上教版高二数学教案--7.4数学归纳法2
数学归纳法(2)
教学目的:1.进一步理解“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤
一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式;理解为证n =k +1成立,必须用n =k 成立的假设;掌握为证n =k +1成立的常见变形技巧。
2. 掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质;培养学生对于数学内在美的感悟能力。
教学重点:使学生理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法的证题步骤
教学难点:如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设 授课类型:新授课
教学过程:
一、复习――归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,数学归纳法,数学归纳法的证明步骤
二、讲解范例:
222例1:用数学归纳法证明1+2+3++n 2=n (n +1)(2n +1) 61⨯2⨯3=1,等式成立。 6
k (k +1)(2k +1) 222+k 2= (2)假设当n =k 时,等式成立,1+2+3+ 6那么当n =k +1时,证明:(1)当n =1时,左边=1=1,右边=2
12+22+32++k 2+(k +1) 2
k (k +1)(2k +1) k (k +1)(2k +1) +6(k +1) 2
2=+(k +1) =66
(k +1)(2k 2+k +6k +6) (k +1)(k +2)(2k +3) ==66
(k +1)[(k +1) +1][2(k +1) +1]=6
等式也成立。
222由(1)(2)得1+2+3++n 2=n (n +1)(2n +1) *对于任意n ∈N 都成立。 6例2:用数学归纳法证明 1⨯4+2⨯7+3⨯10++n (3n +1) =n (n +1) 2
2证明:(1)当n =1时,左边=1⨯4=4,右边=1⨯2=4,等式成立。
(2)假设当n =k 时,等式成立,即1⨯4+2⨯7+3⨯10+
那么当n =k +1时, +k (3k +1) =k (k +1) 2
1⨯4+2⨯7+3⨯10++k (3k +1) +(k +1)[3(k +1) +1]
=k (k +1) 2+(k +1)[3(k +1) +1]
=(k +1)[k (k +1) +3(k +1) +1]=(k +1)(k 2+4k +4)
=(k +1)[(k +1) +1]2
等式也成立。
由(1)(2)得1⨯4+2⨯7+3⨯10+
例3:用数学归纳法证明:4
证明:(1)当n =1时,42n +1+n (3n +1) =n (n +1) 2对于任意n ∈N *都成立。 *+3n +2能被13整除。(n ∈N ) 2n +1+3n +2=43+33=91能被13整除,命题成立。
2k +1 (2)假设当n =k 时,4+3k +2能被13整除,那么当n =k +1时,
42(k +1) +1+3k +1+1=42k +1+2+3k +1+1=16⋅42k +1+3⋅3k +1=13⋅42k +1+3(42k +1+3k +1)
由假设4
以42k +1+3k +2能被13整除,得3(42k +1+3k +1) 能被整除,又13⋅42k +1能被13整除,所2(k +1) +1+3k +1+1能被13整除,命题也成立。
*由(1)(2)得原命题对任意n ∈N 都成立。
三、课堂练习:
1.书P34/2
2.用数学归纳法证明-1+3-5+(-1)(2n -1)=(-1)n , n n
当n =1时,左边应为_____________.
3.判断下列推证是否正确,并指出原因.
用数学归纳法证明:2+4+6+ +2n =n +n +1
证明:假设n =k 时,等式成立
就是 2+4+6+ +2k =k +k +1成立
那么2+4+6+ +2k +2(k +1)
=k 2+k +1+2(k +1)=(k +1)+(k +1)+1 222
这就是说当n =k +1时等式成立,
所以n ∈N 时等式成立.
四、小结 :用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项:明确首取值n 0并验证真假(必不可少)。“假设n =k 时命题正确”并写出命题形式。
分析“n =k +1时”命题是什么,并找出与“n =k ”时命题形式的差别,弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等。可明确为:两个步骤、一个结论;递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。
五、课后作业:书P34/1,2,3 练习册P13习题7.5(A )1,2,3
六、板书设计(略)
七、课后记: *