分数的定义

数学版

分数的定义

◇张奠宙

在欧美各国的数学课程中，分数大多被放在中学（6~7年级），我国的分数课程则要早一些。20世纪60年代，分数内容安排在五年级，现在则在四年级上学期，甚至三年级就开始学习了。这可能是由于中文数学名词“三分之一”“几分之几”，精确又达意，容易理解。而“三分之一”的英文表达是“one-third （一和第三）”，这就比较费解了。东亚的许多使用汉字的国家和地区，学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好，据说与此有关。

分数该怎样定义？一般地，有以下四种：

定义1（份数定义）：分数是把一个单位平均分成若干份之后其中的一份或几份。

定义2（商定义）：分数是两个整数相除（除数不为

加以强调，能帮助学生了解分数的含义。

在教学中，我们强调“平均分”是必要的。同时，也要注意平均分只是各个部分的地位相同，外观不一定相同。例如，12辆汽车中，8辆是卡车，4辆是轿车，问轿车是全部汽车的几分之几？12粒糖中，巧克力有4粒，问巧克力占多少？这里平均分的是汽车、糖，而不在乎具体内容。

但是，用份数来定义分数，也有不少缺点。首先，一份或几份的说法，仍然和自然数靠得很近，没有显示出这是一种新的数。其次，平均分一个大饼之后其中的一份或几份的说法，常常会误解为分数总是小于1（比一个大饼小）。再次，由于分大饼或其他直观图的思维定势，不能适当选择单位，形成思维上的僵化。以下的调查（浙江省杭州市上城区教育学院唐彩斌提供）可供我们思考。

问题：在图1中，你看到了什么分数？

定义4（公理化定义）：有序的整数对（p ，q ），其中

0）的商。

定义3（比定义）：分数是整数q 与整数p （p ≠0）之比。

p ≠0。

小学数学中，一般都采用以下的定义：

将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示把单位“1”平均分成多少份的数

图1

数学辞典

p （p ≠0）叫做分母，表示取了多少份的数q 叫做分子。分

数写成

调查结果如下表：

q

，读作p 分之q 。p

这一定义的好处是直观、明白易懂，强调了“平均分”，特别对“几分之几”做了贴切的说明，对理解以后的分数运算也有很重要的价值。进一步，不仅可以分一个物体，还可以分一群物体。在教学上，选择适当的单位是

1

理解分数的份数定义的关键。此外，把作为分数单位

q

48

调查结果显示：看到到

1

的学生有94.83%，但是，看4

数的大小，无论大饼、蛋糕有多大，这里的单位都是1。切下来的1份或2份，脑子里不再局限地呈现1或2，而是一个新的数。这样表示的好处很多。

首先，它的单位是抽象的“1”。虽与圆形、三角形相比，较抽象，但是仍然是几何直观，可以帮助学生感知分数的含义。其次，这是数轴的雏形，早在学习自然数的时候，已经用过这样的表示方法。再次，通过操作可以看到分数是填在自然数之间的“新”数，位置在两个相邻的自然数之间，并和分数大小比较、扩分、约分、通分以及运算相呼应。

我国的分数教学，擅长分数的计算，不大注意在数轴上直观地加以表示。其实，这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道，正的真分数是密密麻麻地分布在[0，1]区间上的。至少，在[0，1]内画出所有的以10为分母的真分数，加强分数和数直线之间的联系，乃是改进分数教学的一个方面。

“分数是两个整数的比（值）”，在中学数学和高等数学中，我们常常这样说。但是，小学数学课程的安排是先学分数，再学比。因此，不可能一开始就采用比作为分数的定义。令人意外的是，已经学过比和比例的小学六年级学生，仍然缺乏用比和比例的眼光去审视分数。前面曾提及的调查数据是：对于图1，38名六年级学生中，有

数学

辞典

31

的学生只有33.62%。特别是看到的学生只有43

因此，分数的份数定义可以作为起点，但是，不宜过

9.48%，这说明学生选择单位的能力很差。

分强调，应该迅速向更抽象的分数定义转移。

“分数是整数q 除以整数p （p ≠0）所得的商。”根据这一定义，如果p 能够整除q ，那么，其商依然是整数。但是，如果p 不能整除q ，那么，

q

是什么数呢？这就需p

要将整数扩展，引入新的数———分数。

分数的真正来源，在于自然数除法的推广。1个大饼，由4个人平均分，得到有确定大小的一块大饼。对于这个客观存在的量，依除法的意义，应该是1÷4所得的商。可是，这种除数大、被除数小的除法，以前是不能除的，因而，也没有“商”的。于是，“创新”的机会来了。我们把已经认识的自然数当做“老朋友”，把1÷4的商看做“新朋友”，它的名字叫做四分之一。认识了这样的“新朋友”，任何两个自然数之间的除法就可以进行了。于是有这样的定义：分数是两个自然数a 、b （b ≠0）相除的商。a ÷b

a

的商是新数，读作b 分之a 。当b 能整除a ，特别是b =1

b

时，分数就是自然数。

从数学的观点来看，这一定义体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。

目前的小学数学教材大多回避这一定义，只是用“分数和除法的关系，分数是分子除以分母”这样不着边际的话蒙混过去。事实上，儿童能够懂得：1个大饼给2个人平均分，每人只能分得一半———即“二分之一”。这时，脑子里如果始终是半个大饼，那就还没有学好分数。我们应该帮助学生想到“二分之一”即

36名学生看到了

11

，却只有3名的回答中有。其实，143

1

，非常直观。为什么看3

1，说4

块黑，三块白，1∶3，其比值正是

不到？只因把整块大饼看做单位“1”，已经根深蒂固。甚至有一位小学老师说，这个图表示的分数只能是

1

是错的。由此可见，思维定势之严重。3

从数学上看，依份数定义看来，分数表面上是“一份或几份”，其实，表示的是部分和整体之比。“比”的定义是将它扩展，分数乃是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整体，也可以是部分，把一部分当做新的整体。所以，在小学数学教学中，在讲比和比例的时候，应该补充“分数的再认识”。这对将来灵活地运用分数很有好处。

比的定义和商的定义相近，值相同，表达的方式不同。在教学处理上，第一阶段的分数教学，先出份数的分数定义，然后过渡到“商”定义。份数定义显示过程，商定义表示结果。到了六年级，自然而然地用比来加深对分数的理解。

1

，是一个新的2

数，它比1小。如果4个人平均分1个大饼，每个人得到

111，它也是一个新的数。显然，

在过渡到分数的商定义时，在数直线上对分数作几何解释是非常重要的。

图2（略）

（此文摘自高等教育出版社2008年出版的《小学数学研究》一书，有改动）

数学版2010.01

这是一个半抽象的模型。线段模型是圆模型和其他平面模型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。用线段的长度表示分

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