几何证明选讲内容高考题选
1. 几何证明选讲
例1. (全国卷新课标I 文理科)如图1,四边形ABCD 是O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且
图1
CB =CE .
(Ⅰ) 证明:∠D =∠E .
(Ⅱ)设AD 不是O 的直径,AD 的中点为M ,且
MB =MC ,证明:∆ADE 为等边三角形.
B 、D 四点共圆,C 、【解析】(Ⅰ) 由题设知A 、所以∠D =∠CBE ,由已知得∠CBE =∠E ,
所以∠D =
∠E
(Ⅱ)设BC 中点为N ,连接MN , 则由MB =MC , 知MN ⊥BC 所以O 在MN 上,又AD 不是O 的直径,M 为AD 中点,故OM ⊥AD , 即MN ⊥AD ,所以AD //BC , 故
∠A =∠CBE , 又∠CBE =∠E ,故∠A =∠E . 由(Ⅰ) 知∠D =∠E ,所以∆ADE 为等边
三角形.
【分析】主要查考圆的基本性质、圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质,考查考生逻辑推理能力及转化与化归的思想.
例2(全国卷新课标II 文理科)如图2,P 是O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线PBC 与O 相交于点B 和点C ,PC =2PA ,
D 为PC 的中点,AD 的延长线交O 于点E .
证明:(Ⅰ) BE =EC
(Ⅱ)AD ⋅DE =2PB 【解析】(Ⅰ)
2
E
图2
PC =2PA , PD =DC , ∴PA =PD ,
∆PAD 为等腰三角形.
连接AB ,则∠PAB =∠D EB =β, ∠B CE =∠B AE =α
∠PAB +∠BCE =∠PAB +∠BAD =∠PAD =∠PDA =∠DEB +∠DBE ,
∴β+α=β+∠DBE , α=∠DBE ,即∠BCE =∠DBE ,所以BE =EC .
(Ⅱ)
AD ⋅DE =BD ⋅DE , PA 2=PB ⋅PC , PD =DC =PA ,
∴BD ⋅DC =(PA -PB ) PA =PB ⋅PC -PB ⋅PA =PB (⋅PC -PA ) =PB ⋅PA =PB ⋅2PB =PB 2
【点评】本题主要考查圆周角定理的推论、相交弦定理及切割线定理. 在以圆为载体的三角形和四边形的问题中,涉及到相交弦的问题就考虑用相交弦定理,设及到切线和割线的问题就考虑用切割线定理.
例3.(辽宁文理科)如图3,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG =PD ,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F . (Ⅰ)求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ)若AC =BD ,求证:AB =ED . 【解析】(Ⅰ)延长PD 到D ',
A
P
PD =PG ,
∴∠ADP =∠PGD =∠FGA ,PD 为切线,∴∠D 'DB =∠FAG .
∠D 'DB +∠BDA +∠ADP =π,∴∠FAG +∠BDA +∠FGA =π,
图3
∠BDA +
(Ⅱ)
π
2
=π,∴∠BDA =
π
2
,所以AB 为直径.
BD =AC ,∴∠BAD =∠FAG =∠AEC ,在∆ACE 中,AF ⊥EG ,
∴∠EAC =
π
2
⇒∠EAD =
π
2
,∴ED 为直径,∴AB =ED .
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形全等、弦切角定理等知识,考查学生推理论证能力.
D ABC 是圆的内接三角形,ÐBAC 例4.(天津文7理6)如图4,
的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F . 在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分ÐCBF ;②FB =FD FA ;③AE ? CE ④AF ? BD
2
B
F
图4
BE DE ;
AB BF .
则所有正确结论的序号是( )
(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④
【答案】D
【解析】由弦切角定理得? FBD
? EAC BAE ,又? BFD AFB ,所以
D BFD
又? FBD
D AFB ,所以
BF BD
=,即AF ? BD AF AB
AB BF ,排除A 、C.
? EAC DBC ,排除B.
【点评】本题背景新颖,考查弦切角定理、三角形的角平分线性质、相交弦定理、切割线定理,考查考生的推理论证能力.
例5.(2014陕西文理科)如图5,∆ABC 中,BC =6,以BC 为直径的半圆分别交AB ,AC 于点E , F ,若AC =2AE , 则EF = 【答案】3.
A
∴∆AEF 与【解析】由圆内接四边形对角互补可得∠AEF =∠ACB ,
∆ACB 相似,∴
EF AE 1==∴EF =3 CB AC 2
B
图5
(原稿无答案, 麻烦王老师检查)
【点评】考查圆内接四边形的性质,相似三角形的判断及性质.
例6.(湖南理科)如图6,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO ⊥
BC ,
A
图6
AB =
BC =O 的半径等于________.
【解析】如图7,设线段AO 交BC 于点D ,延长AO 交圆与另外一点
A
E
E ,因为AO ⊥BC 且AO
为圆半径,所以
BD =DC =由∆ABD 的勾股定理可得
AD =1,由双割线定理可得
BD :DC =AD :DE ⇒DE =2,则直径AE =3⇒r =
图7
故填
3
, 2
3. 2
, 【点评】考查圆的性质、垂径定理、相交弦定理、直角三角形的性质,考查转化与化归的思想,数形结合的思想和方程的思想.
P 为例7.(湖北理科)如图8,O 外一点,过P 点作O
B
的两条切线,切点分别为A ,B ,过PA 的中点Q 作割线交
O 于C ,D 两点,若QC =1,CD =3,则
P
图8
PB =_____.
【解析】由切割线定理得
QA 2=QC ⋅QD =1⨯(1+3) =4,所以QA =2,PB =PA =4.
【点评】主要考察切线的性质,切割线定理.
例8.(重庆理科)过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点),再作割线PB ,PC 分别交圆于B ,C ,若PA =6,AC =8,BC =9,则AB =________. 【解析】
ΔPAB 与∆PCA 相似,
PA PB AB 6PB AB
====,∴,PB =3,PC PA CA PB +968
∴AB =4.
【点评】考查切割线定理、相似三角形的性质.
例9.(广东理科)如图9,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且EB =2AE ,AC 与DE 交于点F ,则【解析】显然∆CDF
A
图
9
S ∆CDF
=_______ S ∆AEF
∆AEF ,
∴
CD 2EB +AE 2S ∆CDF
) =() =9. =(AE AE S ∆AEF
【点评】考查平行四边形的性质,三角形相似的判定、及相似三角形的性质.
2. 坐标系与参数方程
x 2y 2
+=1, 例1.(全国卷新课标1文理科)已知曲线C :
49
直线l :⎨
⎧x =2+t
(t 为参数).
⎩y =2-2t
(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;
(Ⅱ)过曲线C 上任意一点P 作与直线l 夹角为30°的直线,交l 于点A , 求PA 的最大值与最小值.
⎧x =2cos θ【解析】(Ⅰ)曲线C 的参数方程为:⎨ (θ为参数),
y =3sin θ⎩
直线l 的普通方程为:2x +y -6=0
(Ⅱ)在曲线C 上任意取一点P (2cosθ,3sin θ) 到l
的距离d =
θ+3sin θ-6, 则|PA |=
4d tan α=,其中为锐角.且. =θ+α-6α(
)0
3sin 30当sin (θ+α)=-1时,|PA
| 当sin (θ+α)=1时,|PA
|. 【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式,直角三角形的边角关系,三角函数的相关知识. 考查考生转化与化归以及运算求解能力.
例2.(全国卷新课标2文理科)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈⎢0⎥ (Ⅰ)求半圆C 的参数方程
(Ⅱ)设点C 在半圆C 上,半圆C 在D 处的切线与直线l
:垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.
【解析】(Ⅰ)C 的普通方程为(x -1) +y =1(0≤y ≤1)
2
2
⎡π⎤
⎣2⎦
⎧x =1+cos t ,
可得C 的参数方程为⎨(t 为参数,0≤t ≤x ).
y =sin t , ⎩
(Ⅱ)设D 点坐标(1+cos t ,sin t ) . 由(Ⅰ)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l
的斜率相同,tan t =t =
π 3
故D 的直角坐标为(1+
cos
π
π3,sin ) ,即(. 332【点评】考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,圆的参数方程及其应用,直线与圆的位置关系,考查考生的分析转化能力及运算求解能力.
例3.(2014安徽理科)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线l 的参数方程是⎨
⎧x =t +1,
(t 为参数) ,圆C
⎩y =t -3
的极坐标方程是ρ=4cos θ, 则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) (A ) (B )2 (C )2 (D )22 【答案】D
【解析】(原稿中无解析)
【点评】考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程化为普通方程,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式等知识,考查考生的分析转化能力及运算求解能力.
例4.(2014北京理科)曲线⎨
⎧x =-1+cos θ
(θ为参数)的对称中心( )
⎩y =2+sin θ
A. 在直线y =2x 上 B. 在直线y =-2x 上 C. 在直线y =x -1上 D. 在直线y =x +1上 【答案】B
【解析】(原稿中无解析)
【点评】考查圆的参数方程,圆的对称性.
例5.(2014天津理科)在以O 为极点的极坐标系中,圆r =4sin q 和直线r sin q =a 相交于A , B 两点. 若D AOB 是等边三角形,则a 的值为___________.
【答案】3
2
【解析】圆的方程为x +(y -2) =4,直线为y =a . 因为D AOB 是等边三角形,所以其
2
中一个交点坐标为a ) ,代入圆的方程可得a =3. 【点评】考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线与圆的位置关系,在解决有关极坐标的问题时要注意:一、准确使用公式,二、注意方程中的限制条件. 另外,要掌握圆、直线、圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化,其中要注意参数的范围.
⎧x =a -2t
l 例6.(福建理科)已知直线的参数方程为⎨,(t 为参数),圆C 的参数方程为
⎩y =-4t ⎧x =4cos θ
,(θ为常数). ⎨
⎩y =4sin θ
(Ⅰ)求直线l 和圆C 的普通方程;
(Ⅱ)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围. 【解析】(原稿中无答案和解析)
【点评】考查直线与圆的参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系.
解决问题的关键是:掌握公式会转化,注意参数的范围,等价转化记心中,懂得技巧巧应用.
例7.(辽宁文理科)将圆x +y =1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .
(Ⅰ)写出C 的参数方程;
(Ⅱ)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段PP 12的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【解析】(Ⅰ)曲线C 的参数方程:⎨
2
2
⎧x =cos θ
, θ∈[0,π].
y =2sin θ⎩
(Ⅱ)设曲线C 上的点P (cosθ,2sin θ) 在直线上,则2cos θ+2sin θ-2=0,
θ+
π1π
) =1即θ=0或. 所以,A (1,0),B (0,2) ,AB 中点(,1) .
224
所以,垂直AB 的中垂线方程是y -1=
11
(x -) 即4y -3=2x . 22
所以,所求直线的极坐标方程式2ρ cosθ-4ρsin θ+3=0.
【点评】题目立意新颖,从图像变换的角度来考查曲线方程,考查椭圆的参数方程,两直线的位置关系,直线方程的求法,直线的直角坐标方程与参数方程的转化等知识.
例8.(陕西文理科)在极坐标系中,点(2,【答案】1
【解析】(原稿中无解析)
【点评】考查极坐标系的概念,点的极坐标与直角坐标的转化,直线的直角坐标方程与极坐标方程的转化,点到直线的距离公式.
π
) 到直线ρsin(θ-) =1的距离是
66
π
⎧x =2+cos απ
例9.(湖南理科)11. 在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l 与曲线C :,⎨
4y =1+sin α⎩
(α为参数)交于A 、B 两点,且AB =2,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________. 【答案】ρ(cosθ-sin θ) =1
22
【解析】利用sin α+cos α=1可得曲线C 的普通方程为(x -2) +(y -1) =1,
2
2
即曲线C 为直径2r =2的圆,因为弦长|AB |=2=2r ,所以圆心在直线l 上, 又因为直线的斜率为1,所以直线的直角坐标方程为y =x -1, 则根据直角坐标与极坐标之间的转化可得
y =x -1⇒ρsin θ=ρcos θ-1⇒ρ(cosθ-sin θ) =1. 故填ρ(cosθ-sin θ) =1
【点评】本题考查圆的参数方程,直线与圆的位置关系,直线的方程求法,直线的极坐标方程,考查数形结合的思想、转化与化归的思想.
⎧
⎪x =2+⎪
例10.(湖南文科)12
、在平面直角坐标系中,曲线C :⎨
⎪y =1+⎪⎩
t 2
(t 为参数)的 2
普通方程为___________. 【答案】x -y -1=0
⎧
⎪x =2+⎪
【解析】联立⎨
⎪y =1⎪⎩
2,消可得x -y =1⇒x -y -1=0,故填x -y -1=0.
t
【点评】直接考查直线的参数方程与普通方程的转化,加减消元,较为简单.
例11.(江西理科)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y =1-x (0≤x ≤1)的极坐标为( ) A. ρ=
1π1π
,0≤θ≤ B. ρ=,0≤θ≤
cos θ+sin θ2cos θ+sin θ4
C. ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤【答案】A
π
2
D. ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
π
4
【解析】Q y =1-x (0≤x ≤1)∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1) ∴ρ=
1π⎫⎛
0≤θ≤ ⎪
sin θ+cos θ⎝2⎭
【点评】考查极坐标系的概念,直角坐标方程与极坐标方程的转化,注意变量的取值范围,等价变形是关键.
⎧x =⎪
例12.(湖北理科)已知曲线C 1的参数方程是⎨t (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x
⎪y =
3⎩
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2,则C 1与C 2交点的直角坐标为______.
【答案】
)
⎧x =⎪2222
ρ=2【解析】试题分析,
由⎨消去得,由得x =3y x +y =4,x ≥0, y ≥0t ()⎪y =
⎩
22⎧⎪x +y =4
解方程组⎨2得C 1与C
2的交点坐标为2
⎪⎩x =3y
.
)
【点评】考查参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,两曲线的交点坐标的求法.
例13.(重庆理科)15. 已知直线l 的参数方程为⎨
⎧x =2+t
(t 为参数),以坐标原点为极点,
⎩y =3+t
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为
则直线l 与曲线C 的公共点的极经ρ=________.
ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0, 0≤θ
x =2+t , y =3+t , y -x =1
ρsin 2θ-4cos θ=0∴ρ2sin 2θ=4ρcos θ⇒y 2=4x .
联立y 2=4x 与y -x =1得y 2-4y +4=0⇒y =2∴交点(1,2)
,ρ=
所以,ρ=【点评】考查极坐标系的概念,极坐标方程化为直角坐标方程,两曲线的交点坐标的求法.
例14.(广东理科)14. 在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin
2
θ=cos θ和
以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,ρsin θ=1,
则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为【答案】(1,1)
【解析】C 1即(ρsin θ) =ρcos θ,∴其直角坐标方程为:y =x ,C 2的直角坐标方程为:y =1,∴C 1与C 2的交点的直角坐标为(1,1).
【点评】考查极坐标系的概念,极坐标方程化为直角坐标方程,两曲线的交点坐标的求法.
例15.(2014上海理科)7、已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cos θ-4sin θ) =1,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .
2
2
【答案】
1. 3
【解析】 距离是
ρ(3cosθ-4sin θ) =1∴3x -4y =1交于点(,0) . ∴C 与极轴的交点到极点的
13
1. 3
【点评】考查极坐标系的概念,极坐标方程化为直角坐标方程,交点坐标的求法.
3. 不等式选讲
例1.(全国卷新课标I 文理科)24、若a >0, b >
0,且(Ⅰ)求a +b 的最小值;
(Ⅱ)是否存在a , b ,使得2a +3b =6, 并说明理由.
3
3
11
+a b
【解析】(Ⅰ)
=
11+≥,得ab ≥
2,且当a =b =
a b 故a 3+b 3≥=
,且当a =b =时等号成立, ∴a +
b 的最小值为
(Ⅱ)由6=2a +3b ≥ab ≤
3
3
3
,又由(Ⅰ) 知ab ≥2,二者矛盾,所以不存在2
a , b ,使得2a +3b =6成立.
【点评】考查不等式的基础知识及利用均值不等式求最值,考查考生推理论证能力、转化与化归能力.
例2.(2014全国卷新课标II 文理科)24、设函数(f x )=x +(Ⅰ)证明:f (x ) ≥2
(Ⅱ)若f (3)
1
+x -a ,(a >0) a
【解析】(Ⅰ)由a >0,有f (x ) =x +所以f (x )≥2.
111
+x -a ≥x +-(x -a ) =+a ≥2. a a a
(Ⅱ)f (3)=|3+
1
|+|3-a | a
1,由f (3)
5得3
5得
当a >3时, f (3)=a +
当0
综上,a
的取值范围是(
1+5. 22
【点评】考查绝对值三角不等式与均值不等式的应用,考查含绝对值的不等式的解法,考查考生运算求解能力及分类讨论的思想.
例3.(2014全国卷大纲2文科)3. 不等式组⎨
⎧x (x +2) >0
的解集为( )
⎩|x |
A .{x |-21}
【解析】由⎨
⎧x (x +2) >0⎧x >0或x
得⎨,所以0
⎩|x |
【点评】考查含绝对值的不等式的解法,属于容易题.
例4.(2014山东理科)(2)设集合A ={x ||x -1|
x
A B =()
(A )[0,2] (B )(1,3) (C )[1,3) (D )(1,4) 【答案】C 【解析】
A ={x |-1
【点评】考查含绝对值的不等式的解法.
例5.(安徽文理科)(9)若函数f (x )=x +1+2x +a 的最小值为3,则实数a 的值为() (A )5或8 (B )-1或5 (C )-1或 -4 (D )-4或8
【答案】D
【解析】(原稿中无解析)
【点评】考查含绝对值的不等式的解法.
*例6.(安徽理科)(21)设实数c >0,整数p >1,n ∈N .
(Ⅰ)证明:当x >-1且x ≠0时,(1+x ) p >1+px ; (Ⅱ)数列{a n }满足a 1>c ,a n +1
1
p
p -1c -p
,证明:a n >a n +1>c p . =a n +a 1n
p p
1
【解析】(Ⅰ)证:用数学归纳法证明
①当p =2时,(1+x ) 2=1+2x +x 2>1+2x ,原不等式成立. ②假设p =k (k ≥2, k ∈N *) 时,不等式(1+x ) k >1+kx 成立, 当p =k +1时,
(1+x ) k +1=(1+x )(1+x ) k >(1+x )(1+kx ) =1+(k +1) x +kx 2>1+(k +1) x .
所以p =k +1时,原不等式也成立.
p
综合①②可得,当x >-1, x ≠0时,对一切整数p >1,不等式(1+x ) >1+px 均成立.
(Ⅱ)证法1:先用数学归纳法证明a n >c . ①当n =1时,由题设a 1>c 知a n >c 成立.
*
②假设n =k (k ≥1, k ∈N )时,不等式a k >c 成立.
1p
1p 1p
1p
由a n +1=
p -1c -p
a n +a 1易知,a n >0, n ∈N *. n p p
当n =k +1时,
1p
a k +1p -1c -p 1c
=+a k =1+(p -1) . a k p p p a k
11c
由a k >c
>0得-1
由(Ⅰ)中的结论得,
(
a k +1p 1c 1c c
) =[1+(p -1)]p >1+p ⋅(p -1) =p . a k p a k p a k a k
1
p
因此a k p +1>c ,即a k +1>c .
所以n =k +1时,不等式a n >c 也成立.
综合①、②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 均成立. 再由
1p
1p
a n +1a 1c
=1+(p -1) 可得n +1a n a n p a n
1
p
综上所述,a n >a n +1>c , n ∈N *.
p -1c
证法2:设f (x ) =x +x 1-p , x ≥c p ,则x p ≥c ,并且
p p p -1c p -1c
f (x ) =+(1-p ) x -p =(1-p ) >0, x >c p .
p p p x
'
1
1
由此可得,f (x ) 在[c , +∞) 上单调递增, 因而,当x >c 时,f (x ) >f (c ) =c . ①当n =1时,由a 1>c
1
p
1p
1p
1p 1p
>0,即a 1p >c 可知
1
p -1c 1-p 1c a 2=a 1+a 1=a 1[1+(p -1)]c p ,
p p p a 1
从而a 1>a 2>c .
故当n =1时,不等式a n >a n +1>c 成立.
*
②假设n =k (k ≥1, k ∈N )时,不等式a k >a k +1>c 成立,则
1p
1p
1p
当n =k +1时,f (a k ) >f (a k +1) >f (c ) ,即有a k +1>a k +2>c . 所以,n =k +1时,原不等式也成立.
综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >a n +1>c 均成立.
【点评】本题为数列与不等式的综合问题,主要考查数列递推公式、数列迭代、数学归纳法、不等式的性质等知识,考查用放缩法、数学归纳法、导数的性质来证明不等式. 考查考生推理运算求解、综合分析问题的能力;熟练运用数学归纳法,推理证明是解题的关键;本题背
1
p
1p 1p
景常规,入手较宽,深入较难,两小题关联巧妙,也可以运用导数工具,构造函数来进行求解. 第一问实质上是证明贝努力不等式,是人教社B 版4—5教材中的例题,因此在学习复习的过程中要注意教材的使用.
例7.(浙江理科)10、设函数f 1(x ) =x 2,f 2(x ) =2(x -x 2), f 3(x ) =
1
|sin 2πx |,3
a i =
i
, i =0, 1, 2, , 99, 99
记I k =|f k (a 1) -f k (a 0) |+|f k (a 2) -f k (a 1) |+ +|f k (a 99) -f k (a 98) |,
k =1, 2, 3. 则( )
A. I 1
【解析】(原稿中无解析)
【点评】考查绝对值函数求和, 比较大小问题.
例8.(福建理科)21. (3)已知定义在R 上的函数f (x )=x ++x -2的最小值为a . (Ⅰ)求a 的值;
q ,r 为正实数,且p +q +r =a ,求证:p 2+q 2+r 2≥3. (Ⅱ)若p ,
【解析】(原稿中无解析)
【点评】绝对值不等式,柯西不等式的基础知识,考查考生的运算求解能力,化归与转化的数学思想方法.
例9.(2014辽宁理科)12. 已知定义在[0,1]上的函数f (x ) 满足: ①f (0)=f (1)=0;
②对所有x , y ∈[0,1],且x ≠y ,有|f (x ) -f (y ) |
1
|x -y |. 2
若对所有x , y ∈[0,1],|f (x ) -f (y ) |
1111
B . C . D .
8242π
【解析】数形结合法. 据题可知,y =f (x ) 的图像只能在由4个顶点(0,0),(, ) ,(1,0),
11
24
11
(-, -) 组成的平行四边形区域内(不含边界). 具体说,可以只在x 轴上方,或只在x 轴24
1
下方,或在x 轴上下方都有3中情况. 前两种情况容易判断|f (x ) -f (y ) |
4
对第3种情况,若有点P 1(x 1, y 1) 在平行四边形内,则不会存在P 2(x 2, -y 1) 也在平行四边形内. ∴|f (x ) -f (y ) |
11
,即k ≥. 选B.
44
【点评】考查绝对值不等式,考查分类讨论的思想.
例10.(2014辽宁文理科)24. 设函数f (x ) =2|x -1|+x -1,g (x ) =16x 2-8x +1,记
f (x ) ≤1的解集为M ,g (x ) ≤4的解集为N .
(Ⅰ)求M ; (Ⅱ)当x ∈M
N 时,证明:x 2f (x ) +x [f (x )]2≤
1
. 4
4;当x
【解析】(Ⅰ)f (x ) =2|x -1|+x -1. 当x ≥1时,解得1≤x ≤
44∴f (x ) ≤1的解集为[0,]. 所以,M ={x |0≤x ≤.
33
132
(Ⅱ)g (x ) =16x -8x +1≤4, 解得-≤x ≤
44
4133
M =[0,],N =[-, ],M ⋂N =[0,]
3444
x 2f (x ) +x [f (x )]2=x 2[2(1-x ) +(x -1)]+x (1-x ) 2
111
x 2(1-x ) +x (1-x ) 2=x 2-x 3+x (1-2x +x 2) =x -x 2=x (1-x ) ≤(1-) =
224
14
∴x 2f (x ) +x [f (x )]2≤,x ∈[0,].
43
【点评】考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法,二次函数配方法等基本知识. 不等式证明的基本方法. 考查分类讨论的思想和转化与化归的思想,考查分析问题,解决问题的能力.
例11.(陕西文理科)15. 设a , b , m , n ∈R ,且a +b =5,ma +nb =
5的最小值为 .
2
2
【解析】由柯西不等式可得:(a 2+b 2)(m 2+n 2) ≥(ma +
nb ) 2
【点评】考查柯西不等式及不等式的基本性质.
例12.(湖南理科)13、若关于x 的不等式ax -2
【解析】因为等式|ax -2|
⎧
⎩51⎫
5151
3333
⎧5
|-a -2|=3⎪⎪3
⇒a =-3,故填-3. 的根,即⎨
1⎪|a -2|=3⎪⎩3
【考点定位】绝对值不等式,绝对值方程.
【点评】考查绝对值不等式的解法及转化与化归的思想.
例13.(湖南文科)21. 已知函数(Ⅰ)求
f (x ) =x cos x -sin x +1(x >0) .
f (x ) 的单调区间;
(Ⅱ)记x i 为有
f (x ) 的从小到大的第i (i ∈N *)个零点,证明:对一切n ∈N *,
11++22x 1x 2
+
12
'
【解析】(Ⅰ)函数f (x ) 求导可得f (x ) =cos x -x sin x -cos x =-x sin x (x >0) ,
'
*
*
令f (x ) =0可得x =k π(k ∈N ) ,当x ∈(2k π,(2k +1) π)(k ∈N ) 时,sin x >0. 此时f (x ) 0,
*
故函数f (x ) 的单调递减区间为(2k π,(2k +1) π)(k ∈N ) ,
'
*
'
单调递增区间为((2k +1) π,(2k +2) π)(k ∈N *) .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数f (x ) 在区间(0,π) 上单调递减,又f () =0,所以x 1=
ππ
2
2
,
当n ∈N 时,因为f (n π) f ((n +1) π) =[(-1) n n π+1][(-1) n +1(n +1)]
*
(n π,(n +1) π) 上是单调的,故n π
142
=
x 12π23
当 n =2时,
1112
; +
x 1x 2π3
当n ≥3时,
111+++222x 1x 2x 3
++
+
111
+
+
1
] 2
(n -1)
⇒⇒
111+++222x 1x 2x 3111+++222x 1x 2x 3
111
11
++22x 1x 2
1
]
(n -2)(n -1) +(
111162-)]=2(6-)
综上所述,对一切的n ∈N *,都有
+
12
【考点定位】导数 单调性 放缩法 裂项求和
【点评】在知识的交汇处出题,注重学科间的综合,考查学生分析问题、解决问题的能力. 本题以三角函数为载体,考查函数的单调区间,导数、函数的零点以及不等式的证明,利用数形结合的思想、函数与方程的思想以及转化与化归的思想求解函数的综合问题.
例14.(2014江西理科)11(1).对任意x , y ∈R , x -+x +y -1+y +1的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C.
【解析】|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1≥|x -1-x |+|y -1-(y +1)|=1+2=3 【点评】考查绝对值不等式,考查考生转化与化归的能力.
例15.(2014江西文科)15. x ,y ∈R ,若x +y +x -+y -≤2,则x +y 的取值范围为__________. 【答案】0≤x +y ≤2
【解析】 x +x -≥1 且y +y -≥1要使x +x -+y +y -1≤2 只能x +x -+y +y -=2 x +x -=1 y +y -=1 ∴0≤x ≤1 0≤y ≤1 ∴ 0≤x +y ≤2
【点评】文理科姊妹题,同样的考查内容,体现对文理科学生不同的要求立意.
例16.(2014重庆理科)16、若不等式|2x -1|+|x +2|≥a +则实数a 的取值范围是____________. 【答案】[-1, ]
2
1
a +2对任意实数x 恒成立,2
12
1115|+|x -|+|x +2|有最小值f () = 2222
151
∴f (x ) ≥a 2+a +2恒成立,即≥a 2+a +2,即0≥2a 2+a -1,
2221
解得a ∈[-1, ]
2
【解析】
由数轴可知,f (x ) =|x -
【点评】考查绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法,和恒成立问题,考查转化与化归的思想.
例17.(2014广东理科)9. 不等式x -+x +2≥5的解集为 . 【答案】
(-∞, -3][2, +∞)
【解析】数轴上到1与-2距离之和为5的数为-3和2,故该不等式的解集为:
(-∞, -3][2, +∞)
【点评】考查绝对值不等式的解法.
22
例18. (2014江苏)21已知x >0,y >0,证明:(1+x +y )(1+x +y ) ≥9xy
【解析】证明:因为x >0,y >0,
22所以1+x +y ≥>
0,1+x +y ≥>0,
22故(1+x +y )(1+x +y ) ≥xy .
【点评】主要考查均值不等式及不等式的基本性质.
4. 矩阵与变换
例1.(福建理科)21. 已知矩阵A 的逆矩阵A -1= 1
⎝(Ⅰ)求矩阵A ;
(Ⅱ)求矩阵A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【解析】(原稿中无解析)
-1
⎛21⎫
⎪. ⎪2⎭
⎡2⎤⎡-1 2⎤⎡1 1⎤
例2. 已知矩阵 A =⎢向量 a =⎢⎥,x ,y 为实数.若Aa =Ba ,⎥,B =⎢2 -1⎥,
y 1 x⎣⎦⎣⎦⎣⎦
求x +y 的值.
【解析】[选修4-2:矩阵与变换]
本小题主要考察矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力. 满分10分.
⎡-12⎤⎡2⎤⎡-2+2y ⎤⎡11⎤⎡2⎤⎡2+y ⎤
解:由已知,得A α=⎢⎥⎢y ⎥=⎢2+xy ⎥,B α=⎢2-1⎥⎢y ⎥=⎢4-y ⎥.
1x ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1⎧⎡-2+2y ⎤⎡2+y ⎤⎧-2+2y =2+y ⎪x =-
因为A α=B α,所以⎢,故⎨,解得⎨=⎢2, ⎥⎥
⎣2+xy ⎦⎣4-y ⎦⎩2+xy =4-y ⎪⎩y =4
所以x +y =
7. 2
【点评】主要考查矩阵及其逆矩阵的关系,矩阵的特征值及特征向量.
5. 其他内容点缀其中...
例:陕西卷 欧拉公式,上海卷 数列与极限 例1.(2014天津文20理19)(本小题满分14分) 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数. 设集合M ={0,1,2,
, q -1},集合
A ={x x =x 1+x 2q ++x n q n -1, x i ? M , i 1,2, , n }.
(Ⅰ)当q =2,n =3时,用列举法表示集合A ;
(Ⅱ)设s , t ÎA ,s =a 1+a 2q +其中a i , b i ÎM ,i =1,2, +a n q n -1,t =b 1+b 2q ++b n q n -1, , n . 证明:若a n
【解析】本小题主要考查集合的含义和表示,等比数列的前n 项和公式,不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.
n =3时,(Ⅰ)解:当q =2,M ={0,1},A ={x x =x 1+2x 2+4x 3, x i ? M , i
可得,A ={0,1,2,3,4,5,6,7}.
(Ⅱ)证明:由s , t ÎA ,s =a 1+a 2q +1,2,3}. +a n q n -1,t =b 1+b 2q ++b n q n -1,a i , b i ÎM ,i =1,2, , n 及a n
s -t =(a 1-b 1) +(a 2-b 2) q +
? (q
=+(a n -1-b n -1) q n -2+(a n -b n ) q n -1 1) +(q -1) q ++(q -1) q n -2-q n -1 (q -1) (1-q n -1)
1-q -q n -1=-1
【点评】考查集合及其表示方法,数列求和以及不等式的证明方法,考查基本运算能力、推理论证及分析问题、解决问题的能力.
例2.(2014陕西理科)14. 观察分析下表中的数据:
猜想一般凸多面体中,F ,V ,E 所满足的等式是_________.
【解析】(原稿中无解析)
【点评】考查归纳推理,其结论就是选修中的欧拉公式.
21
例3.(2014上海理科)8、设无穷等比数列{a n }的公比为q ,若a 1=lim (a 3+a 4+ ) ,则n →∞q =
【答案】1 2
q ≠1,a 1=lim(a 3+a 4+a 5+n
→∞【解析】a 3a 1q 21-q n -2
+a n ) =lim(a 3) ==n →∞
1-q 1-q 1-q
∴q 2+q -1=0,解得q =>1,或q =(舍去)
【点评】考查数列求和与数列的极限.
22