高中文科概率题目及答案

文科数学易错题巩固训练

1．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( )

A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件

C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动37

卡”的概率是，那么概率是( )

1010

A ．至多有一张移动卡 C ．都不是移动卡

B．恰有一张移动卡 D．至少有一张移动卡

3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( )

137

101010

3

D. 5

4．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三个数字，每人则可喊0,5,10,15,20五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则( )

A ．甲胜的概率大 C ．甲、乙胜的概率一样大

B ．乙胜的概率大

D ．不能确定谁获胜的概率大

⎧⎪－1≤x ≤2，5．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎨表示的平面区域为W ，从W 中随机

⎪0≤y ≤2⎩

取点M (x ，y ) ．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为( )

π11

C ．1－ 6312

π

D ．1－

6

6．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则点P (36P 1, 36P 2) 与圆C ：x 2＋y 2＝1 098的位置关系是( )

A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外C ．点P 在圆C 内 D ．不能确定

7．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )

132

B. 5105

1

D. 2

8．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )

111 B. 234

1

D. 8

9．文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3，物理、化学、生物

获得等级不是A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3. 则该同学参加这次学业水平测试获得两个A 的概率为( )

313 885

4 D. 5

10．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )

111 B. 432

D.

3

2

11．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )

111B. 81627

27 D. 64

12．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

113

424

7 D. 8

13．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )

111

C. 632

2 D. 3

14．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6) ，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A ) 最大时，m ＝________.

15．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3. 现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．

16．从装有编号分别为a ，b 的2个黄球和编号分别为c ，d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：

(1)第一次摸到黄球的概率； (2)第二次摸到黄球的概率．

17．一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．

(1)求连续取两次都是白球的概率；

(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？

1

18． a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x ) 2＋bx ＋1.

2

(1)求f (x ) 在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；

(2)从f (x ) 中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．

19．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图) 这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X

(1)写出数量积X 的所有可能取值；

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

20．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5) 和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4) 同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.

(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；

(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b ) 满足a 2＋(b －6) 2≤9”的概率．

21．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24) ＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1，1≤n ≤2，n ∈N *}，M ＝P ∪Q . 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′) ，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：

(1)点A 正好在第三象限的概率； (2)点A 不在y 轴上的概率；

(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率．

22．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y ) ．

(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．

文科数学易错题巩固训练答案

1． B 2． A 3． C 4． A 5． A 6． C 7． C 8． C

9． A 该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为(W 1，W 2，W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ．有两个A 的情况为(W 1，W 2，3

W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ，(W 1，W 2，W 3) ，共3种，从而其概率为P ＝.

810．解析：选C 如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直AB 的一条弦，垂足为M ，若CD 为圆内接正三r

角形的一条边，则O 到CD 的距离为EF 为与CD 平行且到圆

2r

心O 距离为的弦，交直径AB 于点N ，所以当过AB 上的点且垂直

2

r 1

AB 的弦的长度超过CD 时，该点在线段MN 上变化，所以所求概率P 2r 2(4－2)31

11．[解析] 根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝. [答案] A

48

⎧⎪0≤x ≤4，

12．解析：选C 设第一串彩灯亮的时刻为x ，第二串彩灯亮的时刻为y ，则⎨要

⎪0≤y ≤4，⎩

0≤x ≤4，⎧⎪

使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则⎨0≤y ≤4，

⎪⎩－2≤x －y ≤2.

如图，

⎧0≤x ≤4，⎪

不等式组⎨所表示的图形面积为16，不等式组

⎪0≤y ≤4，⎩

0≤x ≤4，⎧⎪

⎨0≤y ≤4，⎪⎩－2≤x －y ≤2123＝. 164

所表示的六边形OABCDE 的面积为16－4＝12，由几何概型的公式可得P

13．解析：选C 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段

BE (不包含B ，E 点) 上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在1＋2

线段CF (不包含C ，F 点) 上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为

61＝2

14．解析：m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为

1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大．答案：7 105

15．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝.

3618

16．解：(1)第一次摸球有2

a ，b ，故第一次摸到黄球的概率是0.5.

4

(2)先后两次摸球有12种可能的结果：(a ，b ) 、(a ，c ) 、(a ，d ) 、(b ，a ) 、(b ，c ) 、(b ，d ) 、(c ，a ) 、(c ，b ) 、(c ，d ) 、(d ，a ) 、(d ，b ) 、(d ，c ) ，

其中第二次摸到黄球的结果有6种：(a ，b ) 、(b ，a ) 、(c ，a ) 、(c ，b ) 、(d ，a ) 、(d ，b ) ． 故第二次摸到黄球的概率为

6

＝0.5. 12

17．解：(1)连续取两次的基本事件有：(红，红) ，(红，白1) ，(红，白2) ，(红，黑) ；(白1，红) ，(白1，白1) ，(白1，白2) ，(白1，黑) ；(白2，红) ，(白2，白1) ，(白2，白2) ，(白2，黑) ；(黑，红) ，(黑，白1) ，(黑，白2) ，(黑，黑) ，共16个．

连续取两次都是白球的基本事件有：(白1，白1) ，(白1，白2) ，(白2，白1) ，(白2，41

白2) ，共4个，故所求概率为＝164

(2)连续取三次的基本事件有：(红，红，红) ，(红，红，白1) ，(红，红，白2) ，(红，红，黑) ；(红，白1，红) ，(红，白1，白1) ，(红，白1，白2) ，(红，白1，黑) ，„，共64个．

因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的基本事件如下：

(红，白1，白1) ，(红，白1，白2) ，(红，白2，白1) ，(红，白2，白2) ，(白1，红，白1) ，(白1，红，白2) ，(白2，红，白1) ，(白2，红，白2) ，(白1，白1，红) ，(白1，白2，红) ，(白2，白1，红) ，(白2，白2，红) ，(红，红，黑) ，(红，黑，红) ，(黑，红，红) ，15共15个．故所求概率为.

64

18．解：(1)f ′(x ) ＝ax ＋b ，由题意f ′(－1) ≤0，即b ≤a ，而(a ，b ) 共有(2,1)，(2,3)(4,1)，(4,3)3

四种，满足b ≤a 的有34

(2)由(1)可知，函数f (x ) 共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．

∵函数f (x ) 在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，

∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足， 1

∴概率为.

6

19．解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.

(2)数量积为－2的有OA 2·OA 5，共1种；

数量积为－1的有OA 1·OA 5，OA 1·OA 6，OA 2·OA 4，OA 2·OA 6，OA 3·OA 4， OA 3·OA 5，共6种；

数量积为0的有OA 1·OA 3，OA 1·OA 4，OA 3·OA 6，OA 4·OA 6，共4种；

数量积为1的有OA 1·OA 2，OA 2·OA 3，OA 4·OA 5，OA 5·OA 6，共4种．

7故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P 1＝

15

4411

因为去唱歌的概率为P 2P ＝1－P 2＝1＝.

15151520．解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．

(2)满足条件的基本事件的个数为24.

设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b ) 满足a 2＋(b －6) 2≤9”的事件为B .

当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a 2＋(b －6) 2≤9；当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6) 2≤9； 当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6) 2≤9；当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6) 2≤9. 即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计1111

个．所以所求概率P ＝.

24

21．解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24) ＝0}可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}，因为点A 的坐标为(x ′，y ′) ，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6) ，(－6，－4) ，(－6,0) ，(－6,1) ，(－6,3) ，„，(3,3)，共25种．

(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6) ，(－4，－6) ，(－6，－4) ，(－4，－44) ，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝25

(2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6) ，(0，－4) ，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点A 54

不在y 轴上的概率P 2＝1－＝255

(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，8(0,3)，(1,1)．共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝.

25

22．解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .

基本事件空间为Ω＝{(－1，－1) ，(－1,0) ，(－1,1) ，(0，－1) ，(0,0)，(0,1)，(1，－1) ，(1,0)，(1,1)，(2，－1) ，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；

其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A ) ＝

211＝a ∥b 的概率为. 1266

(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y . 基本事件空间为

⎧⎪－1≤x ≤2，⎫⎪⎪⎧

⎬Ω＝⎨(x ，y )⎪⎨

⎪－1≤y ≤1. ⎭⎪⎪⎩⎩

⎧⎫⎧⎪⎪⎪－1≤y ≤1，⎪⎬ B ＝⎨(x ，y )⎪⎨2x ＋y ＜0，

⎪⎩x ≠2y . ⎭⎩⎪⎪

－1≤x ≤2，

113

×()×2μB 22211

则由图可知，P (B ) ＝＝＝即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是μΩ333×2