不确定理论及其公理化体系

第24卷第3期

2004年6月黄　冈　师　范　学　院　学　报JournalofHuanggangNormalUniversity.24No.3VolJun.2004

不确定理论及其公理化体系

彭　锦,刘宝碇

(1.黄冈师范学院数学系,湖北黄州438000;2.清华大学数学科学系,北京100084)

http: orsc.edu.cn UTLab

摘要:不确定理论是概率论、可信性理论、信赖性理论的统称,同时还包括模糊随机理论、随机模糊理论、随机粗糙理论、粗糙随机理论、模糊粗糙理论、粗糙模糊理论、双重随机理论、双重模糊理论、双重粗糙理论.本文主要介绍不确定理论的公理化体系,综述了不确定理论最新研究成果、研究方法和研究动向.最后提出了不确定理论值得深入研究的一些课题.

关键词:不确定理论;模糊变量;粗糙变量;不确定规划

中图分类号:O224;O221　　　文献标识码:A　　　文章编号:100328078(2004)0320001209

Uncertaintytheoryanditsaxiomaticfounda1PENGJin,L-(1.DepartmentofMathem,H,438000,China;

2.Departmentof,niversity,Beijing100084,China)

ttp:orsc.edu.cn UTLab

Abstract:Theframeworkofuncertaintytheoryconsistsofprobabilitytheory,credibilitythe2oryandtrusttheory.Italsoincludesfuzzyrandomtheory,randomfuzzytheory,randomroughtheo2ry,roughrandomtheory,fuzzyroughtheory,roughfuzzytheory,birandomtheory,bifuzzytheoryandbiroughtheory.Thisarticleprovidesacomprehensivesurveyofuncertaintytheoryanditsax2iomaticfoundations.Up2to2datedevelopmentsinuncertintytheoryarereported.Somechallengestouncertintytheoryareindicatedforfurtherresearchtopics.Anextensivebibliographyisalsoincluded.Keywords:uncertainty

theory;fuzzyvariable;roughvariable;uncertainprogramming

收稿日期:2004204208.

作者简介:彭锦,1961年生,男,湖北麻城人,博士,教授,主要从事不确定理论、不确定规划及其应用等方面的研究工作.(http: ～peng　　Email:[email protected])orsc.edu.cn

刘宝碇,1965年生,男,天津宝坻人,博士,清华大学教授、博士生导师.研究兴趣为不确定理论、不确定规划、智能算法及其在系统可靠性设计、设备选址问题、车辆调度问题、工程进度问题、机器排序、存储问题等领域的应用.已在JMAA,C&IE,C&OR,CMA,AMC,EJOR,JORS,FSS,IS,IJUFKS,IEEETFS,IEEETR等国际知名期刊上发表了一系列论文.另外,出版4部英文专著和2本中文教材,包括德国Springer的《不确定理论》,德国Physica的《不确定规划理论与实践》,美国Kluwer的《决策准则与最优存储过程》,美国Wiley的《不确定规划》.现兼任5家国际期刊副主编或编委,包括《IEEETransactionsonFuzzySystems》、《Information:AnInternationalJournal》、《FuzzyOptimizationandDecision

、《AsianInformation2Science2、《InternationalJouralofInternetandEnterpriseManagement》.还兼任清华Making》Life》

大学出版社《不确定理论与优化丛书》主编、中国运筹学会副秘书长、不确定系统分会理事长.曾5次担任国际学术会议的主席或程序委员会主席.(http: ～liu　　Email:[email protected])orsc.edu.cn

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60174049);中法信息、自动化与应用数学联合实验室(LIAMA)资助项目;湖北省教育厅优秀中青年人才资助项目(2000B47001).

・2・黄　冈　师　范　学　院　学　报第24

卷1　序言

当今世界处在一个信息时代.信息是人类认识世界和改造世界的知识源泉.人们接触到的各种各样的信息有时候是确定性的,更多的时候是不确定的.比如,自然界中普遍存在着各种不确定现象;经济生活中伴随着大量的不确定信息,股票证券或期货市场总是处在不确定的波动状态;某些传染性疾病的传播过程中有诸多不确定因素.在现实世界中,不确定信息可谓无处不在,而信息的不确定性表现又是五彩缤纷的,比如随机信息、模糊信息、粗糙信息、模糊随机信息、双重随机信息、双重模糊信息等等.

信息本身的确定或不确定属性无所谓好坏.我们不能片面地认为确定信息纯粹就是好,不确定信息全然就是坏事.问题在于人们怎样认识和把握不确定性.我们究竟应该怎样来正视不确定性呢?所谓“不确定性是科学的敌人”乃是形而上学的观点.确定与不确定揭示和反映事物变化发展过程中的必然与偶然、清晰与模糊、近似与精确之间的关系.确定性是指客观事物联系和发展的过程中有规律的、必然的、清晰的、精确的属性;不确定性是指客观事物联系和发展的过程中无序的、或然的、模糊的、近似的属性.确定与不确定,既有本质区别,又有内在联系.两者辨证统一,两者相互矛盾,相互依存,在一定条件下又可相互转化.确定性往往通过大量不确定性表现出来,不确定性是确定性的补充和表现形式.掌握确定性是科学认识和实践的基础,认识确定性和利用确定性才能获得自由.人们应该重视不确定性,善于利用有利的不确定性,避免不利的不确定性,通过不确定性掌握确定性,从“不定”中求“有定”.

其实,人类对不确定性的认识由来已久.概率论的产生可以追溯到几百年的历史[1],模糊数学诞生于上个世纪六十年代[68],粗糙集合的问世则是近二十年的事情[53].概率论已经广泛应用于众多的学科.模糊数学的理论与方法也逐渐受到人们的青睐.随着软计算研究的兴起,引起人们的关注.一大批数学工作者、计算机研究人员,对不确定性的研究表现出了浓厚的兴趣.概而论之,.

ty”作SCI数据库检索就有2377篇文献记录(.“”作Ei数据库检索就有12287篇文献记录(1990～2003).用1881篇文献记录(1994～2003).考虑到收录年限.究竟世界上共发表了多少有关“uncertainty”的研究文章,恐怕无法统计出确切数字.文献检索粗略统计表明,关于不确定系统的国内外研究动态呈现出三大趋势:1)由确定性转向不确定性的文献数量急剧增长;2)由单一不确定性转向多重不确定性;3)不确定性的研究渗透到愈来愈多的领域.

复杂系统的处理往往难以回避定性的、不完全的和不确定的信息.伴随着这些精彩纷呈的不确定性,存在着大量的优化问题需要解决.不确定信息环境下的优化方法——不确定规划[21,22,30,76,77,79]正是在这种背景下建立和发展起来的.从数学理论的角度来审视,不确定理论的数学基础的建立显得越来越重要.尤其是公理化方法的建立,使得不确定理论形成一门严谨的数学,而且具有面向优化决策理论的鲜明特色.不确定理论[23,78]为不确定规划提供理论基础和工具,不确定规划针对不确定信息环境下的优化决策问题提供建模方法,形成了沟通不确定理论与优化应用的桥梁纽带.

不确定理论是概率论、可信性理论、信赖性理论的统称,同时还包括模糊随机理论、随机模糊理论、双重随机理论、双重模糊理论、双重粗糙理论、模糊粗糙理论、粗糙模糊理论、随机粗糙理论、粗糙随机理论.本文主要介绍不确定理论的公理化体系,综述了不确定理论的最新研究成果、研究方法和研究动向.最后,明确提出不确定理论的一些课题以供深入研究.

2　不确定理论的公理化

简单地说,公理就是不证自明的道理,它是人们研究问题的基础.而公理化方法则指从尽可能少的原始概念和公理出发,利用逻辑推理展开研究的方法.数学公理化方法起源于古希腊,公元前3世纪希腊数学家欧几里得所著《几何原本》是公理化数学的最早典范,它从有限的几个公理出发,用公理化方法建立了一套完整的平面几何演绎体系.

第3期彭　锦,等:不确定理论及其公理化体系・3・　　德国著名数学家希尔伯特在其名著《几何基础》中,精确地提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求,这项工作的意义远远超出了几何基础本身的范围,而使他成为现代公理化方法的奠基人.自20世纪以来,公理化方法在数学中得到了广泛的应用,近世代数学、近代概率论、现代分析等数学分支都是用公理化方法建立起来的.1933年,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了概率论的公理化.物理学的公理化作为希尔伯特第六问题,自上个世纪初提出以来也获得了很大进展.在量子力学、量子场论、热力学等领域,公理化方法已经获得很大成功.

公理化方法的意图在于创造性地吸收并发展前人的研究成果,通过建立起一套完善的演绎体系,把那些零碎的、不连贯的数学知识进行分类、比较、概括,揭示彼此间的内在联系,组织在一个严密的完善系统之中.公理化的过程犹如高明的建筑师怎样把钢筋木石、水泥砖瓦有机组合,建成巍峨的大厦一样.例如,法国的布尔巴基(Bourbaki)学派发现,利用公理化方法可以从规定的几条公理及其相关的一套演绎推理中提炼出数学的三大主要“结构”,即代数结构、拓扑结构、序结构.数学的不同分支可以认为是由这些不同的结构组成的,而这些结构之间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体.如果把一门学科比作一棵浓荫茂密、百枝伸展的大树,那么建立这门学科公理化数学基础的目的就是要理清这些根、干、节、枝、叶、茎、花、果之间的关联,使该学科的根基牢牢扎根于坚固的数学沃土之中.

公理化方法是反映现实的、符合辨证唯物主义认识论的一种科学方法.在现代数学、自然科学中,公理化方法也作为探索新结果的手段而广泛采用.作为整理某一门学科的逻辑方法,常常是需要积累相当丰富的经验材料或发展到一定阶段后才能形成公理系统的基础.为了严格描述各种不确定性,必须建立相应的数学理论基础.

概率论就是一门研究随机信息的数量规律性的数学分支学科.系基础之上,从而形成整个随机数学的基石.:

定义1　设8是非空集合,A是由8)).若非负集函数Pr满足

公理i　Pr{8}=公理iiiA,P{Ai}≥0;

∞ii=1∞i=1Ai公理iii{A},有Pr{∪}=∑i=1Pr{Ai}.

则集函数Pr称为概率测度,而三元组(8,A,Pr)称为概率空间.

模糊集合论就是一门研究模糊信息的数学分支学科[68,69,6,7,17,18,74].过去,人们一直认为在模糊集合论中可能性测度扮演了概率测度的角色.然而,事实并非如此.与概率测度对应的应该是可信性测度.

假设(为非空集合,P(()表示(的幂集.如下四条公理构成了可信性理论的公理化基础:

公理1　Pos{(}=1;

公理2　Pos{ }=0;

公理3　对于P(()中的任意集合{Ai},Pos{∪iAi}=supiPos{Ai};

公理4　如果(i是非空集合,其上定义的Posi{・}满足前三条公理,i=1,2,…,n,并且(=(1×(2×…×(n,则对于每个A∈P((),

(1)1}∧Pos2{Η2}∧…∧Posn{Ηn}Pos{A}=supPos1{Η(Η)1,Η2,…,Ηn∈A∞

记作Pos=Pos1∧Pos2∧…∧Posn.

.为了定义如果Pos满足前三条公理,则称为可能性测度,三元组((,P((),Pos)称为可能性空间

乘积可能性测度,Liu[33]给出了第四条公理,并且证明了Pos=Pos1∧Pos2∧…∧Posn满足前三条公理.这四条公理构成了可信性理论的基础,使得可信性理论的所有内容均可通过其导出.Liu[23]已经成功建立了可信性公理化体系

,丰富了模糊数学的理论底蕴.

定义2(Liu&Liu[45])　假设((,P((),Pos)是可能性空间,A是幂集P((),中的一个元素,则称

Cr{A}=(Pos{A}+Nec{A})2(2)

・4・黄　冈　师　范　学　院　学　报第24卷为模糊事件A的可信性测度.

粗糙集合论就是一门研究粗糙信息的数学分支学科[53～57].为了建立处理粗糙性的一套信赖性理论,Liu[22]首先引入了粗糙空间、粗糙变量和信赖性测度的概念.设+为一非空集合,A为一由+的子集构成的Ρ代数,∃为A中一个元素,定义在A上的一个非负可加集函数Π满足如下

公理 　Π{+}

公理 　Π{∃}>0;

公理 　对所有的Ai∈A,Π{Ai}≥0;

公理 　对任意可列不相交事件序列{A}∞ii=1∞∞,有　Π{∪Ai}=i=1∑Π{Ai=1i}.

定义3　设+为一非空集合,A为一由+的子集构成的Ρ代数,∃为A中一个元素,Π为定义在

)为一粗糙空间.A上的满足如上四条公理的集函数,则称四元组(+,∃,A,Π

)为一粗糙空间,Ν是从+到实数集R上的函数设(+,∃,A,Π.若对R的任意Borel集B,有

)∈B}∈A(3){Κ∈+ Ν(Κ

)上的粗糙变量则称Ν为粗糙空间(+,∃,A,Π.

) Κ∈∃},Ν={Ν(Κ) Κ∈+}为粗糙变量Ν的下近似和上近似此外,分别称={Ν(Κ.

)上的n维粗糙向量,B为Rn中一个Borel集,则粗糙　　定义4　设Ν为定义在粗糙空间(+,∃,A,Π

事件Ν∈B的信赖性测度定义为

Tr{Ν∈B}=(Tr{Ν∈B}+TΝ∈B})2

+{∃}(4)(5)其中称为上信赖性,Tr{Ν∈B}=∈B}(6)

,、乐观值与悲观值等重要概念,从而形成整个信赖性理论的公理化体系.

归纳起来讲,随机变量是从概率空间到实数空间的可测函数;模糊变量是从可能性空间到实数空间的函数;粗糙变量定义为从粗糙空间到实数空间的可测函数.这三类基本不确定变量分别用来定量刻划随机信息、模糊信息、粗糙信息这三类不确定信息.由此繁衍出层叠有致、纵横交织的多种双重不确定变量,用来定量刻划双重不确定信息.每一类双重不确定变量在数学上都有准确的内涵和明确的外延.比如说,模糊随机变量是从概率空间到模糊变量集合的一个可测函数.从宏观上讲,各种多重不确定性的研究在方法上可以融通一体,相得益彰.从微观上讲,各种多重不确定性的表述形同神异,各有千秋.一旦把握它们之间的内在联系和区别之后,可以举一反三、触类旁通.

下面树形图(

图1)展示了不确定理论的概貌.

总之,对于单重或双重不确定变量,我们可以纯粹从相应的不确定变量定义出发,可以导入期望值、乐观值、悲观值、机会测度、机会分布、机会密度、独立性、序列收敛性等概念,并且深入研究它们的数学性质,从而形成一套独立而完善的不确定理论公理化体系.

3　不确定规划

数学规划问题就是要在一组约束条件下寻求一个或多个目标函数的最优值.数学规划在过去的50多年中有了长足的发展和日益广泛的应用.尤其是线性规划单纯形算法[4,5]的出现,对数学规划乃至其它学科的发展起了重大的推动作用.经典的数学规划或确定性数学规划建立于一个非常重要的假设基础之上,即假定系数和资源都是确定型数据.具体来说,研究问题所处的环境是确定的,关于模型中参数的信息是完全确定的,目标函数和约束条件是比较简单的(如线性的或二次的),决策变量之间是相互

第3期彭　锦,等:不确定理论及其公理化体系・5・

图1　不确定理论树形图

独立的.在决策系统的基本特征不会发生重大变化的情况下,上述假定可以认为是成立的.但用确定性的模型去描述充满不确定性的现实优化问题不可避免地存在较大误差.程中,很自然地将未来需求、合,就产生了随机规划[2,16];[75;,就产生了粗糙规划.随机规划、.

设Ν和Γ,不确定变量不能直接比较“大小”,没有统一的序关系.,这是不确定变量比较的关键和难点所在.在实际优化问.我们可以提供几种一般方法进行不确定变量的比较:

(i)称Ν>Γ当且仅当E[Ν]>E[Γ],其中E是不确定变量的期望值算子.这个准则导致了不确定规划的期望值模型.

(ii)称Ν)>Γsup(Α),其中Ν)和Γsup(Α)>Γ当且仅当对某个给定的置信水平Α∈(0,1],有Νsup(Αsup(Α

是分别Ν和Γ的Α2乐观值.该准则导致了不确定规划的极大化乐观值的机会约束规划maximax模型.

(iii)称Ν)>Γinf(Α),其中Ν)和>Γ当且仅当对某个给定的置信水平Α∈(0,1],我们有Νinf(Αinf(Α)是分别Ν和Γ的Α2悲观值.这个准则导致了不确定规划的极大化悲观值的机会约束规划minimaxΓinf(Α

模型.

(iv)称Ν>Γ当且仅当Ch{Ν≥r}>Ch{Γ≥r}对某个预先给定的目标水平r.这个准则导致了不确定规划的相关机会规划模型.

从模型信息类型来说,按照刻划系统信息的不确定变量来分,不确定规划可分为:随机规划

、模糊规划、粗糙规划、模糊随机规划、模糊粗糙规划、随机模糊规划、随机粗糙规划、粗糙随机规划、粗糙模糊规划、双重随机规划、双重模糊规划、双重粗糙规划等[12,24,51,64].

(图2)表示综而述之,不确定规划的基本轮廓可形象地用如下“7图”.

7图实质上代表一个三维坐标系框架PSI={建模机理P,模型结构S,系统信息I}.任何一类不确定规划都可以在其中表示出来.例如,平面“建模机理P=机会约束规划”表示机会约束规划;平面“模型结构S=目标规划”表示目标规划;平面“系统信息I=模糊”表示模糊规划;点“(建模机理P,模型结构

表示模糊机会约束目标规划.S,系统信息I)=(机会约束规划,目标规划,模糊)”

求解不确定规划优化问题的基本算法是混合智能算法,其基本思路是将遗传算法[9,10,11,52],计算机模拟[8]以及神经网络[67]有机地结合一体.即,首先利用双重随机模拟产生双重随机函数的训练样本,然

・6・黄　冈　师　范　学　院　学　报第24卷后利用这些数据训练神经元网络以逼近双重随机函数,最后把训练好的神经元网络嵌入到遗传算法中,从而形成更有效、更强大的混合智能算法.求解不确定规划模型的混合智能算法的大体流程如下

:图2首先,输入群体规模pop2size、;接着,初始产生pop2size个染色体,;然后,对染色体进行交叉操作以及变异操作,;采用训练好的神经元网络模拟计算所有染色体的目标值;;旋转赌轮,选择染色体;重复选择、交叉、变异操作,直到给定的次数;最后,输出最好的染色体作为优化问题的最优解.

不确定规划理论与方法在智能决策、不确定信息管理等应用领域可以大显身手.目前已被应用到诸多领域,例如,水库调度[21]、生产过程[21]、存储系统[14,37]、资金预算[13,15]、网络优化[42]、车辆调度[44]、系统可靠性[70～

72]、作业排序[58～63]、设备选址问题[73]等.这些课题的研究一方面反映了不确定规划在实际应用中行之有效,另一方面也衬托出不确定规划的研究背景,为不确定规划的研究提供了动力源泉.4　不确定理论研究的新课题

不确定理论是在概率论、模糊数学、粗糙集理论分支基础之上发展而形成的新型交叉综合学科.不确定理论的研究目的是建立研究不确定性的一套公理化的数学系统,为处理现实世界中的不确定信息(包括随机信息、模糊信息、粗糙信息、模糊随机信息等)提供严谨的数学工具.特别是面向不确定环境中的优化问题提供理论依据和方法指导.不确定理论的研究内容涵盖了概率论、可能性理论、粗糙集论,并且提供了在这些分支学科的交叉领域进行研究的公共平台.

不确定理论是研究各种不确定现象量化特性的数学理论.这方面的研究既有理论意义又有实践意义.不确定理论的研究已经取得比较丰硕的成果和实质性的进展.当然,作为一个与时俱进的新型学科发展方向,此领域中仍然存在着许多尚待探索的课题.随着研究的不断深入,很多悬而未决问题将迎刃而解,新的问题也会不断涌现.这正是不确定理论的活力和魅力之所在.

从不确定理论内容的延伸来讲,需要更深入的数学理论分析.我们已经在上下界估计、各种确定或清晰的等价类等课题方面开展了广泛的研究工作,同时也取得了一批成果.但是,从不确定理论的纵向

第3期彭　锦,等:

不确定理论及其公理化体系・7・发展来说,有些工作刚刚起步,尚待深化.比如,独立不确定变量序列的收敛性、各种形式的强(弱)大数〗定律、独立不确定变量和的极限、中心极限定理、机会分布的分解定理、条件期望、条件机会、鞅理论等.此外,由双重不确定理论走向更复杂的多重不确定理论的道路上还有许多探索性的工作需要完成.

从不确定规划模型的扩充来讲,我们以往较多讨论了不确定环境下的单目标规划、多目标规划以及目标规划,当然还可以进一步研究不确定环境下的动态规划和多层规划.从另外一个侧面来看,寻求不确定规划的最优性条件或建立对偶理论以及进行灵敏度分析,都是具有诱惑力的课题.

从不确定规划计算的效率来讲,需要设计更有效的基于启发式算法的求解算法.尽管我们设计的基于各种模拟的遗传算法、将神经元网络嵌入遗传算法的混合智能算法成功地求解了一系列不确定规划模型,但为适应求解更大规模的问题之需要,有必要在算法设计方面作进一步的改善或进行新的尝试.算法的优化是永无止境的.

从不确定理论的应用角度看,除了前面已经提及到的应用领域之外,可以进一步考虑不确定规划在金融工程、风险管理、市场预测、排队系统、环境保护、质量控制等领域的应用.5　结束语

纵观科学的众多分支无一不是遵从从“常量系统”走向“变量系统”、从“线性系统”走向“非线性系统”、从“确定系统”走向“不确定系统”的范式.人们认识信息、把握信息的规律往往是从确定到不确定,又从不确定到确定,循环往复,不断上升.不确定性意味着机遇,不确定性意味着挑战.可以预见,由确定性转向不确定、由单重不确定性转向多重不确定性的研究必将成为学术热点.

参考文献:

[1]　BillingsleyP.ProbabilityandMeasure[M].NewYorkSonsrd[2]　BirgeJR,LouveauxF.Introductionto].:Springer,1997.

[3]　CharnesA,CooperWW.pJ].anagementScience,1959,6(1):73～79.

[4]　DantzigGB.L[JManagementScience,1955,1:197～206.

[5]　DantzigGingons[M].NJ:PrincetonUniversityPress,1963.

[6]　DuboisD,.SetsandSystems,TheoryandApplications[M].NewYork:AcademicPress,1980.

[7]　DuboisD,PradeH.Possibilitytheory:AnApproachtoComputerizedProcessingofUncertainty[M].NewYork:

PlenumPress,1988.

[8]　FishmanGS.MonteCarlo:Concepts,Algorithms,andApplications[M].NewYork:Springer2Verlag,1996.

[9]　GenM,ChengR.GeneticAlgorithms&EngineeringOptimization[M].NewYork:Wiley,2000.

[10]　GoldbergDE.GeneticAlgorithmsinSearch,OptimizationandMachineLearning[M].MA:Addison2Wesley,

1989.

[11]　HollandJH.AdaptationinNaturalandArtificialSystems[M].AnnArbor:UniversityofMichiganPress,1975.

[12]　IwamuraK,LiuB.Ageneticalgorithmforchanceconstrainedprogramming[J].JournalofInformation&Opti2

～47.mizationSciences,1996,17(2):40

[13]　IwamuraK,LiuB.Chanceconstrainedintegerprogrammingmodelsforcapitalbudgetinginfuzzyenvironments

[J].JournaloftheOperationalResearchSociety,1998,49(8):854～860.

[14]　IwamuraK,LiuB.Stochasticoperationmodelsforopeninventorynetworks[J].JournalofInformation&Opti2

～363.mizationSciences,1999,20(3):347

[15]　IwamuraK,LiuB.Dependent2chanceintegerprogrammingappliedtocapitalbudgeting[J].JournaloftheOper2

～127.ationsResearchSocietyofJapan,1999,42(2):117

[16]　KallP,WallaceSW.StochasticProgramming[M].Chichester:Wiley,1994.

[17]　KaufmanA,GuptaMM.FuzzyMathematicalModelsinEngineeringandManagementScience[M].2nded.,

North2Holland,Amsterdam,1991.

[18]　KlirGJ,FolgerTA.FuzzySets,Uncertainty,andInformation[M].NewJersey:Prentice2Hall,Englewood

Cliffs,1980.

[19]　KwakernaakH.Fuzzyrandomvariables-I:definitionsandtheorems[J].InformationSciences,1978,15:1～29.

[20]　KwakernaakH.Fuzzyrandomvariables-II:algorithmsandexamplesforthediscretecase[J].InformationSci2

～278.ences,1979,17:253

[21]　LiuB.UncertainProgramming[M].NewYork:Wiley,1999.

・8・黄　冈　师　范　学　院　学　报第24

卷

[22]　LiuB.TheoryandPracticeofUncertainProgramming[M].Heidelberg:Physica2Verlag,2002.

[23]　LiuB.UncertaintyTheory:AnIntroductiontoitsAxiomaticFoundations[M].Heidelberg:Springer2Verlag,

2004.

[24]　LiuB.Dependent2chancegoalprogramminganditsgeneticalgorithmbasedapproach[J].Mathematicaland

～52.ComputerModelling,1996,24(7):43

[25]　LiuB.Dependent2chanceprogramming:Aclassofstochasticprogramming[J].Computers&Mathematicswith

～104.Applications,1997,34(12):89

[26]　LiuB.Stackelberg2Nashequilibriumformultilevelprogrammingwithmultiplefollowersusinggeneticalgorithms

[J].Computers&MathematicswithApplications,1998,36(7):79～89.

[27]　LiuB.Minimaxchanceconstrainedprogrammingmodelsforfuzzydecisionsystems[J].InformationSciences,

1998,112(124):25～38.

[28]　LiuB.Dependent2chanceprogrammingwithfuzzydecisions[J].IEEETransactionsonFuzzySystems,1999,7

(3):354～360.

[29]　LiuB.Dependent2chanceprogramminginfuzzyenvironments[J].FuzzySetsandSystems,2000,109(1):97～

106.

[30]　LiuB.Uncertainprogramming:Aunifyingoptimizationtheoryinvariousuncertainenvironments[J].Applied

～234.MathematicsandComputation,2001,120(123):227

[31]　LiuB.Fuzzyrandomchance2constrainedprogramming[J].IEEETransactionsonFuzzySystems,2001,9(5):713

～720.

[32]　LiuB.Fuzzyrandomdependent2chanceprogramming[J].IEEETransactionsonFuzzySystems,2001,9(5):721

～726.

[33]　LiuB.Towardfuzzyoptimizationwithoutmathematicalambiguity[J].FuzzyOptimizationandDecisionMaking,

2002,1(1):43～63.

[34]　LiuB.Randomfuzzydependent2chanceprogramminganditsintelligent[].InformationSci2

～271.ences,2002,141(324):259

[35]　LiuB.Inequalitiesandconvergenceconceptsoffuzzyand[.tionandDecision

～100.Making,2003,2(2):87

[36]　LiuB,KuC.Dependent2on[J].JournalofSystemsEngineering&

47Electronics,):[37]　LiuB,OonCandOptimalInventoryProcesses[M].Boston:KluwerAcademicPublish2

ers,1999.

[38]　LiuB,EAO.Fuzzycriterionsetandfuzzycriteriondynamicprogramming[J].JournalofMathematical

～311.AnalysisandApplications,1996,199(1):293

[39]　LiuB,IwamuraK.Modellingstochasticdecisionsystemsusingdependent2chanceprogramming[J].European

～203.JournalofOperationalResearch,1997,101(1):193

[40]　LiuB,IwamuraK.Chanceconstrainedprogrammingwithfuzzyparameters[J].FuzzySetsandSystems,1998,

94(2):227～237.

[41]　LiuB,IwamuraK.Anoteonchanceconstrainedprogrammingwithfuzzycoefficients[J].FuzzySetsandSys2

～233.tems,1998,100(123):229

[42]　LiuB,IwamuraK.Topologicaloptimizationmodelsforcommunicationnetworkwithmultiplereliabilitygoals

[J].Computers&MathematicswithApplications,2000,39:59～69.

[43]　LiuB,IwamuraK.Fuzzyprogrammingwithfuzzydecisionsandfuzzysimulation2basedgeneticalgorithm[J].

～262.FuzzySetsandSystems,2001,122(2):253

[44]　LiuB,LaiKK.Stochasticprogrammingmodelsforvehicleroutingproblems[J].AsianInformation2Science2

～28.Life,2002,1(1):13

[45]　LiuB,LiuYK.Expectedvalueoffuzzyvariableandfuzzyexpectedvaluemodels[J].IEEETransactionson

～450.FuzzySystems,2002,10(4):445

[46]　LiuYK,LiuB.Fuzzyrandomvariables:Ascalarexpectedvalue[J].FuzzyOptimizationandDecisionMaking,

2003,2(2):143～160.

[47]　LiuYK,LiuB.Expectedvalueoperatorofrandomfuzzyvariableandrandomfuzzyexpectedvaluemodels[J].

～215.InternationalJournalofUncertainty,Fuzziness&Knowledge2BasedSystems,2003,11(2):195

[48]　LiuYK,LiuB.Randomfuzzyprogrammingwithchancemeasuresdefinedbyfuzzyintegrals[J].Mathematical

～524.andComputerModelling,2002,36(425):509

[49]　LiuYK,LiuB.Aclassoffuzzyrandomoptimization:Expectedvaluemodels[J].InformationSciences,2003,

155(122):89～102.

第3期彭　锦,等:

不确定理论及其公理化体系・9・

[50]　LiuYK,LiuB.Onminimum2riskproblemsinfuzzyrandomdecisionsystems[J].Computers&OperationsRe2search,tobepublished.

[51]　LiuYK,LiuB.Primalfuzzyprogrammingandinversefuzzyprogrammingproblems[A].Proceedingsofthe

2003IEEEInternationalConferenceonFuzzySystems,St.Louis,USA,May25～28,2003.337～341.

[52]　MichalewiczZ.GeneticAlgorithms+DataStructures=EvolutionPrograms[M].Berlin:Springer2Verlag,3rd

ed.,1996.

[53]　PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofInformationandComputerSciences,1982,11(5):341～356.

[54]　PawlakZ.Roughsetsandfuzzysets[J].FuzzysetsandSystems,1985,17:99～102.

[55]　PawlakZ.RoughSets:TheoreticalAspectsofReasoningaboutData[M].Dordrecht:KluwerAcademicPublish2

ers,1991.

[56]　PawlakZ,SlowinskiR.Roughsetapproachtomulti2attributedecisionanalysis[J].EuropeanJournalofOpera2

～459.tionalResearch,1994,72:443

[57]　PawlakZ.Roughsetapproachtoknowledge2baseddecisionsupport[J].EuropeanJournalofOperationalRe2

～57.search,1997,99:48

[58]　PengJ,LiuB.Stochasticgoalprogrammingmodelsforparallelmachineschedulingproblems[J].AsianInforma2

～266.tion2Science2Life,2002,1(3):257

[59]　PengJ,IwamuraK.Flowshopschedulingmodelswithdatarepresentedbyroughvariables[J].TsinghuaSci2

～85.encesandTechnology,2003,8(1):80

[60]　PengJ,IwamuraK.Threetypesofmodelsforstochasticschedulingwithfuzzyinformation[J].Journalof

～504.Statistics&ManagementSystems,2003,6(3):493

[61]　PengJ,SongK.Expectedvaluegoalprogrammingmodelsforfuzzyschedulingproblem[A].Proceedingsofthe

TenthIEEEInternationalConferenceonFuzzySystems,Melbourne,Australia,December225,2001,292～295.

[62]　PengJ,SongK.Fuzzyflow2shopschedulingmodelsbasedonmeasure[.oftheIEEE

.InternationalConferenceonFuzzySystems,St.Louis,MU,ay2[63]　PengJ,LiuB.ParallelmachineschedulingmodelswesJrmonSciences,tobe

published.

[64]　PengJ,LiuB.B[J].Computer&IndustrialEngeneering,tobe

published.

[65]　PuriM,R.hetofnormalityforfuzzyrandomvariables[J].TheAnnalsofProbability,

1985,13:～.

[66]　PuriML,RalescuDA.Fuzzyrandomvariables[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,1986,

114:409～422.

[67]　ShapiroAF.Themergingofneuralnetworks,fuzzylogic,andgeneticalgorithms[J].Insurance:Mathematics

～131.andEconomics,2002,31(1):115

[68]　ZadehLA.Fuzzysets[J].InformationandControl,1965,8:338～353.

[69]　ZadehLA.Fuzzysetsasabasisforatheoryofpossibility[J].FuzzySetsandSystems,1978,1:3～28.

[70]　ZhaoR,LiuB.Stochasticprogrammingmodelsforgeneralredundancyoptimizationproblems[J].IEEETrans2

～191.actionsonReliability,2003,52(2):181

[71]　ZhaoR,LiuB.Renewalprocesswithfuzzyinterarrivaltimesandrewards[J].InternationalJournalofUncer2

～586.tainty,Fuzziness&Knowledge2BasedSystems,2003,11(5):573

[72]　ZhaoR,LiuB.Redundancyoptimizationproblemswithuncertaintyofcombiningrandomnessandfuzziness[J].

EuropeanJournalofOperationalResearch,tobepublished.

[73]　ZhouJ,LiuB.Newstochasticmodelsforcapacitatedlocation2allocationproblem[J].Computers&Industrial

～125.Engineering,2003,45(1):111

[74]　ZimmermannHJ.FuzzySetTheoryanditsApplications[M].Boston:KluwerAcademicPublishers,1985.

[75]　方述诚,汪定伟.模糊数学与模糊优化[M].北京:科学出版社,1997.

[76]　刘宝碇,赵瑞清.随机规划与模糊规划[M].北京:清华大学出版社,1998.

[77]　刘宝碇,赵瑞清,王纲.不确定规划及应用[M].北京:清华大学出版社,2003.

[78]　刘宝碇,彭锦.不确定理论教程[M].北京:清华大学出版社,2004.

[79]　彭锦,刘宝碇.不确定规划的研究现状与发展前景[J].运筹与管理,2002,11(2):1～10.