幂级数求和问题的几种转化

幂级数求和问题的几种转化

数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业

【摘要】本文通过具体例子，介绍了幂级数求和的若干种转化和方法，例如其中的代数方程法， 微分、方程法等．同时对幂级数求和的化归途径进行了分析和实践，探讨了利用化归思想求幂级数和函数的几种方法．

【关键词】幂级数；和函数；微分；化归思想

The power series summation of several transformation

Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer

Science

[Abstract] This article through a concrete example, introduces the power series summation of several kinds of transformation and methods, such as one of the algebraic equation method, and differential equation method, etc. Meanwhile to the power series summation of change to approach is analyzed and practiced, this paper has discussed the use of be thought for the power series and the function of several methods.

[Key words] power series; And functions; Differential;Change be thought

1. 引言

幂级数是微积分中十分重要的内容之一, 而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题, 因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时, 我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关性质求解．

本文把幂级数求和和化归思想联系在一起，介绍了化归思想在幂级数求和中的应用．

2. 预备知识

2.1 幂级数

定义[1] 由幂级数列{a n (x -x 0) n }所产生的函数项级数

∑a (x -x )

n

n =0

∞

n

=a 0+a 1(x -x 0) +a 2(x -x 0) 2+... +a n (x -x 0) n +... ， （1）

它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它可以看做是多项式函

数的延伸，幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用他表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识．

把（1）中的x -x 0换成x 就得到了

∑a x

n n =0

∞

n

=a 0+a 1x +a 2x 2+... +a n x n +... （2）

2.2 幂级数的收敛区间和收敛半径

首先讨论幂级数（2）的收敛性问题．显然任意一个幂级数（2）在x =0处总是收敛的．我们有以下定理

若幂级数（2）在x =x ≠0收敛，则对满足不等式x

_

-

-

的任何x ，幂级数（2）收敛而

x >x

-

且绝对收敛；幂级数（2）在x =x 时发散，则对满足不等式散．以下给出证明

证：设级数

的任何x ，幂级数（2）发

∑a

n =0

∞

n

x 收敛，从而数列{a n x }收敛于零且有界，即存在某正数M ，使得

-n

-

n

-n

a n x

另一方面对任意一个满足不等式x

-

的x ，设r =

x x

-

-

则有a n x n =a n x n .

x x

n

-n

=a n x

-n

x x

-

n

由于级数

∑Mr

n =0

∞

n

收敛，故幂级数（2）当x

-

-

现在证明定理的第二部分．设幂级数（2）在x =x 时发散，如果存在某一个x 0，它满足不等式x >x ，且使级数

-

∑a x

n =0

∞

n

n 0

收敛．则由定理第一部分知道，幂级数（2）应在x =x

-

时绝对收敛，这与假设相矛盾，所以对一切满足不等式x >x 的x ，幂级数（2）都发散． 则可以知道幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以2R 表示区间的长度，

则称R 为幂级数的收敛半径．事实上，它就是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界．所以

当R =0时，幂级数（2）仅在x =0处收敛；

-

当R =+∞时，幂级数（2）在-∞, +∞)上收敛；

当0R 的x ，幂级数（2）都发散；至于x =±R ，（2）可能收敛也可能发散．

我们称(-R , R )为幂级数（2）的收敛区间．

(

2.3 化归思想

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．作为数学的一种基本思想，化归思想解题的过程实际上就是转化的过程．它无处不在，比如将未知向已知转化、复杂问题向简单问题转化、命题间的转化、数与形的转化、空间向平面的转化、高次向低次的转化、多元向少元的转化、无限向有限的转化等都是化归思想的体现．

我们在将级数求和问题化归为微分方程求解问题时，对级数的逐项求导是我们实现化归的方法，化归的关键就在于如何正确的实现转化[4]．

3. 幂级数求和的几种转化和方法

3.1 裂项组合法

在求幂级数的和函数时，对已知级数的通项拆项组合，使其为若干个已知和函数的幂级数的代数和，从而得到所求幂级数的和函数．

(-1) n n 3n

例1 求∑x 的和函数f (x ) ．

(n +1)! n =0

∞

解：易知该级数的收敛区域为(-∞, +∞) ． 当x =0时，f (x ) =0．

∞∞

-x )-x )1∞(-x )((x 22

当x ≠0时，f (x ) =-+x ∑． +x ∑+∑

2n ! x n =2(n +1)! n =2(n -2)! n =2

n -2

n

n +1

因为e =

x

1n

x x ∈(-∞, +∞) ， ∑n =0n !

-x

2

∞

于是f (x ) =e (x +1+) -

1

x x ， 2

⎧0⎪

故f (x ) =⎨2． 1-x x （x =0 则f (x ) =0，x ≠0则为另外一个）

(x +1+) e -⎪x 2⎩

3.2 逐项求导与逐项求积分法

在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分形成一个己知或易求和函数的级数，然后求和，最后再反过来求一次积分或微分，便可得到原级数的和函数．

∞

例2 求

1

x n 的和函数f (x ) ． ∑n =1n (n +1)

解：易知该级数的收敛区域为(-∞, +∞) ，

设s (x ) =xf (x ) =

1

x (n +1) ，x ∈[-1, +1]，则 ∑n =1n (n +1)

∞

∞

1x n n -1

s '(x ) =∑，s ''(x ) =∑x =，

1-x n n =1n =1

∞

x

⎰s ''(t ) dt =⎰

0x

x

1

，s '(x ) =-ln(1-x ) ， 1-t 0

x

⎰s '(t ) dt =⎰-ln(1-t ) dt ，s (x ) =(1-x )ln(1-x ) +x ，

所以f (x ) =

1-x

ln(1-x ) +1，x ≤1且x ≠0；当x =0时，f (x ) =0． x

例3 求s (x ) =

2n +12n

x 的和函数． ∑n ! n =0

∞

解：易知此级数收敛域为(-∞, +∞) ，在任意区间上可逐项积分．

∞∞

1x 1⎛∞2n +12n ⎫2n

s (t ) dt =dt =(2n +1) t dt =x ∑∑ ∑n ⎪⎰⎰⎰0n ! n ! n =0n =0⎭00⎝n =0x 2x

故s (x ) =[⎰s (t ) dt ]'=(xe ) '=(1+2x ) e ．

0x

2

2

x x

n 2+

(x 2) n x 2

=x ∑=xe

n ! n =0

1

∞

3.3 有限递推法

通过函数f (x ) 构造一个有限阶函数列，并且这个有限阶函数列的和函数可求，这样我们可以通过逐级递推法求得函数式f (x ) ．

n 3x n

例4 求∑的和函数f (x ) ．

(n +1)! n =0

∞

解：易知该级数的收敛区域为(-∞, +∞) ． 当x =0时，f (x ) =0． 当x ≠0时，

∞x n 3x n -1n 2x n

令f (x ) =xf 1(x ) ，其中f 1(x ) =∑，则f 2(x ) =⎰f 1(t ) dt =∑．

n =1(n +1)! n =1(n +1)!

∞

∞x n 2x n -1nx n

令f 2(x ) =xf 3(x ) ，其中f 3(x ) =∑，则f 4(x ) =⎰f 3(t ) dt =∑．

n =1(n +1)! n =1(n +1)!

∞

∞x nx n -1x n

令f 4(x ) =xf 5(x ) ，其中f 5(x ) =∑，则f 6(x ) =⎰f 5(t ) dt =∑．

n =1(n +1)! n =1(n +1)!

∞

e x +1x n +1x +1

所以xf 6(x ) =∑ 逆推回去即可得到解 =e ，f 6(x ) =

x n =0(n +1)!

∞

3.4 代数方程法

建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而使幂级数和函数问题转化为代

数方程问题，并最终实现幂级数和函数问题的求解．这里将给予重点介绍．

[2]

例5 计算

∑(2n +1) x

n =0

∞

n

的收敛域与和函数．

解法1：易知收敛域(-1,1) ．令x =t ，则

2

∑(2n +1) x =∑(2n +1) t

n

n =0

n =0

∞∞

2n

=(∑t

n =0

∞

2n +1

t 1+x

' ) '=() =1-t 2(1-x ) 2

解法2：收敛域为(-1,1) ．则

) =∑2n x +∑x =2x ∑(⎰∑(2n +1x

n

n

n

n =0

n =1

n =0

∞∞∞

∞x

n =1

1-1n

n x 'd 1-x

=

2x (

∑x n ') +

n =1

∞

1x 11+x

=x 2'+) =

1-x 1-x 1-x (-1x 2)

这两种解法本质上是利用逐项求导或积分等分析性质将给定的幂级数化为几何级数的

形式，借助几何级数的和函数得到给定幂级数的和函数．基于这种想法，还可这样求解：

解法3：收敛域为(-1,1) ．则

) =∑2n (+1x ) -∑x =⎰2((∑(2n +1x ∑n +

n

n

n

n =0

n =0

n =0

n =0

∞∞∞

x

∞

n

1

x 1') d 1-x

=

2(

∑x n +1') -

n =0

∞

111+1x

． =-'1-=2

1-x 1-x 1-x (-1x )

事实上，由该幂级数系数的特点，不用分析性质也能得到结果： 解法4：收敛域为(-1,1) ．令

s (x ) =

∑(2n +1) x

n =0∞

∞

n

=1+∑(2n +1) x n ，则

n =1∞

n +1

∞

xs (x ) =

∑(2n +1) x

n =0

=∑(2n -1) x n ，于是

n =1n

s (x ) -x s (x ) =1+2

n =1

∑

∞

1+x 1+x

，即s (x ) -xs (x ) = （1） x 1-x 1-x

因此s (x ) =

1+x

，x ∈(-1,1) ．

(1-x ) 2

关于幂级数求和函数，往往是基于一些常用级数和函数，借助四则运算、变量代换、逐项求导或逐项求积等手段，通过一般项的转化来实现．解法4实质上是通过建立和函数的代数方程（1），将幂级数求和函数问题转化为简单代数方程的求解．事实上，这种方法对于某些幂级数是普遍适用的．

命题1 若幂级数

∑a x

n n =0

∞

n

收敛域为(-1,1) ，且a n -a n -1=k (k ∈R ) ，则该幂级数和函

数可以转化为代数方法求解，且其和函数为s (x ) =

a 0(1-x ) +kx

． 2

(1-x )

证明：对任意x ∈(-1,1) ，令s (x ) =

∞

∞

∑a x

n n =0

∞

n

，则xs (x ) =

∑a x

n n =0

∞

n +1

．

于是x (x ) -xs (x ) =

∞

∑a x -∑a x

n n

n

n =0

n =0

n +1

=a 0+∑(a n -a n -1) x n =

n =1

∞

a 0+

a 0(1-x ) +kx 1n

， kx =a +k (-1) =∑0

1-x 1-x n =1

因此s (x ) =

a 0(1-x ) +kx

，x ∈(-1,1) ． 2

(1-x )

前面代数方程法的例1就是命题1给出的这种幂级数． 例6 在(-1,1) 内求幂级数

∑n x

2n =1

∞

n

的和函数．

分析 由于a n -a n -1≠k ，该幂级数不是命题1给出的类型，这里继续用建立代数方程的想法．

解：令s (x ) =

∑n x

2n =1

∞

n

，则xs (x ) =

∞

∑n x

2n =1n

∞

∞

n +1

=∑(n -1) 2x n

n =1

n

∞

于是s (x ) -xs (x ) =x +

∞

∞

∑(2n -1) x =∑(2n -1) x

n =2

n =1∞

n +1

．

由于

∑(2n -1) x =∑(2n +1) x

n

n =1

n =0

n

=x ∑(2n +1) x n ，

n =0

而级数

∑(2n +1) x

n =0

∞

正是例1所给级数，也即适用代数方程方法的类型．于是

1+x x +x 2

s (x ) -xs (x ) =x ．因此s (x ) =，x ∈(-1,1) ． 23

(1-x ) (1-x )

由解答过程看出，例2也可用代数方程的方法解决．受此例启发形如

∑(an

n =0

∞

2

+bn +c ) x n

的幂级数也适用代数方程方法求解和函数，并得到类似于命题l 的和函数的一般表示形式．进

一步，能得到更一般结论：

记a n =

∑a n

i i =0

m

m -i

(a i ∈R , m ∈Z) ，对形如

+

∑a x

n n =0

∞

n

的幂级数，若其收敛域为(-1,1) ，

则它的和函数可用代数方程方法计算得到．

例7 求

∑nx

n =1

∞

2n

的和函数s (x ) ．

解：易知该级数的收敛域为(-∞, +∞) （这儿的收敛域与之前的例题不一样，但仍然可以用代数方程的方法求）

x s (x ) =

2

∑(n -1) x

n =1

∞

2n

(n -1) x ，(1-x ) s (x ) =∑x 2n ，

2n

2

n =1

∞

x 2x 2

于是(1-x ) s (x ) =，则s (x ) = 其中x ∈(-1,1) ．

1-x 2(1-x 2) 2

2

3.5 微分方程法

按照通常求幂级数和函数的思路．对一些幂级数并不能奏效．在某些情况下．可以引入

求幂级数和函数的微分方程方法．其主要思路是通过建立和函数的微分方程．将幂级数求和函数问题化为微分方程初值问题来求解[3]．以下重点介绍．

计算幂级数和函数， 往往是在一些常用级数和函数已知结果的基础上， 借助四则运算、 变量代换、逐项求积或逐项求导等手段，将待求和函数的幂级数的一般项化为常用级数的一般项来实现的．而常用级数一般指：

∞∞

a (a -1) (a -n +1) n x n +1x n

，∑x ，∑(-1) x ，∑(-1) x ，∑， ∑n ! n +1n =0n =0n =0n =0n =0n ! ∞

n

∞

n

n

∞

n

2n ∞

x 2n +1n x ，∑(-1) (-1) ∑(2n +1)! n =0(2n )! n =0∞

n

然而，在有些情况下，按照这种思路往往不能得到所求和函数．例如：

x 2n

例8 求幂级数∑的和函数．

(2n )! n =0

∞

分析 显然，采用常规的手段不能将该级数的一般项转化为常用级数的一般项．

解：易得收敛域(-∞, +∞) ．令

x 2n x 2x 4x n 2

s (x ) =∑=1+++++，则...

n ) ! 2! 4! n (2) ! n =0(2

∞

x 2n -1x 3x 5x n -21

s '(x ) =∑=x +++... ++，从而...

n -1) ! 3! 5! n -(21) ! n =1(2

∞

x n

s '(x ) +s (x ) ，x ∈(-∞, +∞) ． =∑=x e

n =0n !

∞

这是一阶线性微分方程，其通解为s (x ) =Ce 于是s (x ) =

-x

11+e x ，据s (0)=1得C = 22

1-x

(e +e x ) =chx ． 2

x 2x 3x 4x 5x 6

+++++ 的和函数． 例9 求幂级数1+x +

21⋅32⋅41⋅3⋅52⋅4⋅6

解：易知该幂级数的收敛域为(-∞, +∞) ，记和函数为s (x ) ，逐项求导得到

(x =) ，且1s (0)=1．解此微分方程得 s '(x ) -x s

s (x ) =e (

x 22

⎰

x

e dt +1) ．

-

t 22

上面两个实例揭示了一种计算幂级数和函数的思路．即在使用传统的四则运算、变量代换、逐项求导或逐项求积等手段不能奏效的情况下，不妨考虑寻找幂级数的和函数满足的微分方程，结合幂级数本身确定初始条件，这样就将求幂级数和函数的问题转化为微分方程初值问题．

x 3n

例10（1） 验证函数y (x ) =∑ (-∞

(3n )! n =0

∞

x 3n

（2） 利用（1）的结果求幂级数∑的和函数．

n =0(3n )!

∞

分析 这个题实际就是求幂级数的和函数问题．因为已经事先告知幂级数的和函数满足的微分方程，只须进行验证便可．

解：（1）首先，容易验证收敛区间为x ∈(-∞, +∞) ．其次，在收敛区间上可对幂级数逐项求导．这里对级数进行逐项求导两次，求导后得到的新级数收敛区间不变，于是：

∞

x 3n -1x 3n -2

，y ''(x ) =∑，x ∈(-∞, +∞) ． y '(x )=∑(3n -1)! (3n -2)! n=1n=1

∞

∞∞

x 3n -2x 3n -1x 3n

因而y ''(x ) +y '(x ) +y (x ) =∑+∑+∑=

n =1(3n -2)! n =1(3n -1)! n =0(3n )!

∞

n -

x 3n -2x 3

1+∑+

n -2) ! n (-3n =1(3

∞

1

x n 3

+]= 1) ! n (3) !

∞

x 2x 3x n x n

1+x +++ ++ =∑=e x ．

2! 3! n ! n =0n !

x

（2）因和函数满足方程y ''+y '+y =e ，且y (0)=1，y '(0)=0，故只要求解此初值

问题就得到级数的和函数．通过计算知：

x

x 3n 2-21x

=e cos x +e ，x ∈(-∞, +∞) ． ∑(3n )! 322n =0∞

x 2n

例11 求∑(-1) 的和函数s (x ) ．

(2n )! n =0

∞

n

解：先将其转化为求初值问题：s ''(x ) +s (x ) =0，s (0)=1，s '(0)=0， 然后求解可得s (x ) =cos x ，x ∈(-∞, +∞) ．

x 3x 5x 7

+++ 的和函数s (x ) ． 例12 求x +

1⋅31⋅3⋅51⋅3⋅5⋅7

解：转化为求初值问题：s '(x ) -xs (x ) =1，s (0)=0．

x 22

t 22

所以s (x ) =e

⎰

x

e dt ，x ∈(-∞, +∞) ．

-

通过上述讨论和几个例子看出，在某些情况下构造微分方程这种方法是相当有效的．

3.6 化归思想在幂级数求和中的应用

我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需要解决的问题转化为已能解决的问题．也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把问题化归成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这是数学思维中的一个重要方法即化归思维法．化归思维法包含三个基本的要素，即化归的对象、目标和方法．化归的对象，就是我们在原来的问题中需要转化的成分；化归的目标，就是我们在化归过程中希望能够达到的目的；而化归的方法，就是我们进行化归的措施、手段和技巧．[5]

例如，我们在将级数求和问题化归为微分方程求解问题时，对级数的逐项求导是我们实现化归的方法．很明显，化归的关键就在于如何有效地实现正确的转化．

[(n -1)!]2

例13：求级数∑(2x ) 2n 的和函数

(2n )! n =1

∞

思考和分析，求级数的和函数一般来说可以用部分和极限及幂级数的运算性质得到，但

是此幂级数用通常的求和函数的方法不能实现，能否用化归的方法，将求和函数的问题转化为另一类形式来解决呢?

由于幂函数的导数仍然是幂函数，所以此级数在收敛区间内逐项求导后与原级数属同类型的级数，有望找出它们之间的关系，实现化归的目的，为此先求级数的收敛区间．

u n +1(x ) 22n 2lim =lim x 2=x 2， 故当x 1时 n →∞u (x ) n →∞(2n +1)(2n +2) n

[(n -1)!]2

级数发散．x =±1时，级数是收敛的，由此可令：f (x ) =∑(2x ) 2n ，

(2n )! n =1

∞

其中f (0)=0 （x

[(n -1)!]2

f '(x ) =2∑(2x ) 2n -1，显然f '(0)=0

n =1(2n -1)!

∞

[(n -1)!]2

f ''(x ) =4∑(2x ) 2n -2 再找出未知函数f (x ) 及其导数间的关系式

n =1(2n -2)!

∞