求圆的方程
求圆的(标准)方程常见类型
一、已知圆心和半径─公式法
例1圆心C(-3,4),半径为【参考答案(x3)2(y4)25】
变式1:已知圆心和圆上一点
例2已知圆心C(8,-3),且经过点M(5,1) 解:r(85)2(31)2255
所求圆的方程是(x8)2(y3)225
变式2:已知圆的一条直径的两个端点
例3已知A(-4,-5)、B(6,-1),求以线段AB为直径的圆的方程【参考
答案(x-1)2+(y+3)2=29】
总结归纳:圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2(r0)
二、已知圆上两点和半径
例4在轴上的截距为-1和9,且半径为13
解法1:由题意得,所求圆经过两个点A(-1,0)和B(9,0)
则弦AB的中垂线方程为x4,所以设圆心坐标为C(4,b) AC(4(1))2b213解得b12
所求方程为(x-4)2+(y±12)2=169
解法2:(待定系数法)设圆的方程为(xa)2(yb)2169
因为圆经过两个点A(-1,0)和B(9,0)
(1a)2(0b)2169 22(9a)(0b)169
a4a4 解得或 b12b12
所求方程为(x-4)2+(y±12)2=169
三、已知圆上两点且圆心在一条直线上
例5圆过点A(1,-2),B(-1,4), 圆心在直线2x-y-4=0上,求圆的方
程。
1 解法1:AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=3.
即
x-3y+3=0
x-3y+3=0,x=3,由 得 2x-y-4=0.y=2.
即圆心坐标是C(3,2).
r=|AC|=(3-1)+(2+2)=25.
∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
解法2:∵圆心在直线2x-y-4=0上,故可设圆心坐标为C(x0,2x0-4),
∵A,B在圆上,∴|CA|=|CB|
(x01)2(2x04(2))2=(x0(1))2(2x044)2
解得x03所以C(3,2)r20
∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
解法3:待定系数法
设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2.
222则(-1-a)+(4-b)=r,
2a-b-4=0.(1-a)2+(-2-b)2=r2, a=3,⇒b=2,r2=20.
∴圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.
归纳总结:当圆心在一条直线上时,可以用一个未知数设出圆心坐标,从而
减少未知数个数,简化计算。
四、已知三点
例6设P(0,0)、Q(5,0)、R(0,-12),求△PQR的内切圆的方程和外接圆方程
解:由题意知△PQR是直角三角形.
5+12-13又|QR|=5+12=13,内切圆的半径是r1==2,其圆心为C1(2,2
-2).
∴内切圆方程是(x-2)2+(y+2)2=4,
135外接圆半径r2=2C22,-6.
16952∴外接圆的方程为x-2+(y+6)2=4
已知三个点可采用待定系数法和与类型三相同的解法。