应用数值分析(第四版)课后习题答案第2章

第二章习题解答

1. （1） R中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。

n×n

（2）R 中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。

-1

设A 是ｎ×ｎ的正交矩阵。证明A 也是ｎ×ｎ的正交矩阵。 证明：(1)证明：A 为上三角阵，B 为上三角阵，A , B ∈R

∴a ij =0(i >j ), b ij =0(i >j )

C =AB 则c ij =∑a ik b kj , ∴c ij =0(i >j )

k =1n

n×n

n ⨯n

∴上三角阵对矩阵乘法封闭。

以下证明：A 为正交矩阵，B 为正交矩阵，A , B ∈R n ⨯n AA T =A T A =E , BB T =B T B =E

(AB )((AB ) T ) =ABB T A T =E ,(AB ) T (AB ) =B T A T AB =E ∴AB 为正交矩阵,故正交矩阵对矩阵乘法封闭。

（2）A 是ｎ×ｎ的正交矩阵

-1-1-1-1

∴A A =AA=E 故（A ）=A

-1-1-1-1-1-1-1

∴A （A ）=（A ）A =E 故A 也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

-1

设A 是非奇异的对称阵，证A 也是非奇异的对称阵。

-1

A 非奇异 ∴A 可逆且A 非奇异 T -1T T -1-1

又A =A ∴（A ）=（A ）=A

-1

故A 也是非奇异的对称阵

-1

设A 是单位上（下）三角阵。证A 也是单位上（下）三角阵。

-1

证明：A 是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A 存在，记为（b ij ）n×n

由A A =E，则

-1

∑a b

ij j =1

n

jk

=δik （其中a ij =0 j＞i 时，a ii =1）

故b nn =1, bni =0 (n≠j)

类似可得，b ii =1 (j=1„n) bjk =0 (k＞j)

-1

即A 是单位上三角阵

n×n

综上所述可得。R 中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。

2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。

⎡1⎢0 A=

⎢⎢⎣0

-2

10111-40-4105

⎤⎥⎥ ⎥⎦

解：A=

⎡1⎢0⎢⎢⎣0-210

001

-210111-40-4105

⎤⎥⎥⎥⎦010

～

⎡1⎢0⎢⎢⎣0001

-21084-4

101

-41⎤4-5⎥⎥-45⎥⎦

～

⎡1

⎢0⎢⎢⎣00-4⎤⎡1

⎢4-5⎥～0⎥⎢

-45⎥⎦⎢⎣0-14⎤

-5⎥⎥ 5⎥⎦

⎡-8⎤⎡14⎤

⎢-4⎥⎢5⎥⎢⎥⎢⎥

故齐次线行方程组Ax=0的基础解系为η1=⎢4⎥，η2=⎢-5⎥

⎢⎥⎢⎥1⎢⎥⎢0⎥⎢⎢⎣0⎥⎦⎣1⎥⎦

3. 求以下矩阵的特征值和特征向量。

2-1⎤⎡2

⎡34⎤⎢⎥ A 1=⎢， A-112-1⎥⎢⎥⎣52⎦⎢2⎥⎣-12⎦

⎡34⎤⎡λ-3-4⎤2

λ 解：A 1=⎢⎥，|I- A1|=⎢-5λ-2⎥=λ-5λ-14=0

52⎣⎦⎣⎦

∴λ1=7，λ2=-2

解（λ1I- A）x=0 得P1= -1⎪⎪

⎝⎭ 解（λ2I- A）x=0 得P2= 5⎪⎪

⎝⎭

⎛1⎫

⎛-4⎫

⎡1211⎤

4、已知矩阵A =⎢24-30⎥，求A 的行空间R (A T ) 及零空间N (A ) 的基。

⎢⎥⎢⎣1215⎥⎦⎡12⎢24T

解： A =⎢

⎢1-3⎢

⎣10

1⎤⎡12

⎢002⎥⎥⇒⎢

1⎥⎢0-5⎥⎢

5⎦⎣0-2

1⎤⎡1

⎢00⎥⎥⇒⎢0⎥⎢0⎥⎢4⎦⎣0

21001⎤0⎥⎥ 1⎥⎥0⎦

∴r (A T ) =3

∴R (A T ) 的基为α1=[1211], α2=[24-30]和

T T

α3=[1215]

T

T

由Ax =0可解得x =[-2100]∴N (A ) 的基为[-2100]。

T

⎡321⎤

5、已知矩阵A =⎢230⎥，试计算A 的谱半径ρ(A ) 。

⎢⎥⎢⎣103⎥⎦

λ-3

解：f A (λ) =det(λI -A ) =-2

-2-1

0=(λ-3)(λ2-6λ+4) =0

λ-

3

λ-3

-1

λmax =3ρ(A ) =3

⎝00⎭

⎝00⎭

6、试证明E 11, E 22, E 12+E 21, E 12-E 21是R 2⨯2中的一组基。，其中E 11=⎛10⎫, E 12=⎛01⎫

⎪ ⎪

⎛00⎫⎛00⎫。

, =E 21= E ⎪22 ⎪

⎝10⎭⎝01⎭

⎛10⎫⎛01⎫⎛00⎫⎛00⎫=, =, =, =E 解：E 11 ⎪E 12 ⎪ ⎪E 22 ⎪21

00001001⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛01⎫⎛01⎫+=，-=E 12E 21 ⎪E 12E 21 ⎪

⎝10⎭⎝-10⎭

⎛k 1k 3+k 4⎫⎛00⎫

）+k （）= 令k 1E 11+k 2E 22+k （3E 12+E 214E 12-E 21⎪= ⎪

-k k k 4⎝34⎭⎝00⎭⎛00⎫

因此E 11+k 2E 22+k （+）+（-）=O =E 21k 4E 12E 213E 12 ⎪

⎝00⎭

⇔ k 1=k 2=k 3=k 3=0对于任意二阶实矩阵

⎛a 11a 12⎫

A = ⎪∈V ,

⎝a 21a 22⎭a +a 21a -a

有A =a 11E 11+12E 12+E 21）+1221E 12-E 21）+a 22E 22

22

∴E 11, E 22, E 12+E 21, E 12-E 21是R 2⨯2中的一组基。

7、在R 中求向量x=（1，2，1，1）在基S=（α1，α2，α3，α4）下的坐标，其中α1=

T T T

（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1），α3=（1，-1，1，-1），α4=（1，-1，

T

-1，1）。

4

T

⎛1 1-4-1

解：由x=sy得 y=sx=

1 1⎝

⎛5⎫ ⎪

-14111⎫⎛1⎫ 1⎪⎪ ⎪ ⎪

1-1-1⎪ 2⎪ 4⎪

=

-11-1⎪ 1⎪ -1⎪

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪4-1-11⎭⎝1⎭ ⎪

1 -⎪⎪⎝4⎭

8、在P 2(t ) 中向量P 2(t ) =1-t +2t 2，取基S =t +1, t +2, t 2}，求P 2(t ) 在基下的坐标。

{

解：P 2(t ) =1-t +2t 2, 基S =t +1, t +2, t 2} 令P 2(t ) =k 1(t +1) +k 2(t +2) +k 3t 2

{

则有k 3=2，k 1+k 2=-1，k 1+2k 2=1解之得k 1=-3，k 2=2，k 3=2。

T

∴P 2(t ) 在基S =t +1, t +2, t 2}下的坐标为（-3，2，2）.

{

9、已知R 中两组基

3

⎧⎡-1⎤⎡1⎤⎡0⎤⎫⎧⎡1⎤⎡0⎤⎡1⎤⎫

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪

S1={α1，α2，α3}=⎨1, 0, 1⎬，S 2={β1 ，β2 ，β3 }=⎨0, 0, 1⎬

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢1⎥⎢-1⎥⎢1⎥⎪⎪⎢1⎥⎢1⎥⎢1⎥⎪⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭

① 求从S 1 到S 2的过度矩阵； T 3

② 设已知u=（2，1，2）∈ R求u 在S 1 下的坐标和u 在S 2下的坐标。

⎛-110⎫⎛101⎫⎛-2-1-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪-1

解：① A= S1S 2= 101⎪ 001⎪= -1-10⎪

111⎪ 111⎪ 212⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

② 对u=（2，1，2）

T

-1

⎛-2⎫

⎪-1

在S 1 下，由u=S1x 可求出x= S1u= -1⎪

3⎪⎝⎭⎛0⎫ ⎪-1

在S 2下，由u=S2x 可求出x= S2u= 1⎪

1⎪⎝⎭

⎡11-3-1⎤⎢⎥T

10. 已知A=3-1-34，求dim(R(A)), dim(R(A)), dim(N(A)).

⎢⎥⎢⎣15-9-8⎥⎦

⎡11-3-1⎤⎢⎥解：A=3-1-34 ⎢⎥⎢⎣15-9-8⎥⎦

dim(R(A))=dim(R(A))=r(A)=2 dim(N(A))=n-r=4-2=2 11、已知A=span{1,e,e },D=

x

-x

x

-x T

d

是X 上的线性变换，求 dx

① D关于基S 1={1,2e,3e }的矩阵A ；

x -x x -x

② D关于基S 2={1,（e +e）/2，（e -e ）/2}的矩阵B 。

（1）（2）（3）

解：①由Dx=S1A, 设A=[X，X ，X ] D（1）=0，0= S1 X

x

x

x

（1）

=0·1+0·2 e+0·3e, X=0·1+

x -x （1）

=(0,0,0)

T

D （e ）= e ,e= S1 X

（2）

11x -x （2）T

·2 e+0·3e, X=(0, ,0) 22

x

D（e ）= -e , -e = S1 X

-x -x -x （3）

=0·1+0·2 e+ -⎪·3e , X

⎛1⎫

⎝3⎭

-x （2）

=(0, 0,

1T

) 3

⎛

00

1

∴A = 0

2

00⎝⎫⎪0⎪0⎪ ⎪1⎪-⎪3⎭

⎛000⎫ ⎪x -x x -x

②类似的可得D 关于基S 2={1,（e +e）/2，（e -e ）/2}的矩阵B 为 01-1⎪

011⎪⎝⎭

t

12、已知线性变换T ：P 2（t ）→P3（t ）, 定义T 为T （P （t ））=P (t )

⎰

dt 求线性变换T 在

基偶（S 1={1,t,t}, S2={1,t，t /2,t/3}）下的矩阵。

解：设所求矩阵为A ，则有T S1 =S2A

223

t 2t 3

T（1）=⎰1dt =t =0⋅1+1⋅t +0⋅+0⋅

230t 2t 2t 3

T（t ）=⎰tdt ==0⋅1+0⋅t +1⋅+0⋅

2230t 3t 2t 3

T（t ）=⎰t dt ==0⋅1+0⋅t +1⋅+1⋅

3230

2

t

t

t

2

⎛0 1

∴A =

0 0⎝

m×n

0010

0⎫⎪0⎪ ⎪0⎪1⎪⎭

n

m

n

m

13、设A ∈ R, 定义从R 到 R的变换T 为T ：x ∈R →y=Ax x∈R

试证明T 是线性变换。 证明：∀x ∈R n , y ∈R n

T (x +y ) =A (x +y ) =Ax +Ay =Tx +Ty ∈R m ∀k ∈R ，有T (kx ) =A ⋅kx =kAx =kT (x ) ∈R m 故，由定义知，T 是线性变换。

⎧⎡1⎤⎡0⎤⎡1⎤⎫⎧⎡1⎤⎡1⎤⎫⎪3⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪R 2中取基S =⎪β1=⎢⎥, β2=⎢⎥⎬。

14、 已知R 中取基S 1=⎨α1=1, α2=1, α3=0⎬，2⎨⎣0⎦⎣1⎦⎭ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎩⎣0⎥⎦⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦⎭⎩

线性变换T ：R →R定义为∀x=（x 1 ，x 2 ，x 3） ∈ R，Tx=（x 2 +x3 ，x 1 +x3）∈ R.

求① T在（S 1 ，S 2）下的矩阵A ；

T 3

② 设u=（2，-3，2）∈ R，u 在S 1 下的坐标和Tu 在S 2下的坐标。 解：① 由题知，T （S 1）= S2A T (α1) =(11)

T

3

2

T

3

T

2

T (α2) =(21)

T

T (α3) =(12)

T

⎛11⎫⎛121⎫⎛01-1⎫-1

∴A =s 2T (s 1) = 01⎪⎪ 112⎪⎪= 112⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

② 对u=（2，-3，2）在S 1 下

-1

由u =s 1x 可求出x =s 1u =(-1-23)

T

T

Tu =(-23)在S 2下

-1

由Tu =s 2y 可求出y =s 2Tu =(-53)

T

T

-1

15、求由向量α1=（1，2，1）与α2=（1，-1，2）张成的R 3的子空间X=span{α1, α2}

T

T

的正交补X

⊥

（即所有与X 垂直的向量的全体）。

解：令A =(α1

⎛0⎫ ⎪

α2)解Ax =o 得x = 0⎪

1⎪⎝⎭

⎧0⎫⎪⎪⊥

故X =span {x }=span ⎨0⎬

⎪1⎪⎩⎭

16、 试证明若{α1，„，则α1，„，α2，αt }是内积空间H 中不含零向量的正交向量组，α2，

αt 必线性无关。 证明：假设存在k 1, k 2, , k t 使k 1α1+k 2α2+ +k t αt =0 两边与αi 作内积得 k i (αi 又(αi

αi )=0, (i =1, 2, , t )

αi )≠0（因αi ≠0) 故k i =0

故α1，α2，„，αt 必线性无关。

T

17、计算下列向量的‖x‖∞ ，‖x‖1和‖x‖2 。① x=（3，-4，0，3/2）

T k T ② x=（2，1，-3，4）③ x=（sink,cosk,2） k为正整数。 解：①‖x‖∞=max x i =4

1≤i ≤n n

x

1

=∑x i =8. 5

i =1

x

2

⎛⎫

= ∑x i 2⎪=5. 2202 ⎝i =1⎭

1≤i ≤n

n

12

②‖x‖∞=max x i =4

x

1

=∑x i =10

i =1

n

x

2

⎛⎫

= ∑x i 2⎪=5. 4772 ⎝i =1⎭

k

1≤i ≤n

n

12

③‖x‖∞=max x i =2 x

1

=∑x i =sin k +cos k +2k

i =1

n

x

2

⎛⎫

= ∑x i 2⎪=+4k ⎝i =1⎭

n

12

18、在C [a , b ]中，试证明

（1）||f ||∞=max |f (x ) |为f (x ) 的范数。

x ∈[a , b ]b

2

（2）||f ||2=(⎰f (t ) dt ) 为f (x ) 的范数。

a

1

2

证明：1、（1）显然||f ||∞≥0，||f ||∞=0⇔f (x ) =0

（2）||kf ||∞=max |kf (x ) |=|k |max |f (x ) |=|k |||f ||∞

x ∈[a , b ]

x ∈[a , b ]

（3）||f +g ||∞=max |f (x ) +g (x ) |

x ∈[a , b ]

≤max |f (x ) |+max |g (x ) |=||f ||∞+||g ||∞

x ∈[a , b ]

x ∈[a , b ]

∴||f ||∞=max |f (x ) |为f (x ) 的范数

x ∈[a , b ]

2、 (1)正定性f 2(t ) ≥0，则||f ||2≥0

b

2

且(⎰f (t ) dt ) =0⇒f (t ) =0

a

b

2

2

1

2

(2)齐次性∀k ∈F ,||kf (t ) ||2=(⎰k f (t ) dt ) =|k |||f ||2

a

12

(3)三角不等式

b

b

b

b

||f +g ||22=⎰(f (t ) +g (t )) 2dt =⎰f 2(t ) dt +2⎰f (t ) g (t ) dt +⎰g 2(t ) dt

a

a

a

a

≤||f ||22+2||f ||2||g ||2+||g ||22=(||f ||2+||g ||2) 2

∴||f +g ||2≤||f ||2+||g ||2

∴||⋅||是C [a , b ]上的一个范数。

19、在内积空间R n 中给出Cauchy -Schawz 不等式，其中内积

(x , y ) :x Ay =

T

i , j =1

∑x C

i

n

ij

x j , A 为对称正定矩阵。

n

解：|(x , y ) |=|x Ay |=|∑x i C ij x j |

T

i , j =1

≤(∑x i C ij x j ) (∑y i C ij y j ) =||x ||||y ||

i , j =1

i , j =1

n

1

2

n

12

20、已知向量x =(14-30) T , y =(3612) T , 求x , y 之间的距离ρ(x , y ).

解：ρ(x , y ) =||x -y ||1=||(2242) T ||1=10

21、试计算（1）||sin mx ||2，(2)||cos mx ||2，(3)||sin mx -cos nx ||2，其中m, n 是正整

数x ∈[-π, π]。

π

解：（1）||sin mx ||2=(⎰|sin mx |) =(⎰(sinmx ) ) =-π

-π

1

22

π

122

π

(2)||cos mx ||2=(⎰|cos mx |) =(⎰(cosmx ) ) =-π

-π

122

π

122

π

(3)||sin mx -cos nx ||2=(⎰|sin mx -cos nx |)

-π

122

π

=(⎰(sinmx -cos nx ) ) =-π

122

0⎤⎡-21

⎢⎥22、已知A =1-21，试计算||A ||1，||A ||∞，||A ||F ，||A ||2。 ⎢⎥⎢⎣01-2⎥⎦

解：（1）||A ||1=max ∑|a ij |=5

1≤j ≤3

i =13

||A ||∞=max ∑|a ij |=5

1≤i ≤3

j =13

3

||A ||F =(∑

i =1

3

∑

|a

j =1

ij

|) =4

1

22

||A ||2==3

2

23、在C [0,1]上，由1, x , x 构造带权ln

{}

1

的首1正交多项式ϕ0(x ) ， ϕ1(x ) 和ϕ2(x ) 。x

解：由公式得

ϕ0(x ) =1

ϕ1(x ) =(x -α1) ϕ0(x )

(x ϕ0(x ), ϕ0(x )) 11α1==, ∴ϕ1(x ) =x -

(ϕ0(x ), ϕ0(x )) 44ϕ2(x ) =(x -α2) ϕ1(x ) -β1ϕ0(x )

(x ϕ1(x ), ϕ1(x )) 13α2==

(ϕ1(x ), ϕ1(x )) 28(ϕ(x ), ϕ1(x )) 7β1=1=

(ϕ0(x ), ϕ0(x )) 144ϕ2(x ) =(x -

1317517)(x -) -=x 2-x +2841447252

24、给出点集{0,0.5,0.8,1.2,1.5}及权w i =1(i =0,1,2,3,4) ，试构造正交函数组ϕ0(x ) ，

ϕ1(x ) 和ϕ2(x ) 。

解:由公式得

ϕ0(x ) =1

ϕ1(x ) =(x -α1) ϕ0(x )

(x ϕ0(x ), ϕ0(x ))

α1==

(ϕ0(x ), ϕ0(x ))

∑x

i =04i =0

4

i

=

∑1

44, ∴ϕ1(x ) =x - 55

ϕ2(x ) =(x -α2) ϕ1(x ) -β1ϕ0(x )

42

x (x -) i i

(x ϕ1(x ), ϕ1(x )) ∑815

α2==i =04=

42(ϕ1(x ), ϕ1(x )) 115(x i -) ∑5i =0

4

β1=

(ϕ1(x ), ϕ1(x )) 69

=

(ϕ0(x ), ϕ0(x )) 250

[1**********]3)(x -) -=x 2-x +[1**********]750

ϕ2(x ) =(x -

25、将线性代数中的消元阵P (i , j (k )) （k ∈R ) 用初等变换阵表示。

解：P (i , j (k )) =E (e i , e j , -k ) =I -(-k ) e i e j T

26、试求矩阵A 的三角分解A=LU。

⎡223⎤⎢⎥ A=477 ⎢⎥⎢⎣-245⎥⎦

对不选列主元和选列主元两种情况分别计算。

7⎤⎡223⎤⎡0. 5-0. 21⎤⎡47

⎢⎥⎢1⎥, U =⎢07. 58. 5⎥

00解：A=477 L =⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎢⎢10⎥⎣-245⎥⎦⎣-0. 5⎦⎣001. 2⎥⎦

7⎤⎡1⎤⎡47⎡010⎤

⎢⎥, U =⎢07. 58. 5⎥, P =⎢001⎥

1 对选列主元的L =-0. 5⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎢⎢⎣0. 5-0. 21⎥⎦⎣001. 2⎥⎦⎣100⎥⎦

27、已知向量x =(2,4,2,1)T ，试构造Gauss 变换阵将向量x 变为y =Lx =(2,4,0,0)T 。

⎛1⎫

⎪

1 ⎪

x x 11 ⎪。 T 1解：对x =(2421) ，m 32=3=, m 42=4=∴L =-1 ⎪x 22x 242 ⎪1

-1⎪

4⎝⎭

28、已知向量x=（1，2，2），y =（0，3，4）。试构造Huuseholder 阵H 使H x为y

的倍数，即H x=ky。给出变换阵H 和系数k 。

T

T

3

解：由||x ||2=||ky ||2得k =±

5

⎛⎫ 1⎪

⎛1⎫⎛0⎫ ⎪

3 ⎪3 ⎪ 1⎪ k =时，U =x -ky = 2⎪- 3⎪=

⎪5 2⎪5 4⎪ 5⎪

⎝⎭⎝⎭2⎪ - ⎪

⎝5⎭

⎛ 1

UU T 5 1

H =I -2=I -2⨯ 2

||U ||65

-2 5⎝

151252-25

2⎫5⎪⎪2⎪-⎪ 25⎪4⎪25⎪⎭-

⎛⎫ 1⎪

⎛1⎫⎛0⎫ ⎪

319 ⎪3 ⎪

k =-时，U =x -ky = 2⎪+ 3⎪= ⎪

⎪5 2⎪5 4⎪ 5⎪

⎝⎭⎝⎭22⎪ ⎪

⎝5⎭

1922⎫⎛ 155⎪

⎛410-95-110⎫ ⎪T

UU 5 19361418⎪1 ⎪

H =I -2=I -2⨯=-9574-418⎪||U ||2174 52525⎪435 ⎪-110-418-49⎪⎝⎭

22418484⎪ 52525⎪⎝⎭

⎡134⎤

⎢⎥29、对矩阵A=312，用Huuseholder 变换将A 相似约化为三对角阵，即HAH 为三对⎢⎥⎢⎣421⎥⎦

角阵。

解：将向量x =(1,3,4)T 变换为x =(1,-5,0) T ，则

⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪

U =x -y = 3⎪- -5⎪= 8⎪

4⎪ 0⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

构造H 阵为

⎛⎫ 100⎪

000⎛⎫ ⎪

UU T 1 34⎪⎪

H =I -2=I - 06432⎪=0-- 2

||U ||40 55⎪⎪⎪⎝03216⎭ 43 ⎪ 0-⎪

55⎭⎝

-50⎫⎛1

⎪

HAH =-52. 920. 56 ⎪

00. 56-0. 92⎪⎝⎭

⎡1-1⎤⎢⎥

30. 已知矩阵A=1-1，使用①Schmidt 正交化法和②Huuseholder方法对A 正交分解

⎢⎥⎢⎣2-1⎥⎦

A=QR。

⎡1-1⎤⎢⎥解：① A=1-1 Schmidt正交化 ⎢⎥⎢⎣2-1⎥⎦

⎛1⎫⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪u 11 ⎪1

=u 1 u 1= 1⎪, u 2= -1⎪，ε1= 1⎪=u ⎪61 2⎪ -1⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭

V 2=u 2+k ε1, k =-(u 2ε1)=

46

ε2=

⎛1⎫ -⎪

3⎪

41

∴V 2=u 2+ε1= -⎪

3⎪6

1⎪ ⎪⎝3⎭

V 22

⎛1⎫ -⎪

3⎪

-⎪= -⎪=V 2

3⎪

1⎪ ⎪⎝3⎭

∴(u 1u 2)=(ε1

⎛ ε2) 0⎝

⎛ 4⎫ -⎪6⎪= 1⎪ ⎪ ⎭

⎝

161626

1⎫⎪3⎪⎛ 61⎪ -⎪3⎪ 01⎪ ⎝⎪3⎭-

-

4⎫⎪

⎪=QR 1⎪⎪3⎭

② 用Householder 变换法

⎛-6⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪

先将 1⎪变为 0⎪, 则

2⎪ 0⎪⎪⎝⎭⎝⎭

⎛1⎫⎛⎛1+ ⎪

U =x -y = 1⎪- 0⎪= 1⎪

2⎪ 0⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

构造H 阵为

⎛7+1+UU T

H =I -2=I -1+12

||U ||2(1+2⎝⎛-(1+-(1+-2(1+⎫

⎪

=-(1+5+-2⎪⎪

-2(1+-22+⎪⎝⎭

2(1+⎫

⎪2⎪

⎪⎪4⎭

⎛-(1+-(1+-2(1+⎫⎛1-1⎫

⎪ ⎪

HA =-(1+5+-2⎪ 1-1⎪

⎪

-2(1+⎪⎝2-1⎪-22+⎭⎝⎭⎛

⎫⎪

= ⎪

0⎪ =R

⎝0⎪⎪

⎭⎛-(1+A =QR =HR =

-(1+⎝-2(1+-(1+5+-2⎛

-2(1+⎫

-2⎪⎪ 2+

⎪ 0

⎪

⎭

⎝

0⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎭

∴