cos2 36. π2
2 37. 3 38. 49 39. 0 40. 83 41. 16 42. 76 43. 43 44. 2e 45. N 1N 46. 1 47. 1.2 48. 2 49. 512 50. 13
3. A 4. A 8. B
9. A
13. A 14. B 18. A 19. C 23. C 24. B 28. C 29. D 5. D
10. C
15. C 20. C 25. D 30. D
51. 3 52. n+1 2
1
3n+1
2
−1