数值传热学chapter_8

数值传热学

第八章代数方程组的求解方法

主讲陶文铨

西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER

2010年11月8日, 西安

8.1 代数方程组求解方法概述

8.1.1多维问题离散方程系数矩阵特点8.1.2求解代数方程组的直接法与迭代法8.1.3 迭代解法的基本思想及关键问题8.1.4 终止代数方程组迭代的判据

采用二阶截差的格式时二维问题代数方程等号前只有五项系数不为零，系数矩阵为准五对角阵; 由于在L1XM1项中只有5项不为零，因而称为稀疏矩阵；因为未知数成千上万，称为大型稀疏矩阵（large scale sparse matrix)。当采用右图所示方式构成未知数的一维数组时

•••••

多维流动传热问题控制方程离散形成的代数方程特点：1) 常物性导热问题均分网格：系数矩阵对称、正定：2) 其它情形生成的系数矩阵一般既非正定又非对称。构成大型系数矩阵的代数方程组一般采用迭代求解方法。

8.1.2求解代数方程组的直接法与迭代法1. 直接解法(direct method)

通过有限次运算可以获得代数方程组的精确解的求解方法；如TDMA ，PDMA ,没有舍入误差就得精确解。

2. 迭代法(iterative method)

通过一组假定的初场，由代数方程组本身不断加以改进以获得近似解的求解方法。

工程流动与传热计算代数方程求解大多采用迭代法：1) 问题多为非线性的，在获得收敛解之前，各层次代数方程的系数均是临时的，不必求出其真解；2) 直接解法计算次数正比于变量数目的2.5~3次方，变量多时，计算次数十分可观；迭代法可适时终止迭代。

8.1.3 迭代解法的基本思想及关键问题

1. 迭代法基本思想

−1

φ=(A ) b 设所求解的方程组为：A φ=b 则其真解为：

迭代法时要在一个多维空间R (其空间维数为变量的个数) 中构造一个序列φ

(k )

当k →∞

，要求：

(k ) −1 φ→(A ) b

一般地，在第k 次迭代中有：φ1. 迭代法的关键问题1) 怎样构造迭代序列？

(k )

(k −1)

=f (A , b , φ)

2) 所构造的迭代方式是否收敛？

8.2线性代数方程组迭代方法的构造

8.2.1点(显式) 迭代法－explicit iteration

8.2.2 块(隐式) 迭代法－implicit iteration

8.2.3 交替方向块迭代法－ADI

2-D Peaceman-Rachford方法

第一个Δt /2X 方向为隐式，y 方向为显式式；第二个Δt /2在y 方向实施隐式、X方向为显式

2－D 交替方向隐式设

将Δt 两等分：

φ

(k +1/2)

为中间子时层上的值；

δφ

2k x i , j

表示k 时层x 方向二阶导数的中心差分；

这种求解求解多维稳态问题的交替方向迭代(ADI-iteration)方法与非稳态全隐格式的

交替方向隐式

(ADI-implicit)与极为相似。

2. 交替方向线迭代广泛应用于传热与流动问题的求解凡结构化网格上的代数方程求解均可采用：

8.3线性代数方程组迭代收敛条件与加速方法

8.3.1Jakob,G-S 迭代收敛充分条件及其分析

8.3.2 影响迭代收敛速度的因素分析

8.2.3 加速边界条件影响传入计算区域的方法

(3) 稳态无源项：对内点

设Tw 已知，则a P =∑a nb 从边界点必可找出至少一点满足不等号：T W

a P T P =a E T E +a W T W +a N T N +a S T S +b

求解时变为：

a P T P =a E T E +0+a N T N +a S T S +(b +a W T W ) 故此点有：a P =∑a nb >a E +0+a N +a S

对第三类边界条件的边界点，则有附件源项

−S P >0, a P >∑a nb

界条件；因此边界条件影响传入的快慢必影响迭代收敛速度。

2. 从满足守恒条件的角度：

对于第一类边界条件的问题，可以将全部边界条件组织到迭代初场中，但是这样的场不满足守恒定律，因此能加快守恒条件满足的方法必可加快收敛；

3. 从误差矢量衰减的角度：

迭代过程是使误差矢量逐渐衰减的过程，误差矢量由各谐波分量组成，能使各种谐波分量协调地衰减的方法能促使迭代过程地收敛；

8.4促进守恒条件满足的块修正技术

8.4.1块修正技术的需要

8.4.2 块修正技术的基本思想

8.4.3 单块修正值的代数方程及其边界条件

8.4.4 应用块修正技术注意事项

BL =

j =JST

∑(AP ) −∑

(AJP ) −∑(AJM )

j ≠M 2

i ≠JST

M 2

我们采用附加源项法来处理第二类，第三类边界条件，相当于所有的边界条件均是第一类的，边界上的修正值永远为零；所以对于修正值求和时J ＝JST 以及J=M2均为零，导致AJM 需不计JST ，而AJP 需不计M2。

但该两个位置上φ值均存在，因此在常数项BLC 中均应计及。

*

修正值边界条件

2.

8.4.4 应用块修正技术注意事项

1. 块修正不是一个独立的求解方法，须与其它方法，如ADI 联合使用；

2. 为进一步加速收敛可以交替方向使用块修正；3. 对于物理意义上恒大于零的量，如湍流脉动动能、组分等有时不宜

采用块修正技术。因为块修正相当于对某一个坐标系均匀地加上或者减去一个常数，可能导致不符合物理意义的解。

8.5促进各种谐波分量同步衰减的多重网格技术8.5.1代数方程迭代求解过程是误差矢量的衰减过程8.5.2多重网格的基本思想及关键问题8.5.3 不同网格上解的传递8.5.4 不同网格上的循环方式

8.5.2多重网格的基本思想及关键问题

1. 基本思想－在几套不同疏密的网格上对密网格上的解进行求解，使不同频率的误差分量得以衰减。1. 关键问题－

(1)相邻两套网格间密网格的解怎样传递？(2)不同疏密网格间密网格的解如何循环？8.5.3 不同网格上密网格的解解的传递

1. 基本观点－不同网格上传递的是最密网格上的解

8.5.4

不同网格上的密网格解循环方式有三种循环方式：

V 循环

W 循环

FMG 循环

括号内数字表示迭代的轮数。FMG 在流动与传热

计算中应用最广，黑点表示迭代已经收敛。

同舟共济渡彼岸!

People in the same boat help each

other to cross to the other bank, where….