§3.3 两平面的相关位置
§3.3 两平面的相关位置
一、位置关系
1. 两平面的位置关系有：相交，平行，重合三种.
2. 设两平面πi ： A i x +B i y +C i z +D i ＝0 (i =1,2) , 则π1, π2的法矢量为
＝{A 1, B 1 ,C 1},
＝{A 2, B 2, C 2}.
与
不平行）.
(1)π1, π2相交的充要条件是: A 1:B 1:C 1 ≠ A 2:B 2:C 2（
(2)π1, π2平行的充要条件是: (3)π1, π2重合的充要条件是: 二、夹角 1.
＝＝
＝＝
≠＝
( (
∥∥
). ).
如图3-5, 在{O ; , , }下，两平面的夹角为：∠(π1, π2) ＝θ 或 (π－θ ) ，
其中θ＝∠(
,
),
(i ＝1, 2)是平面πi 的法矢量， 从而
cos ∠(π1, π2) ＝±cos θ＝±＝±
⊥
.
即
2. 两平面π1与π2相互垂直的充要条件是：
A 1A 2＋B 1B 2＋C 1C 2＝0.
例1. 由cos ∠(π1, π2) ＝
±，证明π1//π2的充要条件
是
＝＝.
证明：因为 π1//π2 （∠(π1, π2) ＝0或π ）, 所以 cos∠(π1, π2) ＝±1, 所以
＝±1, 22
平方得 (A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2) ＝(A +B 1+C 1)(A 2+B 2+C 2),
2
21
2
2
2
±
A 21A 22+B 12B 22+C 21C 22+2A 1A 2B 1B 2+2B 1B 2C 1C 2+2C 1C 2A 1A 2 [***********]＝A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2+A 1B 2+A 1C 2+A 2B 1+A 2C 1+B 1C 2+B 2C 1,
整理得
(A 1B 2－A 2B 1) ＋(B 1C 2－B 2C 1) ＋(C 1A 2－C 2A 1) ＝0,
所以 A 1B 2－A 2B 1＝0, B1C 2－B 2C 1＝0, C1A 2－C 2A 1＝0, 从而
.
例2. 求过一点P 0 (x 0, y 0, z 0) 且垂直于两相交平面
A 1x ＋B 1y ＋C 1z ＋D 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2z ＋D 2＝0
的平面方程.
解：由于已知两平面相交, 所以它们的法矢量＝{A 1, B 1 , C 1},从而可作为所求平面的方位矢量，由平面的点位式方程就有
＝{A 2, B 2, C 2}不共线，
2
2
2
＝0.
例3. 设三平行平面
πi ：Ax +By +Cz +D i ＝0 (i =1, 2, 3),
L , M , N 是分别属于平面π1, π2, π3的任意点，求△LMN 的重心的轨迹.
解：设点L , M , N 的坐标分别为(x i , y i , z i )(i=1, 2, 3), 则△LMN 的重心坐标为
(x 1＋x 2＋x 3), y ＝(y 1＋y 2＋y 3), z ＝(z 1＋z 2＋z 3),
因为 L , M , N 分别属于π1, π2, π3， 所以 Ax i +By i +Cz i +D i ＝0 (i =1, 2, 3). 两边对i 求和得
A (x 1+x 2+x 3)+B (y 1+y 2+y 3)+C (z 1+z 2+z 3)+(D 1+D 2+D 3) ＝0
或 3Ax +3By +3Cz +(D 1+D 2+D 3) ＝0, 所以所求轨迹为
x ＝
Ax +By +Cz +(D 1+D 2+D 3) ＝0.
它是平行于πi (i =1, 2, 3)的一个平面.
例4. 证明两平行平面Ax +By +Cz +D i ＝0 (i ＝1, 2) 间的距离为
d ＝.
证明：设P (x 0, y 0, z 0) 是Ax +By +Cz +D 1＝0上一点，即Ax 0+By 0+Cz 0+ D 1＝0，则两平面间距离就是P 到平面Ax +By +Cz +D 2＝0的距离，所以
d ＝
作业题：
1. 判别下列各对平面的相关位置： （1）x +3y +6z +2＝0与
x +y +2z +1＝0， （2）2x －2y +z －5＝0与 x －y + z －1＝0.
＝
.
2. 求两平面x + y －10＝0与x +1＝0的夹角.
3. 求两平行平面3x +6y －2z +7＝0与3x +6y －2z +14＝0间的距离.
4. 证明从原点到三平面－x ＋y ＋z ＝a , x －y ＋z ＝a , x＋y －z ＝a (a >0)的距离相等.