高考数学常考知识点之概率与统计

概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计．

数学探索?版权所有www.delve.cn总体期望值和方差的估计．

数学探索?版权所有www.delve.cn考试要求：

数学探索?版权所有www.delve.cn（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．

数学探索?版权所有www.delve.cn（2）会用样本频率分布估计总体分布．

数学探索?版权所有www.delve.cn（3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12. 概率与统计  知识要点

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则

也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，

是连续函数或单调函数，则

也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：

ξ取每一个值

的概率

，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

…

…

P

…

…

有性质①

；  ②

.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：

即

可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：

[其中

]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作

～B（n·p），其中n，p为参数，并记

.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“

”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为

，事A不发生记为

，那么

.根据相互独立事件的概率乘法分式：

于是得到随机变量ξ的概率分布列.

1

2

3

…

k

…

P

q

qp

…

…

我们称ξ服从几何分布，并记

，其中

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取

件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为

.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定

＜

时

，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为

.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数

的分布列可如下求得：把

个产品编号，则抽取n次共有

个可能结果，等可能：

含

个结果，故

，即

～

.[我们先为k个次品选定位置，共

种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，

，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

…

P

…

…

则称

为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量

的数学期望：

①当

时，

，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当

时，

，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当

时，

，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

ξ

0

1

P

q

p

⑵单点分布：

其分布列为：

.

⑶两点分布：

，其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布：

其分布列为

～

.（P为发生

的概率）

⑸几何分布：

其分布列为

～

.（P为发生

的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为

时，则称

为ξ的方差. 显然

，故

为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

越小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量

的方差

.（a、b均为常数）

ξ

0

1

P

q

p

⑵单点分布：

其分布列为

⑶两点分布：

其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布：

⑸几何分布：

5. 期望与方差的关系.

⑴如果

和

都存在，则

⑵设ξ和

是互相独立的两个随机变量，则

⑶期望与方差的转化：

⑷

（因为

为一常数）

.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间

内的概率等于它与x轴.直线

与直线

所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数

叫做ξ的密度函数，由于“

”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：

. （

为常数，且

），称ξ服从参数为

的正态分布，用

～

表示.

的表达式可简记为

，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若

～

，则ξ的期望与方差分别为：

.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线

对称.

③当

时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当

＜

时，曲线上升；当

＞

时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当

一定时，曲线的形状由

确定，

越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为

，则称ξ服从标准正态分布. 即

～

有

，

求出，而P（a＜

≤b）的计算则是

.

注意：当标准正态分布的

的X取0时，有

当

的X取大于0的数时，有

.比如

则

必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若

～

则ξ的分布函数通

常用

表示，且有

.

4.⑴“3

”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布

.②确定一次试验中的取值

是否落入范围

.③做出判断：如果

，接受统计假设. 如果

，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3

”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布

则 ξ落在

内的概率为99.7％ 亦即落在

之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.