压杆稳定的概念

§ 压杆稳定的概念

构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c）。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄

壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。

由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。

“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。

受压直杆同样存在类似的平衡性质问题。例如，图15-3a所示下端固定、上端自由的中心受压直杆，当压力小于某一临界值

时，杆件的直线平衡形式

是稳定的。此时，杆件若受到某种微小干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回到原来的直线平衡位置（图15-3c）。但当压力超过临界值

时，撤除干扰

后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形式下保持平衡（图15-3d

），这表

明原有的直线平衡形式是不稳定的。使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用表示。

为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。可见，临界力的确定是非常重要的。

本章主要讨论中心受压直杆的稳定问题。研究确定压杆临界力的方法，压杆的稳定计算和提高压杆承载能力的措施。

§15-2 细长压杆的临界力

根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度

，杆件长度和两端的约束

情况，都会影响压杆的临界力。确定临界力的方法有静力法、能量法等。本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。

1．两端铰支压杆的临界力

两端铰支中心受压的直杆如图15-4a所示。设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图15-4b所示。建立坐标系，任意截面（）处的内力（图15-4c）为 ：

，

在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程

，得到 ：

。

令，得微分方程 ：

。

（a） ， 此方程的通解为 ：

利用杆端的约束条件，数：

（b） 。

，得，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函

利用约束条件，，得 ：

。

这有两种可能：一是，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处

π，

１、２、３„„。由此得出相应于

于微弯平衡形式）不符；二是

临界状态的临界力表达式 ：

。

实际工程中有意义的是最小的临界力值，即（15-1）

时的

值：

此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。因此，相应的

临界力。此式表明，

与抗弯刚度（

也称为欧拉

）成正比，与杆长的平方（

）成反

比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（15-1）中的应为截面最小的形心主轴惯性矩。

将代入式（）得压杆的挠度方程为 ：

。

（c） ， 在

处，有最大挠度

在上述分析中，的值不能确定，其与

的

所示，这是

关系曲线如图15-5中的水平线

由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的；如采用挠曲线的精确微分方程，则得如图15-5中ＡＣ所示。这种

曲线

曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压

时，压杆只有一条平衡路径Ｏ

杆的稳定性及失稳后的特性。可以看出，当

时，其平衡路径出现两个分支（AＢ和A

Ｃ），其中一个分支（AＢ）对应着直线平衡形式，另一个分支（AＣ）对应着弯

曲平衡形式。前者是不稳定的，后者是稳定的。

如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将

达到ＡＣ路径上同一

值的

点，处于弯曲平衡形式，而且该位置的平衡是稳定的。平衡路径出现分支处的

值即为临界力

稳。分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。

对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图15-5中的ＯＦＧＨ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。当压力

，处于路径ＯＦ

，故这种失稳称为分支点失

Ｇ段上的任一点，如施加使其弯曲变形微增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。而下降路径ＧＨ段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能维持平衡而被压溃。压力

称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力

。因

小，

且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近的计算比

较简单，它对非理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。

2．其他约束情况压杆的临界力

用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下：

1）一端固定、一端自由的压

杆（图15-6a）2）两端固定的压杆（图

15-6b）

3）一端固定、一端铰支的压杆（图15-6c）

综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为 ：

（15-2）

式中，响：

称为相当长度。称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影

两端铰支

； 一端固定、一端自由

定、一端铰支

； 两端固定

。

； 一端固

由此可知，杆端的约束愈强，则

值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则值愈大，压杆的临界力愈低。

事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆，如果将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求出它们的临界力。从15-6中挠曲线形状可以看出：长为

的一端固定、另端自由的压杆，与长为

的两端铰支压杆相当；长为

的两端固定

压杆（其挠曲线上有Ａ、Ｂ两个拐点，该处弯矩为零），与长为0.5l的两端铰支压杆相当；长为

的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为杆相当。

需要指出的是，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定问题。另外，上述各种

值都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，值一般在0.5与1之间，通常将

值取接近于1。对于工程中常用的支座情况，长度系数可从有关设计手册或规范中查到。

的两端铰支压

§15-3压杆的临界应力

如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。

压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用

表示。压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：

（15-3） ，

式中称为柔度，为截面的惯

性半径，即 ：

，

（15-4）

式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。

柔度

又称为压杆的长细比。它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。柔度

在稳定计算中是个非常重要的量，根据所处的范围，可以把压杆分为三类： （一）细长杆（

）

当临界应力小于或等于材料的比例极限

时，即 ： ，压杆

发生弹性失稳。若令 ：

（15-5） 。

则时，压杆发生弹性失稳。这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，

各不相同，

的数值亦不相同。例如A3钢，

。

因弹性模量Ｅ和比例极限

，

，用式（15-5）可算得

（二）中长杆（）

这类杆又称中柔度杆。这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：

（15-6）

式中a、b为与材料性能有关的常数。当时，其相应的柔度

为中长杆

柔度的下限，据式（15-6）不难求得：

。

例如Ａ3钢，，，，代入上式算得。

（三）粗短杆（）

这类杆又称为小柔度杆。这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。故 ：

。

上述三类压杆临界应力与

的关系，可画出

曲线如图15-7所示。该图称为压

杆的临界应力图。

需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如抛物线公式

数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。

（

和

也是和材料有关的常

表15-1 常用材料的a、b和

值

§15-4 压杆的稳定计算

工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算。

1．安全系数法

为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为 ：

（15-7）

式中为压杆的工作载荷，是压杆的临界载荷，是稳定安全系数。由于压

杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。并且越大，

值一般比强度安全系数要大些，

值也越大。具体取值可从有关设计手册中查到。在机械、动力、

冶金等工业部门，由于载荷情况复杂，一般都采用安全系数法进行稳定计算。

2．稳定系数法

压杆的稳定条件有时用应力的形式表达为

（15-8）

式中的为压杆的工作载荷，为横截面面积，

为稳定许用应力。

，它总是小于强度许用应力。于是式（15-8）又可表达为 ：

（15-9） ，其中称为稳定系数，它由下式确定：

式中且

为强度计算中的危险应力，由临界应力图（图15-7）可看出，，

，故为小于1的系数，也是柔度

的函数。表9.2所列为几种常用

对应数值。对于柔度为表中两相邻值之间的

，可由直线内

工程材料的

插法求得。由于考虑了杆件的初曲率和载荷偏心的影响，即使对于粗短杆，仍应在许用应力中考虑稳定系数。在土建工程中，一般按稳定系数法进行稳定计算。

还应指出，在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被削弱的情况，如杆上有开孔、切糟等。由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整体变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面几何量。但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核，即 ：

（15-10） ， 式中的

表15-2 压杆的稳定系数

是横截面的净面积。

?5-5 提高压杆承载能力的措施

压杆的稳定性取决于临界载荷的大小。由临界应力图可知，当柔度 减小时，

则临界应力提高，而，所以提高压杆承载能力的措施主要是尽量减小压杆

的长度，选用合理的截面形状，增加支承的刚性以及合理选用材料。现分述如下：

1．减小压杆的长度

减小压杆的长度，可使降低，从而提高了压杆的临界载荷。工程中，为了减小柱子的长度，通常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他构件连接在一起后，对柱子形成支点，限制了柱子的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆，若在柱子中设置一个支点，则长度减小一半，而承载能力可增加到原来的4倍。

2．选择合理的截面形状

压杆的承载能力取决于最小的惯性矩I，当压杆各个方向的约束条件相同时，使截面对两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等，是压杆合理截面的基本原则。因此，薄壁圆管（图

15-8a）、正方形薄壁箱形截面（图15-8b）是理想截面，它们各个方向的惯性矩相同，且惯性矩比同等面积的实心杆大得多。但这种薄壁杆的壁厚不能过薄，否则会出现局部失稳现象。对于型钢截面（工字钢、槽钢、角钢等），由于它们的两个形心主轴惯性矩相差较大，为了提高这类型钢截面压杆的承载能力，工程实际中常用几个型钢，通过缀板组成一个组合截面，如图（15-8c、d）所示。并

选用合适的距离a，使，这样可大大的提高压杆的承载能力。但设计这种组合截面杆时，应注意控制两缀板之间的长度，以保证单个型钢的局部稳定性。

3．增加支承的刚性

对于大柔度的细长杆，一端铰支另一

端固定压杆的临界载荷比两端铰支的

大一倍。因此，杆

端越不易转动，杆端的刚性越大，长

度系数就越小，图15-9所示压杆，若增大杆右端止推轴承的长度a，就加强了约束的刚性。

4．合理选用材料

对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E成正比。因此钢压杆比铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷高。但各种钢材的E基本相同，所以对大柔度杆选用优质钢材比低碳钢并无多大差别。对中柔度杆，由临界应力图可以看到，材料的屈服极限 和比例极限

越高，则临界应力就越大。这时选用优质钢材会提高压杆的承载能力。至于小柔度杆，本来就是强度问题，优质钢材的强度高，其承载能力的提高是显然的。

最后尚需指出，对于压杆，除了可

以采取上述几方面的措施以提高

其承载能力外，在可能的条件下，

还可以从结构方面采取相应的措

施。例如，将结构中的压杆转换成

拉杆，这样，就可以从根本上避免

失稳问题，以图15-10所示的托架

为例，在不影响结构使用的条件

下，若图a所示结构改换成图b所示结构，则AB杆由承受压力变为承受拉力，从而避免了压杆的失稳问题。