初三数学第一讲躬身自省(教案)

学大教育新初三暑假课程入学测试卷

注意：1. 本试卷考试时间为60分钟，满分100分 2. 本试卷知识点考察范围为八年级全册内容 3. 本试卷采用闭卷笔答方式(考试时不允许带计算器) 4. 请考生使用蓝色或黑色圆珠笔、签字笔或钢笔作答

一、选择题(每小题3分, 共30分)

1. , 则x 的取值范围是( ) A.x>0 【答案】D

【解析】根据题意得

2-x ≥0, 解得x ≤

2. 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是( )

A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等

C. 对角线互相平分 【答案】B

【解析】矩形与菱形的两组对边都分别平行, 故选项A 不符合题意; 矩形的对角线相等,

菱形的对角线不一定相等, 故选项B 正确; 矩形与菱形的对角线都互相平分,

故选项C 不符合题意; 矩形与菱形的两组对角都分别相等, 故选项D 不符合题意. 3.

- A.

B.x ≥-2 C.x ≥2 D.x ≤2

D. 两组对角分别相等

）

C.【答案】B

9=4. 如图,EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿中线AD 方向平移到△A 1E 1F 1错误！未找到引用源。的位置，使E 1F 1错误！未找到引用源。与BC 边重合，已知△AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 7 B. 14 C. 21 D. 28

【答案】B

【解析】要注意运用等腰梯形的性质，在证明两线段垂直时常运用两个角的和等于90°；梯形的面积问题也是中考中常考的问题之一，要熟练掌握梯形面积公式的运用。 5. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC=8cm ，∠AOD=120°，则AB 的长为（ ）

B. 2cm

C. D. 4cm

【答案】D

解：在矩形ABCD 中，AO=BO=∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=180°﹣120°=60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB=AO=4cm ．

【解析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB 是等边三角形是解题的关键．

1

AC=4cm ， 2

6. 已知直线y =kx +b （k ≠0）与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，下列结论：①k ＞0，b ＞0；②k ＞0，b ＜0；③k ＜0，b ＞0；④k ＜0，b ＜0，其中正确结论的个数为（ ）

A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】B

【解析】本题关键是掌握一次函数y =kx +b 中的系数k 、b 与图像性质之间的关系。 根据题意知，直线y =kx +b （k ≠0）的图像可以如图1，这时k ＞0，b ＜0；也可以如图2，这时k ＜0，b ＞0。

7. 如图, 图中有一长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm 的木箱, 在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计), 要求木条不能露出木箱, 请你算一算, 能放入的细木条的最大长度是( ) A. 错误！未找到引用源。cm 源。cm 【答案】C

C. 5cm

B. 错误！未找到引用

D. 5cm

【解析】如图, 连接BC,BD, 在Rt △ABC 中,AB=5cm,AC=4cm,根据勾股定理, 得

22

AB +AC BC=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。cm,

在Rt △BCD 中,CD=3cm,BC=错误！未找到引用源。cm, BD=BC +CD 错误！未找到引用源。=5

2(cm)

2

2

8. 函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x ＜ax+4的解集为（ ） A. x

33

B. x D. x > 3

22

【答案】A

【解析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），求出m 的值，从而得出点A 的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x ＜ax+4的解集．

9. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：

①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF ≌△CGB

；④S ∆ABD =其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

AB 2

【答案】C

①由菱形的性质可得△ABD 、△BDC 是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，

故①正确；

②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE ⊥AB ，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；

③首先可得对应边BG ≠FD ，因为BG=DG，DG ＞FD ，故可得△BDF 不全等△CGB ，即③错误；

④S ∆ABD =

111AB ⋅DE =AB =AB ⋅AB =AB 2，即④正确． 22224

综上可得①②④正确，共3个．

【解析】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．

10. 如图螺旋由一系列直角三角形组成, 第n 个三角形的面积为( ) A. n B. 错误！未找到引用源。 C.

D.

n

2

n 2

【答案】D 【解析】 根据勾股定理：

第一个三角形中：OA , S 1=1⨯1÷2;

1=1+1

2第二个三角形中：OA 2=OA 12+1=1+1+1, S 2=OA 1⨯1÷2=1÷2;

22第三个三角形中：OA 3=OA 2+1=1+1+1+1, S 3=OA 2⨯1÷2=1÷2;

2

……

第n

个三角形中：S n =

1÷2=

二、填空题(每小题3分, 共24分)

1. 写出你认为最简单的最简二次根式 。

【解析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 已知a,b,c 是△ABC 的三边长,

, 则△ABC 的形状为 .

【答案】等腰直角三角形 【解析】∵

,

∴ c 2-a 2-b 2=0,且a-b=0,

∴c 2=a2+b2, 且a=b, 则△ABC 为等腰直角三角形.

3. 如图, 菱形ABCD 的周长为8错误！未找到引用源。, 对角线AC 和BD 相交于点O,AC ∶BD=1∶2, 则AO ∶BO= , 菱形ABCD 的面积S=

.

【答案】1∶2 16

【解析】∵四边形ABCD 是菱形, ∴AO=CO,BO=DO, ∴AC=2AO,BD=2BO,∴AO ∶BO=1∶2;

∵菱形ABCD 的周长为8, ∴AB=2, ∵AO ∶BO=1∶2, ∴AO=2,BO=4,

∴菱形ABCD 的面积S=错误！未找到引用源。×2×4×4=16.

4. 如图, 在平面直角坐标系中, 点A,B 的坐标分别为(-6,0),(0,8).以点A 为圆心, 以AB 长为半径画弧, 交x 正半轴于点C, 则点C 的坐标为

.

【答案】(4,0)

【解析】∵点A,B 的坐标分别为(-6,0),(0,8),∴AO=6,BO=8, ∴

=10错误！未找到引用源。,

∵以点A 为圆心, 以AB 长为半径画弧, ∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4, ∵交x 正半轴于点C, ∴点C 的坐标为(4,0).

5. 如图：在已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=14，

BD=8．AB=x，那么x 的取值范围是 .

【答案】3＜x ＜11

【解析】本题主要利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的AB 的取值范围。

6. 如图, ▱ABCD 中, 对角线AC 与BD 相交于点E, ∠AEB=45°,BD=2,将△ABC 沿AC

所在直线

翻折180°到其原来所在的同一平面内, 若点B 的落点记为B', 则DB' 的长为

.

【答案】错误！未找到引用源。

【解析】将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°, 有对应线段BE=B'E,对应角∠AEB=∠AEB'=45°, ∴∠BEB'=∠DEB'=90°, ∵BE=DE=B'E=1,

∴在Rt △DEB' 中

=错误！未找到引用源。. 7. 如图是某工程队在“村村通”工程中, 修筑的公路长度y(m)与时间x(天) 之间的关系图象. 根据图象提供的信息, 可知该公路的长度是 m. 【答案】504

【解析】根据图像可知, 函数图像过(2,180),(4,288)两点, 代入一次函数解析式得y=54x+72,当x=8时，y=504，则504米即为该公路的长度.

8. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动, 其截面如图所示. 正方形DEFH 的边长为2m, 若∠A=30°, ∠B=90°,BC=6m.当正方形DEFH 运动到什么位置, 即当AE= m 时, 有DC 2=AE2+BC2.

【答案】x=错误！未找到引用源。

【解析】∵∠A=30°, ∠B=90°,BC=6m,∴AC=12m, 设AE=x m, 可得EC=(12-x)m,

∵正方形DEFH 的边长为2m, 即DE=2m, ∴DC 2=DE2+EC2=4+(12-x)2, AE2+BC2=x2+36, ∵DC 2=AE2+BC2, ∴4+(12-x)2=x2+36, x=错误！未找到引用源。.

三、解答题(共46分)

1. （15分）已知在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是中线，AE 是高．求证：AB 2－AC 2=2BC·DE ．

【答案】∵AE ⊥BC 于E ，

∴AB 2=BE2＋AE 2， AC 2=EC2＋AE 2．

∴AB 2－AC 2=BE2－EC 2 =(BE＋EC) ·(BE－EC) =BC·(BE－EC)

∵BD=DC，

∴BE=BC－EC=2DC－EC

∴AB 2－AC 2=BC·(2DC－EC －EC)=2BC·

DE

【解析】题设中既没明确指出△ABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．所以高AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。剩下的两种情况如图所示。

，

2. （15分）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克＝10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y （微克）随时间

x （小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后：

（1）分别求出x ≤2和x ≥2时y 与x 之间的函

数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的时间是多长？

时）

【答案】（1）设x ≤2时，y =kx ，把坐标（2，6）代入得：y =3x ；设x ≥2时，y =k 'x +b ，把坐标（2，6），（10，3）代入得：y =-

327

x +。 84

422327

（2）把y =4代入y =3x 与y =-x +中得：x 1=，x 2=，则

3384

224

t =x 2-x 1=-=6（小时），因此这个有效时间为6小时。

33

【解析】本题是一道一次函数与医药学综合的题目，解题的关键是要将函数图像抽象成解析

式，然后结合函数的知识求解。本题趣味性强，能从中了解医药的一些知识。

3. （16分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°， ∠B=∠E=30°． （1）操作发现

如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 DE ∥AC ；

②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是 S 1=S2 ．

（2）猜想论证

当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S△BDE ，请直接写出相应的BF 的长．

【答案】解：（1）①∵△DEC 绕点C 旋转点D 恰好落在AB 边上， ∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠CDE ， ∴DE ∥AC ；

②∵∠B=30°，∠C=90°， ∴CD=AC=AB ， ∴BD=AD=AC，

根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC 、AD 上的高相等，

∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S 1=S2；

故答案为：DE ∥AC ；S 1=S2；

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（2）如图，∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到， ∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°， ∴∠ACN=∠DCM ， ∵在△ACN 和△DCM 中，

，

∴△ACN ≌△DCM （AAS ）， ∴AN=DM，

∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S 1=S2；

（3）如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形， 所以BE=DF1，且BE 、DF 1上的高相等， 此时S △DCF =S△BDE ， 过点D 作DF 2⊥BD ， ∵∠ABC=60°，

∴∠F 1DF 2=∠ABC=60°， ∴△DF 1F 2是等边三角形， ∴DF 1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°， ∴∠CDF 1=180°﹣30°=150°，

∠CDF 2=360°﹣150°﹣60°=150°， ∴∠CDF 1=∠CDF 2， ∵在△CDF 1和△CDF 2中，

，

∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ）， ∴点F 2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°， 又∵BD=4，

∴BE=×4÷cos30°=2÷∴BF 1=

=

， +

=

，

，BF 2=BF1+F1F 2=

或

．

故BF 的长为

【解析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB ，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM ，然后利用“角角边”证明△ACN 和△DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；

（3）过点D 作DF 1∥BE ，求出四边形BEDF 1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，

然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F 1为所求的点，过点D 作DF 2⊥BD ，求出∠F 1DF 2=60°，从而得到△DF 1F 2是等边三角形，然后求出DF 1=DF2，再求出∠CDF 1=∠CDF 2，利用“边角边”证明△CDF 1和△CDF 2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F 2也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出BE 的长，即可得解．

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F 有两个．

错题总结