二阶变系数线性齐次方程的多种解法
第24卷第5期井冈山师范学院学报(自然科学)Vd24No-52003年6月JOIl工nd0fJi。嘤蚰挚h叩N呲Ilalcoll。舻(NaIuIHlsciellc刨Jun.2003
几种特殊类型二阶变系数线性
齐次方程的多种解法
习军明,徐玉名
(井冈山师范学院数学与应用数学系.江西吉安343009)
摘要:就几种特殊类型的二骱变系数线性齐欢方程讨论它的通解求法.
关键词:二阶;线性齐欢;解法
中围分类号:0175.1文献标识码:A文章编号:1啡1975{2003J05删8∞4
二阶常系数线性方程,可以利用一般的特征法进行求解;而对于变系数方程,求它的通解没有通用
的方法.本文中,我们求助于线性变换化常系数法、幂级数法、降阶法、常数变易法,深^研究二阶变系数线性齐次方程
,+p.@)y,+p:扛)问(1)
的求解同题,并且从中获得启发,使求解徽分方程的某些常用方法的应用范围得到进一步扩展,因而相应的高阶变系数线性微分方程有了求解的比较有效的方法.
方法一:降阶法
由线性代数方程理论与微分方程理论相类似的特点,对于二阶线性齐次方程,若能找到它的一个
解,就可选择适当变换使方程化为一阶线性齐次方程.一般地,设竹=扎@)为方程的一个非零解,作线性齐次变换y=y。扛扛及令;’≈,则可将方程(1)变为以u为未知函数的一阶方程ym’+(2yj+P1y・)u旬
我们可求得一与批线性无关的解蚴(x)=y-l旦了广山..一h‘‘’‘
『.一f^“)山1
此时,方程的通解就为y=c01缸)+c批o)动o’【c。+c:J旦ji广出J‘
从而可以看出,应用降阶法求解方程(1)的关键是先要找到方程的一个非零解.寻找的方法很多,比
如观察法等等.
例1:求方程矿—叫’十尸O的通解.
解:由观察法可知,方程有一非零特解y1(*)≈,令盱女代人方程得施~(缸12kt0.再令=锄,得
到一阶线性齐次方程施‘,+(2《)“=o从而得“=c。窘,:=c,j鲁出+c,
由于是要求一个解,故只须取cl-1,c产o,便可得原方程的另一解兑一j窘也.显然y。o),弛扛)线性
无关,故原方程的通解为y≈岱¨毋』;山(其中c一,c2为任意常数)
收稿日期:2002—09—10;修回日期:2003加l一16.作者简介:习军明(197“).男,江西峡江人,助教
万 方数据
竺!塑兰兰竺:竺三墨:兰!竺竺苎兰三竺竺苎竺兰竺变查查呈竺兰兰竺兰—————————!!一一般对于高阶的齐次线性方程』}+口lo)!£}+…+q扛)Fn若能求出一非零解y。ino),则可以出d5
通过变换yiⅣ将它降成关于;的低一阶方程.
方法=:线性齐次变换化常系散方程法
在这里,我们是要寻求某个线性变换将方程化为一个不含一阶导数项的线性齐次方程.按照这一思路,令倒0k代入方程(1),得“0扫4+[2n如。)印t0皿0)k铀”0)印t0沁,(*)协0)Ⅱ0)_=o,于是有2。t)印。(;)。(。):o,这样解得。:f士㈨“因而在变换尸e-}J’-““z下,方程(1)就变为线性齐次方程
冉加:o)一扣-2(*)一如j(z)p=o
易求出其通解.再代回原变量y,便可求出方程(1)的通解.(2)特别,当Jo)-p:o)一—知F扛)一如。1“)为常数时,方程(2)就是一个常系数的线性齐次方程,且容
例2:求方程y~≯’(1一寺)y=0的通解・
解:这里p。(*)=}加(*)=l一古,由于,(x)=l一古一}(})2_}(一若)=1,故可令产e-}J≯:2弓手,就可将原方程化为常系数方程,“:o,求得其通解为:=c,c08。“:si“。,代回原变量7’得原方程的通解为y=c。旦掌:兰+c:睾.VzV*
利用此方法求解时,关键是先判断,扛)叩zb)一扣.2扛)一扣t’b)是否为常数.
对于典型的欧拉方程:矿誓+n牟誓+删,可采用自变量变换x=e‘将方程化为常系数线性齐次方程.
方法三:常数变易法
许多微分方程教材中都介绍过用常数变易法求解非齐次方程.其实,齐次方程也可用常数变易法求解.现简单介绍如下.
如果n=‘P0)为方程的一个解,由齐次方程解的结构性质知产c‘P0)(c为任意常数)也为方程的勰.要求方程的通解,必须再求一个与y。0)线性无关的解,为求这解,将y=c‘P0)中的任意常数c变易为自变量x的函数c扛),于是假设,≈0)‘p@)是方程的解,代入方程得
‘P(*)c”(Ⅳ)+[2‘P7(g)+p。(*)‘P(*)p’(z)+№”(*)却,(z)‘P’(*)印:(w)‘P(*)]=0
由于yF‘P0)是方程的解,故矿0)+p,“)中’缸)+P:扛)(P■)=0.
于是得到‘P0)c”扛)+【2‘P’扛)+P10)‘p0)】c’0):0
‘P@)u,+[2(P’0)+p-0)甲0)】F0一f口}々.m船之得u=e。’令㈣70)得到
由。=c,o)得。b):fe_扣}9肚出,所以得到方程的另~个解为拎砷扛)f。‘J。}9肚如
,一f口}々肚
e’’可以验证y。,托线性无关,因而方程的通解为产‘P(x)【c,+c2也】.
从上可以看出,方法三与方法一有相同的地方——要求已知一个特解.
例3:求方程矿—叫’FO的通解.鳃:显然方程有一特解y,≈,令方程有解yf=cGk代人方程得娩”(x)+(2*—矿)c’(z)=0
万方数据
井冈山师范学院学报(自然科学)第24卷第5期
再令“=c’。)得曲‘斗(h—矿)u=o.解之得u=e…“.再由“=c‘。)得c。)=e“1“’如=』亨如,所以牌f暑出方程的通解为膨[cm:f笋d司.
所谓幂级数解法,就是当方程满足某种条件时,可假设方程存在形如F艺c∥的解,其中c。(^=o,
1,2,…)为待定系数,利用所学《数学分析》知识有如下定理:
定理1:若方程(1)中的系数p,0),p:0)都能展开成z的幂级数,且以M_<月为收敛区问,则方程有
形如产∑c∥的解,且以M<R为其收敛区间.
定理2:若方程(1)中的系数p-0),p:0)满足印t0),而:0)都能展开成z的幂级数,且以kI.<五为收敛区问,则方程有形如F矿∑c庐∑。,”的解.
例4:用级数解法求方程,+彬勺卸的通解.
解:这里p一0)≈,p:(*)=1,显然它们都能展开成幂级数.
故可设有形式解尸∑c∥,代人方程得∑c止(女一1)—-2+∑f。h。t+∑c矿:o
将三个求和号统一整理得∑【c№(≈+2)+cd(¨1)矿+(2cf‰)=0
由此,所有系数都为零:f蓦篇MmlⅫ㈦)(3)
下捕饿钾卸巾叱抓3埔ic厅一南姐碣趴善,=翼舻一南,…下蝴~巾叱邮,砟品…舭善:毒舻一击,…将所有系数代入级数中,得方程的解为y,(z)≈一手+孚一孚+…+(一1)斗“了丐可兰:÷丽+.・
类似地,令c庐1,c。:o可得方程的与y-。)线性无关的解托。)=1一手+孚一譬+.‘+(一1)4亲≥+…
这样,方程的通解就是产c∥。缸)+c加(x).
例5:求p阶贝塞尔方程y~扣’(1一譬)产o(p≥0)的幂级数解.(4’解:这里p,o)=}.p:o)=(1一譬)满足定理2的条件,故设方程有形式解
∥∑。庐∑c矿(5)
其中的幂级数对一切的z收敛,以(5)代人(4),并以f乘两边,得到
,∑(。+r)(m一1)c矿‰∑(n+r)c∥+(乒p:)∑c产∑【(n+,)2-P礓∥性o"O^=0m^=0
要此式对一切z成立,必须每一项的系数都为零,即;
矿:co(产叩2)=o(6.1)
矿1:cI【(r+1)o们=0(6.2)矿2:c2【(,+2)o冒'+c庐o(6.3)
万 方数据
第5期习军明,德玉名;几种特赚类型二阶娈系数线性齐次方程的多种解法
扩:c。【(r+n)~1+c“=0(6.4)
在第一个方程中不妨设c。≠O,否则可增大r的值,而以(5)中第一个不为零的项的系数为cm于是要
(6.1)成立,必须
r乙p;=o或r=却
以(7)代入(6)的其余各方程时,注意
(8)(却忉)o_pkn(n±2p)
可知在(6.%),%=l,2,3…中,c.的系数有可能为零,这时就不可能由c。。来确定c。.可分三种情
况讨论,这里只讨论一种,其余类似.
当2p不是整数.这时若取r印或一一p,则(8)式对任何自然数n永不为零.故由(6)的其余各方程可得(7)
。庐o,c2一一ji茬:奉了一,。0,。f一百i;琴了一s20,…
一般,有ckl—ocf瓦而雨锩警丽(一m,…)
‰(n:o,l,2,…)为使cm的分母能写成加马(omnm。)函数,取cF面矛走i可,则
方程(4)的通解为Fc,五扛)+c’L0).代入口,式,得到两个线性独立解:‘。,:砉下毒糕^“,:砉下毒端曲C萨~nt卜丽杀n却J、一1,1u’T,●~,n卸1、“11,1、—y”¨1,
以上讨论了几种求二阶线性齐次方程,印-o)y却:0)脚通解的方法,由于高阶线性齐次方程与
二阶方程只是阶数不同,它们有许多相似的地方.因而,对于某些商阶线性齐次方程,同样可以用以上方法求解.
参考文献:
[1]沥光宋.常微分方程专题研究[M].武汉:华中理工大学出版社,1994.
[2]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版杜,1980
[3]王高雄.等.常微分方程CM].北京:高等教育出版社,1999.
[4】都长清,等.常微分方程[M].北京:北京师范学院出_暇社,1993。
Severalsolutionsf.orsecond—orderuIIearhOmogeneous衄.erentiaJequation吡h
vadablecoe伍cients
XUYu—ming(D印帅t
coeffIcknts
KeyXIJun—ming0fMathem“c8&Appk8曲nMmIemg沁sarticlen‘I998咿h蛆N0maIc0Ⅱege,Ji血343009.chiIla)discussesseveralsolutionsforSecond_oIderLinearHomogeneou8Di娲mnt试EquadonwichVa—ableC∞mcien括usifIgmethodofreducdonofofd%powePsedesmethod,me£hodofv撕“onofcons诅ntsandmethod0flineartransfomationintod难毛rentialAbst吼矾:11liseq“8t油试出c明st8ntwo珂岛see。nd—D州鹋删如le—c∞螨cj曲t;“nea研bo脚og即eou8-equad锄;瑚oJu矗蚰
万方数据
几种特殊类型二阶变系数线性齐次方程的多种解法
作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):
被引用次数:习军明, 徐玉名井冈山师范学院,数学与应用数学系,江西,吉安,343009井冈山师范学院学报JOURNAL OF JINGGANGSHAN NORMAL COLLEGE2003,24(5)0次
参考文献(4条)
1. 汤光宋 常微分方程专题研究 1994
2. 四川大学数学系高等数学教研室 高等数学 1980
3. 王高雄 常微分方程 1999
4. 都长清 常微分方程 1993
相似文献(10条)
1.期刊论文 曾炳求. ZENG Bing-qiu 变系数二阶线性齐次微分方程的一种新颖解法 -河南教育学院学报(自然科学版)2004,13(4)
通过一条定理的证明,引入一个辅助函数ω(x),只要找出ω(x)与q(x)的关系,就可以求出变系数二阶线性齐次方程y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解.
2.期刊论文 张学元 二阶线性齐次微分方程的一个可积定理 -上海第二工业大学学报2002,19(1)
对二阶线性齐次微分方程引入预解方程和预解常数的概念,运用双变换--未知函数变换和自变量变换方法得到了一个新的实用的可积充分条件,推广了经典的和近代的可积性结果,扩大了常微分方程封闭求积的范围.
3.期刊论文 邹明辉. 刘会民 二阶变系数线性齐次方程的三个可积充分条件 -鞍山师范学院学报2004,6(4) 利用变量代换和凑项的方法,给出了二阶变系数线性齐次方程的三个可积充分条件,并得出求解方程的通解公式.
4.期刊论文 胡华 几类变系数二阶线性微分方程的解法 -上饶师专学报2000,20(3)
给出了二阶线性微分方程求通解的一般公式,并对几类变系数的二阶线性齐次微分方程化为常系数的微分方程作了详细的讨论.
5.学位论文 王成波 Strichartz估计与非线性波动方程的适定性问题 2007
在本文中,我们致力于系统的研究线性齐次波方程的Strichattz估计及其改善,以及半线性波动方程在具有几乎最优正则性指标s的Sobolev空间H中的局部适定性和小初值整体适定性.另外,当空间维数为2时,我们得到了二阶拟线性波方程的局部适定性在初值球面对称假设下的改善.
首先,对于线性齐次波方程的Strichartz估计,尤其是LL估计,我们进行了总结并给出了一些注记.另外,在初值球面对称或者角变量具有额外的正则性的假设下,我们给出了Strichartz估计的改善.这些结果解决了一些长期悬而未决的问题,其中之一是证明了Klainerman于1995年提出的一个猜想([24]).
其次,基于Strichartz估计,我们对于非线性项带导数的半线性波方程给出了在低正则空间中的局部适定性.对于非线性项仅含导数项的半线性方程,我们得到了小初值整体适定性.反之,对于同类方程和更低的正则性指标,我们得到不适定性结论:说明了前述正面结果中的正则性要求是几乎最优的.
由于Strichartz估计在初值球面对称假设下的改善,对于半线性方程,适定性结论可以得到相应的改善.受此启发,在空间维数为2以及初值球面对称的时候,我们证明了相应的Strichartz估计,于是得到二阶拟线性波方程在更低正则性的空间中的局部存在性.
6.期刊论文 胡爱莲. HU Ai-lian 一类二阶奇异边值问题解的存在性及其解的性质 -华中师范大学学报(自然科学版)2006,40(1)
研究了二阶奇异线性边值问题(ф)"(t)+(n-1)/t(ф)'(t)+λ(t)=0, 0<t<1,(ф)'(0)=0,(ф)(1)=1,利用Frobenius方法得到了该问题的解的存在性,并给出了其解的幂级数表达式和这个解的一些性质(n≥2,λ≠0).
7.期刊论文 李媛媛 二阶线性齐次微分方程的一些可积类型 -科协论坛(下半月)2008,""(10)
本文以极平凡的方法得到二阶线性齐次微分方程的一些可积类型,从中推出了几个可积方程类型.
8.期刊论文 张永明. 张二艳. 王丹. ZHANG Yong-ming. ZHANG Er-yan. WANG Dan 关于二阶常系数线性齐次常微分方程的通解的一个注记 -大学数学2006,22(2)
文献[1]给出了二阶常系数线性齐次常微分方程的通解形式,但未回答除了通解形式的解是否还有其它形式的解,本文指出通解包含了所有的解,并给出一个只需要高等数学知识的证明.
9.期刊论文 周玉平 二阶变系数线性齐次微分方程的可转化条件 -南京广播电视大学学报1999,""(4)
二阶常系数线性微分方程的可解性及解的结构已有详尽讨论.而对于变系数线性微分方程,除了几种特殊类型的方程可积分外,关于其可积类型的讨论仍是一个值得研究的课题.本文通过变量替换的方法,推导出二阶变系数齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0可转化为常系数微分方程或一些已知的可求解类型方程的充分条件.
10.期刊论文 刘雨睛 方程y″+py′+qy=0求解的一个简单方法 -高等数学研究2008,11(3)
用变量替换法完整地求解常系数线性齐次方程y″+py′+qy=0
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_jgssfxyxb200305012.aspx
授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:94ca535b-5739-4e05-9ba0-9dcc01120480
下载时间:2010年8月8日