高二数学夹角的计算

夹角的计算

$$学法指导$$

本小节主要包括三个部分的知识：直线间的夹角；平面间的夹角；直线与平面间的夹角. 在学习时要注意的问题有：（1）直线间的夹角：直线间夹角的范围是⎢0,

⎡π⎤

（2）求平面间的⎥2⎣⎦

夹角时求平面的法向量是解题的关键. （3）求直线与平面间的夹角时用的是直线的方向向量

和平面的法向量所成的夹角，此角与直线和平面所成角互余. 用向量作工具来研究空间的夹角问题时，重要的是明确直线的方向向量、平面的法向量以及它们之间的关系. $$知识精要$$

知识点1: 直线间的夹角 1. 两直线的夹角

当两条直线l 1与l 2共面时，我们把两条直线交角中，范围在⎢0, 2. 异面直线的夹角:

当两条直线l 1与l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，我们把直线l 1和直线AB 的夹角叫做异面直线l 1与l 2的夹角

3. (重点) 空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系:

⎡π⎤

内的角叫做两直线的夹角 ⎥⎣2⎦

已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1， s 2，

ππ

当0

22

夹角等于π－s 1, s 2.

注:确定直线的方向向量是解决两直线夹角的关键. 知识点2 (重难点) 平面间的夹角 1. 平面间的夹角:

在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在⎢0,

⎡π⎤

内的角为这两个平面的夹角. ⎥2⎣⎦

注:平面间的夹角与平面的二面角不是同一概念.

2. (重点) 求两平面间的二面角的向量求法 方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的角或其补角即为所求的二面角的大小；

注：要特别关注两个向量的方向

方法二：设n 1，n 2分别是两个面的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角) 即为所求二面

角的平面角的大小.

注:通过向量法求出二面角有利于求两平面的夹角.

3. (难点) 两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系.

θ为两个平面所成二面角的平面角，θ与n 1, n 2的关系：平面π1和π2的法向量为n 1和n 2， π

(1) 当0≤n 1, n 2≤时，θ=n 1, n 2；

2 π

(2) （2）当

2

知识点3 (重难点) 直线与平面间的夹角. 1. 直线与平面的夹角

平面外一条直线与他在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角. 注:直线与平面间的夹角的范围为⎢0,

⎡π⎤

⎥⎣2⎦

2直线与平面的夹角的计算方法

（1） 在平面内作出直线的投影，找到直线与平面的夹角，通过解三角形求出. （2） 利用直线的方向向量和平面的法向量所成的角求直线与平面的夹角. 3. (难点) 直线的方向向量与平面的法向量的夹角与平面间的夹角的关系：

一直线的方向向量为s ，一平面的法向量为n ，则此直线与该平面的夹角θ与s , n 的关系

为θ=

π

2

-s , n .

$$知识深化$$

知识点1: 直线间的夹角

两直线的夹角是指两条直线相交构成的四个角中不超过

π

的角，由于异面直线既不相交也2

不平行，因此通过平移的方式使两异面直线相交然后定义其夹角，故空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定。运用向量法求异面直线的夹角就是在异面直线上取方向向量，

s 1⋅s 2

运用公式cos =，求出两向量的夹角.

s 1s 2

注:用向量的夹角公式求异面直线所成角时要注意其范围。 知识点2:平面间的夹角

注:用向量法求二面角的大小时要注意向量的夹角与二面角是否相等. 知识点3:直线与平面间的夹角 在求直线与平面所成的角时，可以先求出直线及其射影对应的方向向量，再利用向量的内积

求出直线与平面所成的角，或利用直线l 的方向向量s 与平面α的法向量n 求得

$$高考链接$$

E 、F 分别为A 1D 11（2009年福建省理科）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，

和CC 1的中点．

（1）求证：EF ∥平面ACD 1；

（2）求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；

（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -P 的大小为30? 若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．

解析：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力，利用空间向量将线面角和二面角将几何问题转化为代数问题解决． 答案：

y 轴、解：如图分别以DA , DC , DD 1所在的直线为x 轴、 z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，

由已知得D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,2)、、F (1D 1(0,0,2)E (1,0,2)、20,

)．

（1）取AD 1中点G ，则G (1,0,1)，

CG =(1, -2,1)，又EF =(-1,2, -1)， 由EF =-CG ，

∴EF 与CG 共线．从而EF ∥CG ，

∵CG ⊂平面ACD 1， EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1．

（2）∵AB =(0,2,0)，

EF ⋅AB =， cos EF , AB ==

3|EF |⋅|AB |∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为

6

． 3

（3）假设满足条件的点P 存在，可设点P (2,2, t )（0

向量为n =(x , y , z )，

⎧⎧-2x +2y =0, ⎪n ⋅AC =0,

则⎨ ∵AP =(0,2, t ) AC =(-2,2,0)，∴⎨

2y +tz =0, ⎩⎪⎩n ⋅AP =0.

2取n =(1,1,-) ．

t

ABC 易知平面的一个法向量BB 1=(0,0,2)，

依题意知， BB 1, n =30或150，

∴cos BB 1, N =

4|-|=

434，即2=(2+

2) ，解得t =

t 4t 2

P -AC -B 的大(0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP

小为30. 2（2008安徽卷）

如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面A B C D 四边长为1的菱形，∠ABC =

π

4

,

OA ⊥底面ABCD , OA =2, M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN ‖平面OCD

；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

解析：本题考查线面平行，异面直线所成角即点到平面的距离，在用向量解决时注意异面直线所成角的范围. 答案：

方法一（综合法）

（1）取OB 中点E ，连接ME ，NE

∵ME ‖AB, AB ‖CD ，∴ME ‖CD 又∵NE ‖OC ∴平面MNE ‖平面OCD ∴MN ‖平面OCD

（2）∵CD ‖AB ∴∠MDC 为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作AP ⊥CD 于P , 连接MP ∵OA ⊥平面ABCD ∴CD ⊥MP

∵∠ADP =

π

4

∴DP =

2

DP 1DP 1

=cos ∠MDP == MD 2MD 2

MD ==cos ∠MDP =

∴cos ∠MDP =

DP 1π

=∠MDC =∠MDP = MD 23

所以 AB 与MD 所成角的大小为

π

3

（3）∵AB ‖平面OCD ∴点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP , 过点A 作

AQ ⊥OP 于点Q ，

∵AP ⊥CD , OA ⊥CD ∴CD ⊥平面OAP ∴AQ ⊥CD

又 ∵AQ ⊥OP ∴AQ ⊥平面OCD , 线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离

∵OP

=

=

AP =DP = =

OA AP =2，所以点B 到平面OCD 的距离为2 =

∴AQ =

OP 332方法二(向量法)

作AP ⊥CD 于点P , 如图, 分别以AB,AP ,AO 所在直线为x , y , z 轴建立坐标系

A (0,0,0),B (1,0,0),P D (O (0,0,2),M (0,0,1), N (1,

(1)MN =(1-1), OP =-2), OD =(-2)

设平面OCD 的法向量为n =(x , y , z ) , 则n ⋅OP =0, n ⋅OD =0 y -2z =0即

⎨

⎪-x +y -2z =0⎪⎩22

取z =

解得n =

-1) ⋅=0 ∵MN ⋅n =(1-

44

∴MN ‖平面OCD

AB MD -1) (2)设与所成的角为θ, ∵AB =(1,0,0) MD =(-

22

AB MD 1π

∴ cos θ== , AB 与MD 所成角的大小为

3AB ⋅MD 2

(3)设点B 到平面OCD 的距离为d , 则d 为OB 在向量n =上的投影的绝对值,

OB ⋅n 2 2

由 OB =(1,0, -2) , 得d ==. 所以点B 到平面OCD 的距离为

33n