高二数学同步测试-曲线方程和圆
高二数学同步测试(7)—曲线方程和圆
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.到两坐标轴的距离之和为6的点的轨迹方程是
A .x +y =6
2
D .|x +y|=6
( )
B .x ±y =6
2
C .|x |+|y|=6
2
2.原点必位于圆:x +y -2ax -2y +(a -1) =0(a >1) 的 ( ) A .内部 B.圆周上 C .外部 D .均有可能
3.平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3) 两点,D 点在直线3x -y+1=0上
移动,则B 点轨迹所在的方程为 ( ) A .3x -y -20=0 B .3x -y -10=0 C .3x -y -9=0 D .3x -y -12=0 4.“点M在曲线y =|x |上”是“点M到两坐标轴距离相等”的 ( ) A .充要条件 B .必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.非充分非必要条件 5.从动点P (a , 2) 向圆(x +3) 2+(y +3) 2=1作切线,其切线长的最小值是 ( ) A . 4 B .26 C .5 D .
6.若曲线x 2+y2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身,则实数a =( )
A .±1
2
B .±2
2
C .1或-2
22D .-1或2
22
7.直线y = x + b与曲线x =-y 2有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是 ( )
A .|b|=2
B .-1
( )
C .-1≤b ≤2
8.圆(x -3) 2+(y -3) 2=9上到直线3 x + 4y -11=0的距离等于1的点有
A .1个 B .2个 9.已知圆C x =a +2cos θy =2+2sin θ
C .3个 D .4个
(a>0,θ为参数)及直线l :x -y +3=0,若直线l 被C 截得
的弦长为2,则a = ( ) A .2
B .2-2 C .2-1
D .2+1
10.过两圆:x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的交点的直线的方程 ( )
A .x +y+2=0
B .x +y-2=0
C .5x +3y-2=0 D .不存在
二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
1
11.若P (x , y ) 是曲线C :x 2+y 2=16上的一点,则x +y 的最大值为________________. 12.过P (1,2)的直线l 把圆x +y -4x -5=0分成两个弓形当其中劣孤最短时直线l 的
方程为 ____
13.斜率为3,且与圆 x 2 + y 2 =10 相切的直线方程是.
14.已知BC 是圆x +y =25的动弦,且|BC|=6,则BC 的中点的轨迹方程是 三、解答题(本大题共6小题,共76分)
15.若M 为直线l :2x -y +3=0上的一点,A (4,2)为一定点,又点P 在直线AM 上运动,
且
16.求与直线 y=x 相切,圆心在直线 y=3x 上且被 y 轴截得的弦长为2的圆的方程.(12
分)
2
2
2
2
2
AP
=3, 求动点P 的轨迹方程. (12分) PM
17.自点A (-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线m 所在直线与圆
C :x 2 + y 2 -4x -4y +7 = 0相切,求光线L 、m 所在的直线方程.(12分)
18.已知圆x +y -4x +2y +m =0与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若∠APB =90︒.
求m 的值.(12分)
3
2
2
19.设圆C 1的方程为(x +2) +(y -3m -2) =4m ,直线l 的方程为y =x +m +2. (1)求C 1关于l 对称的圆C 2的方程;
(2)当m 变化且m ≠0时,求证:C 2的圆心在一条定直线上,并求C 2所表示的一系列圆
的公切线方程.(14分)
20.已知圆C :x +y -2x +4y -4=0,是否存在斜率为1的直线L ,使L 被圆C 截得
的弦AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线L 的方程,若不存在说明理由.(14分)
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4
2
2
222
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
11.8 12.x -2y +3=0 13. y =3x ±10 14. x 2+y 2=16 三、解答题(本大题共6题,共76分) 15.(12分)
[解析]:设点M ,P 的坐标分别为M (x 0, y 0), P (x , y ) ,由题设及定比分点坐标公式得
4+3x 04x -4
0=
31+3
,因为点M (x 0, y 0) 在直线2x-y+3=0上,所以 4y -22+3x 0
0=y =
31+3
4x -44y -22⋅-+3=0⇒8x -4y +3=0,即动点P 的轨迹方程为:8x -4y +3=0.
33x =
16.(12分)
[解析]:设圆心坐标为O 1(x 0, 3x 0), 半径为r(r>0) ⇒r =2x 0,又AB =22, ∴(2) 2+x 02=r 2
⇒2+x 02=2x 02⇒x 0=±2,∴r =2
即圆的方程为:(x +2) +(y +32) =4或(x -2) 17.(12分)
[解析1]:. 已知圆的标准方程是(x -2) +(y -2) =1, 的对称圆的方程为 (x -2) +(y +2) =1, 设光线线方程是y-3=k(x+3),由题设知对称圆的圆心C 1(2, -2) 的距离为1,即d =
2
22
2
2
2
5k +5+k
2
=1⇒12k +25k +12=2
34
k =-或k =-. 故所求入射光线L 43
3x +4y -3=0或4x +3y +3=0斜率为k 1=
34
或k 1=,所以所求反射光线m 43
2
2
3x -4y -3=0或4x -3y+3=0.
[解析2]:已知圆的标准方程是(x -2) +(y -2) =1, 设光线L 所在的直线方程是y -3=k(x +3),由题设知k ≠0,于是L 的反射点的坐标是(-直线方程为:y =-k (x +
3(1+k )
, 0) ,由于入射角等于反射角,所以反射光线m 所在的k
3(1+k )
⇒y +kx +3(1+k ) =0,这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线k
5
的 距离为1,即d =18.(12分)
5k +5+k 2
=1⇒12k 2+25k +12=0, 以下同解析1.
[解析]:由题设△APB 是等腰直角三角形,∴圆心到y 轴的距离是圆半径的2倍, 将圆方程
2
x 2+y 2-4x +2y +m =0配方得:(x -2) 2+(y +1) 2=5-m .
圆心是P(2,-1) ,半径r=5-m ∴-m 19.(14分) [解析]:(1)圆C 1的圆心为C 1(-2,3m+2)
=2⋅2 解得m= -3.
⎧b -3m -2
⎧a =2m +1⎪a +2=-1
设C 1关于直线l 的对称点为C 2(a ,b )则⎨解得:⎨
3m +2+b a -2⎩b =m +1⎪=+m +2
22⎩
∴圆C 2的方程为(x -2m -1) (2)由⎨
2
+(y -m -1) 2=4m 2
⎧a =2m +1
消去m 得a -2b+1=0, 即圆C 2的圆心在定直线:x -2y+1=0上.
⎩b =m +1
k (2m +1) -(m +1) +b
2
设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切,则
+k
22
即(-4k -3) m +2(2k -1)(k +b -1) m +(k +b -1) =0
⎧-4k -3=0 ⎪
⎨2(2k -1)(k +b -1) =0⇒⎪(k +b -1) 2=0 ⎩
=2m
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的m (m ≠0) 值都成立,所以有:
3⎧37⎪k =-4,所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为:y =-x +.
44⎨7
⎪b =
4⎩
20.(14分)
[解析]:圆C 化成标准方程为:(x -1) 2+(y +2) 2=32
假设存在以AB 为直径的圆M ,圆心M 的坐标为(a ,b ) 由于CM ⊥L ,∴k CM ⋅k L =-1 ∴k CM =b +2=-1,
a -1
即a +b+1=0,得b= -a -1 ①
直线L 的方程为y -b=x --,即x -y+b-a =0 ∴ CM=b -a +3
2
∵以AB 为直径的圆M 过原点,∴MA =MB = MB 2=CB 2-CM
2
(b -a +3) 2,2
OM =a 2+b 2 =9-
2
(b -a +3) 2
∴9-=a 2+b 2 ② 把①代入②得 2a 2-a -3=0,∴a =3或a =-1
22
当a =3, 时b =-5此时直线L 的方程为:x -y -4=0;当a =-1, 时b =0此时直线L 的方程为:x -y+1=0
22
故这样的直线L 是存在的,方程为x -y -4=0 或x -y+1=0.
6