论非整体移动的需求曲线

论非整体移动的需求曲线

∗肖演东(Yandong Xiao)

摘要 本文首先以现实生活事例论证当价格之外能影响需求的因素发生改变时，存在需求曲线发生局部变动而不是整体左移或右移的情形。接着基于文中的事例，本文指出需求定律未能完整地对符合价格上升需求量减少的经济现象进行概括，并证明了相对该定律更具一般性的命题P。另外，本文从通常意义上是否合乎现实的角度探讨了需求定律的真假性独立于效用分析、无差异偏好分析和显示偏好分析这三种方法。

关键词 非整体移动，不完整性，独立性

一、引 言

翻开任何一本现行的经济学教材，教材的作者都会给出这样一个陈述：当价格之外的因素影响需求时，需求曲线将相应的向左或向右整体发生移动（为方便叙述，我们把这个陈述记为P）。但陈述P如果不依赖一个隐含的假定，即这些其它因素一定是能引起需求曲线发生整体移动的因素，却不能一般地成立。

具体来说，比如偏好的变动能引起需求曲线的移动，但是如果不隐含地限制这里的偏好就是能引起消费者在每一价格水平上相应的需求量都发生变动的那种偏好，那么不能导出这种偏好的变动会引起需求曲线整体发∗ 2007年毕业于深圳大学经济学院，获学士学位。

生移动。

为了证明以上论点，笔者在本文第二部分以具体的生活事例论述当价格之外的因素引起需求的变动时，需求曲线如何相应的发生局部变动，同时论述要使陈述P一般成立所需的诸多条件限制。本文第三部分集中论述需求定律不能完整地概括各种符合价格上升需求量减少的经济现象及该定律的真假独立于三种推导出它的方法（即效用分析、无差异偏好分析和显示偏好分析）。本文第四部分在前文的论述基础上作进一步分析和补充。出于行文方便，笔者把相关的图表和数学推导放在附录。

二、非整体移动的需求曲线

正如我们所熟知的，一种商品的总需求曲线是由与之相关的所有个体对该种商品的需求曲线进行加总而得到，所以我们有必要先把注意力集中在个体的需求曲线上。下面我们将以现实生活事例论述当价格之外的因素发生改变并影响需求时，相应的需求曲线如何发生局部变动以及排除这些曲线的局部变动将涉及哪些必要的假定。本文选取中国流动人口密集的深圳作为背景地点。为使事例具体真实，下文将用较多文字对人物和事件加以叙述。

蔡敏是一位从外省到深圳并打算在当地工作的年青人。她有一个姑妈在这座城市，其他亲人朋友则都不在这里。在找到工作之前，她一直住在姑妈家里。到深圳一个月之后，她被一家企业聘用，但工作的地方离姑妈家很远，所以她不得不就近租房住下。所租的房间可以做饭，蔡敏每天下

午下班时间也比较早，所以上班一个星期之后她决定自己做晚饭。但只在工作日才做，星期六和星期天她仍然在她姑妈家里吃饭。离蔡敏租的地方较远处（蔡敏走路来回要一个多小时，而且没有直达的公交车可以乘坐）有一个大集市，在那里她可以买到自己爱吃的菠菜，这种菜在她住的附近则买不到。出于走路太累的考虑，她决定只在每星期一才到这个市场上来买菠菜和其他食物。

蔡敏预计自己每天大约要吃半斤菠菜（虽然不会专门用称来称，但用手抓也大致能辨别半斤的量）。以下是蔡敏第一次到大集市买菠菜时预先确定的对菠菜的需求情况（见附录表1及图1）。当菠菜的价格为6元/斤时，她只买半斤并在星期一吃完。而当价格为5元/斤，她买一斤并在那个星期的头两天吃完，如此类推。有一点要注意的是，市场上的菠菜价格是按每斤增减0.5元的基准浮动的，但蔡敏的需求量则是以每斤增减1元为基准变动，说明每斤菠菜增加0.5元时不足以改变她的需求量。如果菠菜价格是6.5元/斤，那么她还是买半斤，直到升至7元/斤及以上，她的需求量才降为零。类似地，当价格为2.5元/斤时，她的需求量与2元/斤时相同。如果我们把上述的所有信息都体现在需求曲线上，那么曲线将呈阶梯形。为使图形更加可观，我们只在需求曲线中体现那些被消费者本人重视的价格及相应的需求量。另外，我们把相邻两点用线段连接而成的曲线作为蔡敏对菠菜的需求曲线，进而取代呈阶梯形的需求曲线。这样的处理不会对我们的结论产生实质性的影响。还须强调一点，本文（包括附录）中的需求曲线均是指这种将相邻两个离散的点连接而成的曲线，并且由于现实当中通常不存在商品价格为零的情形，所以不考虑商品价格为零及相应的需求

量所决定的点。

蔡敏第一次到集市购物时，她对菠菜的需求曲线用D0D0表示（见附录

图1）。市场上菠菜的价格是2.5元/斤，所以她一次买了五天的量，2.5斤。因为她自己没有冷藏设备，到当个星期的星期四，她发现菠菜已经变质。这样一来，她即便在星期一买了星期四和星期五的量，到时也不能食用。但是她不想星期四再次到大集市上去买菜，所以她宁可这两天都不吃菠菜。虽然星期四和星期五不吃，但对星期一到星期三这三天却没有影响。如此一来，她对菠菜的需求曲线由D0D0变为D0D1。很明显，当需求曲线由D0D0变为D0D1时，是价格之外的因素引起需求发生变动，但曲线D0D0却只发生

了局部变动而不是整体地左移或右移。这里要排除需求曲线发生局部变动，一种可行的方式是蔡敏事先知道菠菜到星期三之后就会变质，这样她预先确定的需求曲线就是D0D1而不是D0D0，从而从D0D0到D0D1的转变也无从发

生。如此看来，消费者对所消费物品具有完全信息的假定对排除需求曲线发生局部变动可能是必要的。

自己做饭的第二个星期一，蔡敏对菠菜的需求曲线已由原来的D0D0变

为D0D1。接下来的第三个星期一，她对菠菜的需求曲线仍是D0D1。到了这

个星期，蔡敏进入该企业已经超过三个星期，她跟其中几个同事成了朋友，并约定每星期三几个人一起到她们工作地点附近的餐馆聚餐。所以蔡敏在接下来的每个星期三不会自己做饭，于是也不会购买相应的用于星期三食用的菠菜。这样一来，她对菠菜的需求曲线由D0D1变成D0D2。显然，曲线

从D0D1变成D0D2，D0D1只是发生了局部变动而不是整体移动。这里引起需

求曲线变动的因素可以归结为间接的偏好变动。之所以说是间接的，是因

为蔡敏的偏好改变显然是与朋友聚餐优于自己做饭，而不是她对菠菜的偏好直接发生了改变。所以要排除需求曲线发生局部变动，就必须限制这种间接的偏好改变引起需求曲线的变动。

又过了两个星期，蔡敏结识了住在她租的房间对面十几米远的张女士。张女士由于是一个人居住，要冷藏的东西不多，她家的冰箱有很大的空间一直没有充分利用。她见蔡敏没有购买冰箱，主动提出把冰箱剩余的空间供她使用。有了张女士的帮助，菠菜的保鲜有了保障。于是蔡敏对菠菜的需求曲线由之前的D0D2变为D0D3。类似地，曲线由D0D2变成D0D3，D0D2只是局部发生了变动，而非整体移动。这里引起需求曲线变动的因素涉及商品在消费过程能否保持同质。换句话说，如果要排除需求曲线发生局部地变动，那么有必要限制商品在消费的过程中保持同质。

又过了一个星期，蔡敏在广州工作的好朋友王婷来深圳看望她。王婷也喜欢吃菠菜，不过她向蔡敏强烈表示广州的菜价有些过高并说如果菠菜的价格高于5元/斤，她就不买了。王婷的话让蔡敏有些感触，因为王婷每月的收入比她高，但她却愿意在菠菜6元/斤或6.5元/斤的时候仍然购买。由于受到王婷的话的影响，蔡敏改变了主意，当菠菜的价格高于5元/斤时，她也不购买了。但这并不影响当菠菜的价格为5元/斤时，她仍然购买一斤的量而不是更少，类似地，也不影响其它价位上相应的需求量。于是她对菠菜的需求曲线由之前的D0D3变为D0D4（为突出显示，笔者单独绘制了这

条曲线，见附录图2）。同样地，需求曲线由D0D3变为D0D4，D0D3只是局部

发生了变动。从这个事例我们可以看到偏好这个因素本身有着十分丰富的含义，比如说上述偏好之间的相互影响。如果不限制偏好之间的相互影响，

那也不能保证当偏好发生变化时，需求曲线会整体地发生移动。这也论证了笔者在引言部分第二段所陈述的观点。

关于最后一个事例，有一个有趣的方面。那就是如果忽略需求量为零的那些点（正如笔者在图2中有意显示的），那么曲线从D0D3变为D0D4，实际上是曲线D0D3缩短而已，其它均不改变。这让我们联想到需求曲线是

否有延长的可能。举例来说，如果蔡敏升职加薪，这时她觉得之前王婷的话没必要在意，于是她对菠菜的需求曲线又从D0D4变回之前的D0D3（而不

是现行经济学教材所说的，收入上升将导致需求曲线整体右移），不过此时曲线所对应的实际情形与原来的D0D3是不同的。如果忽略曲线D0D4本该有

的那些需求量为零的点，这就算是需求曲线的延长了。

最后我们重新提及总需求曲线。由于某商品的总需求是由与之相关的所有个体对该商品的需求加总而来，所以如果个体的需求发生变动时，其需求曲线既可能只是局部变动，也可能整体移动，那么从数学的角度分析，总需求曲线也必然如此（附录的数学证明一给出总需求局部变动的一种情形）。

三、需求定律的不完整性和独立性

结合上文已经列举的事例，本节将论述需求定律对符合价格上升需求量减少的经济现象没有给出一个完整的概括。由于效用分析、无差异偏好分析及显示偏好分析这三种方法蕴涵着需求定律，本文探讨能否通过放宽这三种方法中任何一种的相关假定从而推导出一个含义更广的定律使它不

仅包含需求定律还包含需求定律未论及的情形。经论证，我们发现需求定律实质上没有被这三种方法中任何一种涉及的假定所蕴涵，从而该定律本身的真假性独立于这些方法。

（一）需求定律的不完整性

需求定律在概括价格上升需求量减少的经济现象时，强调要保持价格之外的能影响需求的因素均不改变。但从本文第二部分最后一个事例来看，尽管价格之外的能影响需求的因素改变了，价格上升需求量减少的特征却没有改变。比如上述引起需求曲线从D0D3变为D0D4的因素和引起曲线从

D0D4变回之前的D0D3的因素，这两种因素的作用不会导致价格上升需求量

下降的性质发生改变（附录的数学证明二对此进行了更为一般的讨论）。这就是说需求定律中“假定其它条件不变”这样一个限制过于严格，以致于需求定律不能包含允许某些影响需求的因素改变的情况下，价格上升需求量仍必然减少的经济现象。

（二）需求定律的独立性

众所周知，在现行经济学理论中有效用分析、无差异偏好分析和显示偏好分析三种经典的方法可以推导出需求定律。那么结合上文所提到的需求定律的不完整性，一个合乎逻辑的考虑是，能否通过放宽这三种方法中的相关假定从而推导出一个含义更丰富的定律（比如包含附录数学证明二中的命题P）？但这种放宽假定的尝试应具备以下条件才有实际意义，即这三种方法中至少有一种方法其中使用的假定是实质蕴涵需求定律的。所谓实质蕴涵是指这样一种情况：假定已知命题A和命题B，如果命题A可以推导出命题B（即命题A蕴涵命题B）而且命题A为真，那么命题B也

必然为真，从而命题A实质蕴涵命题B。另一方面，如果命题A蕴涵命题B但命题A不为真，那么命题B既可为真也可为假，换句话说，命题B为真或为假都独立于命题A。现行的经济学理论所论证的是这三种方法中任何一种都蕴涵需求定律，但没有论证其中涉及的假定是否为真或者说在通常意义上是否合乎现实。下面我们分别来论证这三种方法中任何一种都存在对推导需求定律起关键作用但不为真的假定。需要强调的是，这里所说的不为真是通常意义上的，而不是指这些假定在任何情况下都不可能成立。

1．效用分析

效用分析方法中推导需求定律的关键假定之一是等边际法则。这一法则要求消费者在每一种物品上所支出的最后1单位货币（美国人写的教材在这里一般用“1美元”）都给这个消费者带来相等的边际效用。这一法则通常不符合现实体现在两个方面。其一是它对消费者的行为作了这样的预设，即每个消费者考虑的是手中每单位货币能购买多少数量的某种商品。这显然有悖于我们的生活经验，现实生活中消费者往往是考虑获得多少数量的某种商品需要花费多少数量的货币而不是相反。所以最后1单位货币所购得的某种商品带来的边际效用并没有真正影响消费者的决策。另一方面，这里的“单位货币”也往往是个虚构的概念。比方说，在很多情况下深圳的米价的最小单位变动是0.1元，零售市场菜价的最小单位变动是0.5元，零售市场肉价的最小单位变动是1元，面对这样的市场环境，消费者应当如何在不同的商品选择之间确定这个单位货币是多少？比较合理是选取最小的那个，即0.1元。但0.1元的变动与菜价和肉价不直接相关，消费者如果用它来衡量这两类商品的消费，反而显得不明智。单位的问题往往

被以下操作所掩盖，即用无穷小量取代有单位的量。对一个无穷小量，不论它乘以怎样一个正数，所得还是一个无穷小量。这样一来，不同商品之间最小单位变动的差别就消失了。

所以即便我们承认边际效用递减规律和消费者追求效用最大化这两个假定为真，但是少了等边际法则这一假定为真，只能是这样两种结果，一种是舍弃该法则从而不能推导出需求定律，另一种是保留该法则，从而使用了不为真的假定。

2．无差异偏好分析

无差异偏好分析中推导需求定律的关键假定之一是无差异曲线是存在的，也就是说消费者预先能确定各种等优的商品消费组合。这一假定在现实当中不为真，笔者列举两点论据。其一是对消费者而言，缺乏一个稳定的衡量不同商品偏好程度或对不同商品进行偏好排序的参照系。不同的商品所具有的特性往往差异很大，消费者难以衡量这些特性的重要程度或比较它们之间的重要性。其二是在实践中，消费者发现不预先确定各种等优的商品消费组合通常是明智的。比如某天某消费者用手中的2元购物。在他看来这2元用于购买2个蛋挞或1瓶可乐是等优的。用x表示蛋挞的数量，y表示可乐的数量，(x, y)表示这两者的组合。显然他认为(2, 0)和(0, 1)这两个组合是等优的。但是这样的看法很快就被消费者无法事先顾及的因素所修改。比如第二天，同样是手中的2元，这时他很饿，于是觉得(2, 0)这个组合要远优于(0, 1)的组合。比如另一天，这时他很渴，于是觉得(0, 1)这个组合远优于(2, 0)的组合。更多的例子还可以列举，比如某天他胃不舒服，喝可乐会胀气，于是(2, 0)这个组合又优于(0, 1)的组合。所以即便消费

者确实评价不同的商品组合之间等优，也会根据当时所处的具体情况来衡量，而不是事先确定或必然根据过往的评价来确定。

基于以上两点论据，我们推断包含众多无差异商品组合的无差异曲线通常不存在，消费者不可能到购物时才评价数量如此庞大的组合是无差异的。这样一来，我们论证了无差异偏好分析中包含不为真的核心假定。

3．显示偏好分析

显示偏好分析中推导需求定律的关键假定之一是显示偏好弱公理。这个公理要求对任意两个不同的商品组合X和Y，如果在某个预算约束下，X直接显示偏好于Y，那么在任何预算约束下，不能有Y直接显示偏好于X。换句话说，在某个预算约束下消费者能够购买X和Y中的任意一个，但他选择了X而不是Y，那么在任何预算约束下，他不能在能购买X的情况下反而购买了Y。这个公理在现实当中不为真，笔者提出两点论据。其一是公理中所说的某个预算约束下X直接显示偏好于Y的陈述通常缺乏现实意义。因为给定一个预算，如果衡量该预算所能支付的商品组合，那将是很多（从纯数学的角度说是无穷），消费者难以把各个商品组合当作要素进行比较并最终在众多组合中选出一个。其二是如果消费者在某个预算约束下选择了一个商品组合（假定该组合是消费者通过各个组合的比较选出），那么显示偏好弱公理不仅要求他记住这个组合，还要求记住所有（通常数量很大）这次他本来可以购买却没有选择的组合，在以后的决策过程中，只要X能购买，他就不能选择它们中的任何一个。在绝大多数情况下，消费者显然不会以这种方式来决策。

基于以上两点，我们认为显示偏好弱公理通常不能与现实相符，从而

显示偏好分析中也存在对推导需求定律起到关键作用但不为真的假定。

综合上文对效用分析、无差异偏好分析和显示偏好分析三种方法的分析，我们可以得到这样的结论，即这三种方法中任何一种都存在对推导需求定律起关键作用但在通常意义上不为真的假定。需求定律作为一条在现实当中应用广泛的定律显然不能由在某些特殊情况下才有可能成立的假定来推导，所以需求定律的真假应独立于这三种方法，从而也不能通过放宽这三种方法中任何一种的相关假定推导一个包含需求定律且含义更广的定律。因为即使推出这样一个定律，它的真假性仍然独立于这些推导出它的假定。

四、结 语

在引言中提到，陈述P如果不依赖一个隐含的假定，即这些其它因素一定是能引起需求曲线发生整体移动的因素，不能一般地成立。这无疑是同语反复，即能引起需求曲线发生整体移动的因素发生变动导致需求曲线发生整体移动。但这是基于这样的困难，即难以把需求曲线的整体移动与局部变动截然分开。就本文第二部分的几个事例来说，要令价格之外的能影响需求的因素变动时需求曲线必然发生整体移动，那么不得不作出许多限制，比如消费者对商品具有完全信息，与商品相关的间接偏好不能发生变动，商品在消费过程中保持同质，不同个体之间的偏好不能相互影响等等。这样一来，我们确实不容易清楚地说明满足哪些条件，陈述P是一定成立的。

另一方面，需求曲线发生局部变动的情形将使现行的一般均衡理论不得不作出相应的补充。举例来说，已知一条供给曲线和一条需求曲线相交，现假定这条供给曲线保持不变，而价格之外的因素变动引起需求曲线发生变动，就原有的认识而言，由于需求曲线必然发生整体移动，从而供求均衡点也必然发生变动，但考虑到需求曲线此时发生的只是局部变动，那么均衡点就可能保持不变。

结合本文的论述，笔者认为经济学家们应重视需求曲线可以局部变动的事实及需求定律的不完整性，同时对现行的供求理论进行补充和修正。另外，经济学家们应强调需求定律实质上独立于效用分析、无差异偏好分析和显示偏好分析这三种方法中的任何一种。更严格的做法则是放弃使用这三种方法来推导需求定律。

附录

表1 蔡敏第一次到大集市购物时对菠菜的需求表

价格P 需求量Q

（元/斤） （斤/星期）

A 7或7以上 0

B 6或6.5 0.5

C 5或5.5 1

D 4或4.5 1.5

E 3或3.5 2

F 2或2.5 2.5

注释：A、B、C、D、E和F代表蔡敏对菠菜的需求曲线上的六个点，这些点的纵坐标（即价格）只选取正整数。

图1 四个不同时点，蔡敏对菠菜的需求曲线

03曲线。

图2 “收缩”的需求曲线

数学证明一

由于过往没有总需求曲线局部变动的相关定义，下面我们采用相对严格的一种定义，即总需求曲线上至少两个点保持不变并且至少两个点发生变动才称之为局部变动。

假定与某商品的需求相关的有n个个体。令p代表商品的价格，S代表价格的定义域（根据本文的约定，S是一个离散集），qi=fi(p)代表第i个个体的需求曲线，其中i为正整数且1≤i≤n。另外，函数Q=F(p)代表当前该商品的总需求曲线。显然，对于每一价格水平p，总需求量F(p)=f1(p)+f2(p)+L+fn(p)。现假定只有第1个个体和第2个个体的需求曲线发生局部变动，而其余(n−2)个个体的需求曲线均保持不

××变。令q1=f1×(p)和q2=f2×(p)分别代表变动后第1个个体和第2个个体的需求曲线，

并令变动后的总需求曲线为Q*=F*(p)，于是有F*(p)=f1*(p)+f2*(p)+f3(p)+L+ fn(p)。由于个体需求曲线q1=f1(p)和q2=f2(p)发生的是局部变动，不妨令对p0，p1∈S，有f1(p0)=f1*(p0)和f2(p0)=f2*(p0)以及f1(p1)=f1*(p1)和f2(p1)=f2*(p1)，于是易证F(p0)=F*(p0)和F(p1)=F*(p1)成立，这就是说，从总需求曲线Q=F(p)到总需求曲线Q*=F*(p)，至少有两个点保持不变。再令p3，p4∈S，其中f1*(p3)=f1(p3)+1，f1*(p4)=f1(p4)+2并且f2*(p3)=f2(p3)+5，f2*(p4)=f2(p4)+7。易证F(p3)≠F*(p3)和F(p4)≠F*(p4)成立，于是从总需求曲线Q=F(p)到总需求曲线Q*=F*(p)，至少有两个点发生变动。根据我们的定义，这就说明总需求曲线发生的是局部变动。 （证完）

数学证明二

需求曲线从D0D3变为D0D4，原来的点(6, 0.5)变成了点(6, 0)（图2有意把这个点省略），如果把点(6, 0)去掉，那么可以发现曲线D0D4是在曲线D0D3的基础上缩短了而已。反过来，曲线从D0D4变回之前的D0D3，点(6, 0)变成点(6, 0.5)，如果忽略需求量为零的那些点，那么曲线又是在D0D4的基础上延长了。总地来说，这基于一个事实，即如果去掉需求量为零的点，那么需求曲线D0D4上相应点构成的集合是需求曲线D0D3上相应点构成的集合的真子集。尽管考虑需求量为零的点不会改变需求曲线满足价格上升需求量减少的性质，但是却使曲线收缩和延长的特征变得不明显，尤其使以下的讨论变得复杂。为此，下面的讨论默认忽略那些需求量为零的点。

先引入点集合的概念。点集合是这样的集合，其中的每个元素都可以写成(p,q)的形式，其中p代表商品的价格，q代表在价格为p时对该商品的需求量。根据本文的约

定，显然有p>0且q>0。这样一来，每条需求曲线都对应一个点集合。而且我们约定，必须至少有两个点才能构成需求曲线，从而一个少于两个不同元素的点集合不能对应一条需求曲线。当点集合为空集时，它表示对该商品的需求没有产生或不存在。

以下区分价格之外影响需求的两大类因素，分别用I类和II类表示。设某消费者对

。I类因素对消费者的需求产某种商品的需求对应的点集合为S（注意，S可以是空集）

生这样的作用，即消费者对该商品的需求对应的点集合S在I类因素作用之后变为S∪T，其中T是一个不为空的点集合。此时T满足以下两个性质：

(i) 如果T中至少有两个不同元素，那么T中的任意两个不同元素(pi,qi)和(pj,qj)满足不等式(pi−pj)(qi−qj)

(ii) 如果S不为空，那么S中的任意一个元素(ps,qs)和T中的任意一个元素(pt,qt)，满足(pt−ps)(qt−qs)

当S不为空时，II类因素也能对消费者的需求产生作用，它使得消费者对该商品的需求对应的点集合S变为S−V，其中V是S的子集。由于本文对I类因素和II类因素能否同一时间对消费者的需求产生作用没有相关的论述，所以有必要引入一个限制，即我们所考虑的情形均是I类因素和II类因素不同一时间对消费者的需求产生作用的情形。当然这不影响I类和II类因素先后对消费者的需求作用多次。下面的讨论将默认I类因素和II类因素不会同一时间影响消费者的需求。

现证以下命题P：

如果除价格、I类因素和II类因素之外其它能影响消费者需求发生改变的因素都保持不变，那么价格上升需求量必然减少。

证

设在某个时间点某消费者对某种商品的需求对应的点集合为S。此时消费者的需求分为两种情形，一种是此时消费者的需求没有受到I类和II类因素的作用，另一种是受到I类和II类因素中至少一类因素的作用。

如果是前一种情形，那么一直以来只有价格一个因素对该消费者的需求产生作用，根据需求定律，价格上升需求量必然减少。

下面讨论后一种情形。对于这种情形，可以考虑I类或II类因素产生作用之前消费者对该种商品的需求对应的点集合S*。从点集合S*到点集合S，I类和II类因素都可能多次对消费者的需求产生了作用。不妨设I类和II类因素分别对消费者的需求作用了M次和N次（注意，没有假定I类和II类因素起作用的顺序），显然M和N都是非负整数，且M+N≥1。由于S*可能为空集也可能不为空，所以分两种情况讨论。

(1) S*为空集。此时只能I类因素起作用，从而相应的点集合变为S*∪T。T不为空且S*∪T=T。T要么只含一个元素，要么至少有两个不同元素。如果T只含有一个元素，那么此时讨论价格上升的前提不存在，但它是一种要考虑的情形。如果T至少含有两个元素，那么由性质(i)，T中的点构成的曲线满足价格上升需求量减少这一性质，因此S*∪T所对应的需求曲线满足价格上升需求量减少。如果M+N=1，那么论证到此结束，此时S=S*∪T。如果M+N>1，就要继续往下分析。此时S*∪T可能只含一个元素，也可能至少含有两个不同元素。我们先考虑后一种情形。由于S*∪T=T，为简化符号，用T代替S*∪T。T不为空，所以I类和II类因素都可能对它产生作用，以下分两种情况讨论。① I类因素起作用，此时相应的点集合变为T∪T*。由于T至少含有两个不同元素，从而T∪T*也至少含有两个元素（对T只含一个元素的情形也成立，因为T*不为空且根据性质(ii)易证其所含元素不同于T中的任何元素）。对于T∪T*中任意两个不同的元素(pi,qi)和(pj,qj)，要么这两个元素都属于T或都属于T*，要么其

中一个属于T而另一个属于T*。对于前两种情况，结合上文对点集合T的分析和性质(i)，显然都有不等式(pi−pj)(qi−qj)

中S*∪T只含有一个元素的情形完全相同，因此也能证明不管是受I类因素作用还是受II类因素作用，只要此时产生的相应的点集合至少含有两个不同元素，那么它所对应的需求曲线必然满足价格上升需求量减少。如果是第三种情形，那么与上文中S*∪T至少含有两个不同元素的情形完全相同，同样可以证明不管是受I类因素作用还是受II类因素作用，只要此时产生的相应的点集合至少含有两个不同元素，那么它所对应的需求曲线必然满足价格上升需求量减少。所以对于任意的消费者对该商品的需求所对应的点集合，如果它在受到I类和II类因素作用之前是一条需求曲线，那么根据需求定律，此需求曲线必然满足价格上升需求量减少。而且不管它在受到I类和II类因素作用之前是怎样一种情形（即可能是空集、只含一个元素或至少含两个不同元素），在受I类或II类因素作用之后，所产生的相应的点集合如果至少含有两个不同元素，那么它所对应的需求曲线必然满足价格上升需求量减少。另一方面，一个点集合在受I类或II类因素之后所产生的点集合仍然可以分为空集、只含一个元素和至少含有两个不同元素三种情况，所以如果I类或II类因素继续对这个点集合产生作用从而产生相应的点集合，那么所产生的点集合如果至少含有两个不同元素，它所对应的需求曲线仍然满足价格上升需求量减少。这样一来，不管M+N>1取什么数值，最终产生的点集合S如果至少含有两个不同元素，那么它必然满足价格上升需求量减少这一性质。

(2) S*不为空。此时，S*只含有一个元素或至少含有两个不同元素，与(1)中的论证类似，可以证明点集合S*经过M′次I类因素和N′次II类因素（M′和N′均为非负整数）的作用之后所产生的点集合S如果至少含有两个不同元素，那么必然满足价格上升需求量减少这一性质。

综合(1)和(2)以及它们之前的论证，我们证明了当只有价格、I类和II类因素对消费者的需求产生作用时，价格上升需求量必然减少，从而命题P成立。（证完）

参考文献

[1] Hicks, J. , Value and Capital: An Inquiry Into Some Fundamental Principles of Economic Theory. Oxford: Clarendon Press, 1939.

[2] Mankiw, N. G. , Principles of Economics, 3rd ed. Mason, Ohio: South-Western College Publishing, 2004.

[3] Marshall, A. , Principles of Economics, 9th (Variorum) ed. London: Macmillan, 1961.

[4] Mas-Colell, A. , M. D. Whinston, and J. R. Green, Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press, 1995.

[5] Moscati, I. , “History of consumer demand theory 1871 - 1971: A Neo-Kantian rational reconstruction”, European Journal of the History of Economic Thought, Taylor and Francis Journals, 2007, 14(1), 119-56.

[6] Samuelson, P. A. , “A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour”, Economica, 1938, 5, 61-71.

[7] Samuelson, P. A. , and W. D. Nordhaus, Economics, 18th ed. New York: McGraw Hill, 2004.

[8] 张培刚，《微观经济学的产生和发展》。湖南：湖南人民出版社，1997年。

[9] 张五常，《科学说需求》。香港：花千树出版有限公司，2007年。