26解直角三角形
解直角三角形
考纲要求:1、直角三角形的概念。(A)
2、直角三角形的性质和判定。(C)
3. 勾股定理及其逆定理。(C)
考试重点:1、勾股定理及其逆定理
2、锐角三角函数
考试难点:解直角三角形的实际应用
课时安排:1课时
考点梳理:1.定义.
由直角三角形中已知的边和角,计算出未知的边和角的过程,叫做解直角三角形.
2.解直角三角形依据.
图6-32,直角三角形ABC的六个元素(三条边,三个角),a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,除直角C外,其余五个元素之间的关系如下:
(1)三边之间的关系:
a2+b2=c2(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°.
(3)边角之间的关系:
A的对边ac; sinA=斜边A的邻边b斜边c; cosA=
A的对边aA的邻边b; tanA=
A的邻边bA的对边a; cotA=
这三个关系式中,每个关系式都包含三个元素,知其中两个元素就可以求出第三个元素
.(1)是已知两边求第一边;(2)是已知一锐角求另一角;(3)是已知两边求锐角,已知一边一角求另一边.
这些关系式是解直角三角形的依据,已知其中两个元素
(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素.
当堂训练: 1.如图,防洪大堤的横截面是梯形ABCD,其中AD∥
BC,α=60°,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水
面坡角β=45°.若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)
2如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.
解:设CD长为x cm,由折叠得△ACD≌△AED.
∴AE=AC=6 cm,∠AED=∠C=90°,DE=CD=x cm.
在Rt△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,
∴AB=AC+BC6+8=10(cm).
∴EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x) cm, 在Rt△DEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2.
∴x2+42=(8-x)2,解得x=3.
∴CD的长为3 cm.
3如图所示,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14 km,C,D为两村庄(可视为两个点),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=8 km,CB=6 km,现要在铁路上建一个土特产品收购站E,使C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?
分析:因为DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,在AB上找一点可构
成两个直角三角形,我们可想到通过勾股定理列方程进行求解.
解:设E站应建在距A站x km处,
根据勾股定理有82+x2=62+(14-x)2,解得x=6.
所以E站应建在距A站6 km处.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,若DE=2,CD=25,则BE的长为__________.
∵点D是AB的中点,∠ACB=90°,DE⊥AC,
11∴CD=2,DE=2,∴AB=45,BC=4.
1在Rt△ACB中,AC=AB-BC=8,∴CE=2AC=4.
∵CE=BC=4,∠ACB=90°,∴BE=42.
5.如图,已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为
__________.
根据题意易知CD=AC=2,AD=DE=(2)2=2,EF=AE=22,AF=FG=22=4,AG=42,所以所求图形的面积S=S
111+S+S=×1×1+(2+22)×2+△ABC梯形ACDE梯形AEFG222×2
131+42)×2=23+12=2
6如图所示,在多边形ABCD中,AB=2,CD=
1,∠A=45°,∠B=∠D=90°,求多边形ABCD的面积.
【答案与解析】
解:延长AD、BC相交于点E
∵ ∠B=90°,∠A=45°
∴ ∠E=45°,∴ AB=BE=2
∵ ∠ADC=90°,∴ ∠DCE=45°,
∴ CD=DE=1 ∴ S△ABE222,S△DCE11.
∴ S四边形ABCDS△ABES△DCE
7如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,
BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,121122132. 22
求CD的长.
解:设CD=x,由折叠得△ACD≌△AED.
∴AE=AC=6 cm,∠AED=∠C=90°,DE=CD=x.
在Rt△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,
∴AB=AC+BC6+8=10(cm).
∴EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x) cm, 在Rt△DEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2.
∴x2+42=(8-x)2,解得x=3 cm.
∴CD的长为3 cm.
8如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13,CB=12,求四边形ABCD的面积.
解:在Rt△ABD中,BD=AD+AB4+3=5,
在△BCD中,CD=13,CB=12,BD=5,
∴CB2+BD2=CD2.∴∠DBC=90°.
1111∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=2AB·AD+2BC·BD=2×3×4+2
×12×5=6
+30=36.
9如图所示,在△ABC
中,∠A=45°,
ACAB1,求BC的长.
解:过点C作CD⊥AB于D,
则△ACD和△BCD均为直角三角形.
在Rt△ACD中,∠A=45°,
∴ △ACD为等腰直角三角形,
∴ AD=CD,
由勾股定理,得AD2CD2AC2.
又∵
AC,∴ AD=CD=1.
∴ BD=AB-AD
在Rt△BCD中,
由勾股定理,得CD2BD2BC2,
即BC21224,∴ BC=2.
10已知直角三角形斜边长为2
,周长为2
【思路点拨】欲求Rt△的面积,只需求两直角边之积,而由已知得
结合勾股定理又得其平方和为4,于是可转化为用方程求解.
【答案与解析】
解:设这个直角三角形的两直角边长分别为a、b,则
ab22ab①
即 22222ab2ab4②将①两边平方,得a22abb26 ③
1
2
1因此这个直角三角形的面积为. 2③-②,得2ab2,所以ab 12
如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC
重合,点B落在点F 处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.
6
解:设AB=x,则AF=x,
∵ △ABE折叠后的图形为△AFE,
∴ △ABE≌△AFE.BE=EF,
EC=BC-BE=8-3=5,
在Rt△EFC中,
由勾股定理解得FC=4,
在Rt△ABC中,x282x4,解得x6.
11如图所示,在一棵树的10m高的B处有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处,另外一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离的直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高? 2
【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30m,另一只猴子从B→D→A也共走了30m,并且树垂直于地面,于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决.
解:设树高CD为x,则BD=x-10,AD=30-(x-10)=40-x,
在Rt△ACD中,202x2(40x)2,
解得:x=15.
答:这棵树高15m.
12如图,Rt△ABC中,∠C=90º,AD、BE分别是BC、AC边上的中线,
AD=2,BE=5,求AB的长.
解:设AE=CE=x,CD=BD=y,利用Rt△ACD和Rt△BCE列方程:
22x34xy402 解得y2, 2x4y25
∴AC=6,BD=4,∴AB
=
13将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边
与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动点.
(1)当点P在∠ABC的平分线上时,求DP的长;
(2)当点PD=BC时,求此时∠PDA的度数.
解:(1)连接DP,作DH⊥AC,
在Rt△ABC中,AB=2,∠CAB=30°,∴BC=1,AC
∵BP是∠ABC的角平分线,
∴∠CBP=30°,CP
. 1
2在Rt△ADC中,DH=AH=HC=AC
=
∴HP
=, 236, 2
DP
. (2)当PD=BC=1时,P点的位置可能有两处,分别为P1,P2,
在Rt△DHP
1中,HP11, 2
所以∠HDP1=30°,∠PDA=30°+1
45°=75°;
同理,∠P2DA=45°-30°=15°.
14如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD
.
(1)求∠B的度数;
(2)求边AB与BC的长.
解:(1)在Rt△ACD中,
∵cos∠CAD
= AC,∠CAD为锐角, AD∴∠CAD=30°,∠BAD=∠CAD=30°,
即∠CAB=60°.∴∠B=90°-∠CAB=30°.
(2)在Rt△ABC中,∵sin B=
∴AB=AC, ABAC8BC=16.又cos B=, sinBsin30AB
∴BC=AB·cos B=16
15如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退20 m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度
1.732,结果保留一位小数).
解:根据题意可知:∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=20 m.
在Rt△ABD中,由∠BAD=∠BDA=45°,得AB=BD.
在Rt△BDC中,由tan∠BCD=
=AC,
-BD=20,
∴BD
=
BD,得BC
.又BC-ABBC27.3. ∴古塔BD的高度约为27.3 m.
作业布置:1、《试题研究》P84~90
2、《火线100天》P74~76
教学反思: