三角函数常考题型汇总

三角函数

(ωx +ϕ) y =A s i n

一、选择题: 1. “x =

π

4

”是“函数y =sin 2x 取得最大值”的 （ ）

B ．必要不充分条件

A ．充分不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2. 在∆

ABC 中，如果sin A =C ，B =30 ，那么角A 等于 （ ） A ．30 B ．45° C ．60° D ．120° 3. 函数y =1-2sin (x -

2

π

4

) 是 （ ）

A ．最小正周期为π的偶函数 B. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为

ππ

的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数

22

B ．-1

C

4． sin 225︒=（ ）

A ．1 5. 设函数f (x )=

D

． sin θ3cos θ2⎡5π⎤

x +x +4x -1，其中θ∈⎢0⎥， 32⎣6⎦

则导数f '(-1)的取值范围是（ ） A ． [3，6]

B ．3，4+3

[]

C ．4-，6

[]

D ． 4-3，4+

[]

6. ∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c

，若cos 积等于（ ）

A

、B 、4

A ，bc =5，则∆ABC 的面=

25

C

D 、2

∆

ABC 7．在中，AB =BC =1， AC cos B =BC cos A ，则AC ⋅AB =（ ）

A ．

3

或2 2

B ．

3

2

C ． 2

D ．

2

8．在∆

ABC 中，AB =BC =1，sin A =sin B ，则AC ⋅AB =（ ）

A ． 2

B ．

C ．

3 2

D ．

1 2

9. 下列函数中, 周期为π的偶函数是

A. y =cos x B. y =sin 2x C. y =tan x D . y =sin(2x +

10. 函数y =sin 2x cos 2x 的最小正周期是

11. 为了得到函数y =sin x +cos x 的图像，只需把y =sin x -cos x 的图象上所有的点

π

2

π

12. 已知函数y =sin (ωx +ϕ)(ω>0, 0

2ππ

个单位长度（B ）向右平移个单位长度 44ππ

（C ）向左平移个单位长度（D ）向右平移个单位长度

22

（A ）向左平移

ππ

361π1π（C ）(, （D ）(,

2326

13. 已知α∈(, π) , tan(α+

（A ）(2, （B ）(2,

π2π1

) =, 则sin α+47

14．函数y =cos 2x +1在下列哪个区间上为增函数（B ）

（A ）[0, （B ）[, π] （C ）[0, π] （D ）[π, 2π] 15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点

π

2π2

4

，则cos α= ． 55π3ππ

，则tan(+α) 的值是 16. 已知sin α= ，α∈(,

13224

717717

A. － B. － C. D.

177177

3

α的值为 17．已知α是第二象限角，且sin(π+α) =- ，则tan 2

5

A ， 点A 的纵坐标为( ) A ．

y O

x

423248B ．-C ．- D ．- 5737

18．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为

a ，b ，c ，且b 2+c 2=bc +a 2，则角A 的大小

为________．

19. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c ，若c =b B =120，则

a = 20. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a =1，b =

则sin A = 。

21. ∆ABC 中的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若tan A =

2，cos B =

1

，3

1

, C =150°，a =1，则3

c 。

22. 已知tan α=cos α，那么sin α的值是 。

23. 在∆ABC 中，AB =3,BC =，AC =4，则∠A =_____，∆ABC 的面积是 .

(x +ϕ), ω(>24. 已知函数y =s i n ω

图， 则

0, ϕ|

2

π

ω

的值为 ϕ

π6π3 B. C. D. 6π3π

A.

三角恒等变换求值问题

1. 已知tan

α

2

=2，求

（I ）tan(α+

π

4

) 的值； （II ）1-sin 2x

cos x

6sin α+cos α

的值

3sin α-2cos α

2. 已知函数f (x )=

(Ⅰ) 求f (x ) 的定义域；

(Ⅱ) 设α是第四象限的角，且tan α=-

4

，求f (α) 3

1x -)

. 3.

已知函数f (x ) =

cos x

（Ⅰ）求f (x ) 的定义域；

（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α=-4. 已知α为锐角，且tan(

(I)求tan α的值；

π

4

，求f (α) 的值 3

π

4

+α) =2。

sin 2αcos α-sin α

的值。

cos 2α

x x x 2x -cos 2(a ∈R ). 5. 已知函数f (x ) =2a sin cos +sin 2222

(II)求

（I ）当a=1时，求函数f (x ) 的最小正周期及图象的对称轴方程式； （II ）当a=2时，在f (x ) =0的条件下，求

cos 2x

的值.

1+sin 2x

6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角α, β，它们的终边分别与单位圆交于A , B 两点．已知A , B

（Ⅰ）求tan(α+β) 的值； （Ⅱ）求2α+β的值．

7．已知cos α=

113π，cos(α-β) =，且0

（Ⅰ）求tan 2α的值；（Ⅱ）求β。

求最值（值域）问题

一、主要方法及注意点：

1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。 2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。 1.

已知函数f (x ) =sin （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间⎢0⎥上的取值范围．

32. 已知函数f (x ) =2sin(π-x )cos x .

（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期；

2

ωx +ωx sin ωx +⎪（ω>0）的最小正周期为π．

2

⎭

⎛⎝

π⎫

⎡2π⎤⎣⎦

（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-

⎡ππ⎤

, ⎥上的最大值和最小值. ⎣62⎦

3. 已知函数f (x ) =cos(2x -

π

3

) +sin 2x -cos 2x .

（I ）求函数f (x ) 的最小正周期及图象的对称轴方程； （II ）设函数g (x ) =[f (x )]2+f (x ), 求g (x ) 的值域. 4. 已知函数f (x ) =a sin x +b cos x 的图象经过点( （I ）求实数a 、b 的值； （II ）若x ∈[0,

π

, 0), (, 1). 63

π

π

2

]，求函数f (x ) 的最大值及此时x 的值.

5. 已知函数f (x ) =(cosx +sin x ) +cos 2x -1. （1）求f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）求f (x ) 在区间[0,

π

2

]上的最大值和最小值。

2

6. 已知函数f (x ) =sin x cos x +cos x -（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间[0,

1． 2

π

2

]上的最大值和最小值及相应的x 值．

22

7. 已知函数f (x ) =cos x -sin x +2sin x cos x ．

（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；

（Ⅱ）当x ∈⎢-

⎡ππ⎤

, ⎥时，求函数f (x ) 的最大值，并写出x 相应的取值. 44⎦⎣

8. 已知函数f (x ) =2cos x sin(

π

2

-x ) .

（1）求f (x ) 的最小正周期； （2）求f (x ) 在区间[

]上的最大值和最小值。

3

9. 已知向量m =(sinA ,cos A ), n =(1,-2) , 且m ⋅n =0.

6

(Ⅰ) 求tanA 的值；(Ⅱ) 求函数f (x ) =cos 2x +tan A sin x (x ∈R) 的值域。

10. 已知函数f (x ) =cos(x -) .

π2π

,

π4

（Ⅰ）若f (α) =

，求sin 2α的值； 10

⎛⎝

π⎫⎡ππ⎤，求函数在区间-, ⎥上的最大值和最小值. g (x ) ⎪⎢2⎭⎣63⎦

（II ）设g (x ) =f (x )⋅f x +

求单调区间

1. 已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|

（Ⅰ）求ω, ϕ的值； （Ⅱ）设g (x ) =f (x ) f (x -) ，求函数g (x ) 的单调递增区间.

42. 设函数f (x ) =cos(2x +

π

π

6

+sin 2x .

(I) 求函数f (x ) 的单调递增区间；

(II) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若AB =1,sinB =

1C ，

f () ，求AC 的长. 323. 设函数f (x ) =sin(2x +ϕ) (-π

π

8

。

（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数y =f (x ) 的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y =f (x ) 在区

间[0, π]上的图像。

4. 在∆ABC 中，角A 、B 、C

所对的边分别为a 、b 、c ，a =b =2，cos A =-（I ） 求角B 的大小；

（Ⅱ）若f (x ) =cos2x +c sin 2(x +B ) ，求函数f (x ) 的最小正周期和单增区间．

1． 2

三角函数与向量

1. 已知向量a =(sinx , cos x ) ，b =(cosx ,sin x -2cos x ) ，0

（1） 求f (x ) 的单调增区间；

（2） 函数f (x ) 经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？

π

2

.

2. 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m =(a , b ) ，

n =(s i B n

，, s A i p =(b -2, a -2) .

（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；

（2） 若m ⊥p

，边长c = 2，角ΔABC 的面积 .

A

3. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b

, c ，且满足cos =，AB ⋅AC =3．

2（I ）求∆ABC 的面积； （II ）若c =1，求a 的值．

已知向量a =(cosα,1) ，b =(-2,sin α) ，α∈(π,

（Ⅰ）求sin α的值； （Ⅱ）求tan(α+

3π

) ，且a ⊥b ． 2

π

4

) 的值．

x x 33π

sin ) ，且x ∈[0，]． 4. 已知向量a ＝(cosx ，sin x ) ，b ＝(-cos ，22222

（1）求a +b

（2）设函数f (x ) =a +b +a ⋅b ，求函数f (x ) 的最值及相应的x 的值

3x 3x x x

-cos ), b =(+cos , sin ), 5. 已知a =(cos, 222222

1+2cos(2x -)

的值.

且a ∥b . 求

π

sin(x +)

2

6. 已知向量a = (3，2) ，b =(sin 2ωx , -cos 2ωx ) ，（ω>0) 。

（1）若f (x ) =a ⋅b ，且f (x ) 的最小正周期为π，求f (x ) 的最大值，并求f (x ) 取得最大值时x 的集合；

（2）在（1）的条件下，f (x ) 沿向量c 平移可得到函数y =2sin 2x , 求向量c 。

7. 已知在∆ABC 中，三条边a , b , c 所对的角分别为A , B , C ，向量m =(sinA , co s A ) ，

→

→

n =(cosB , sin B ) 且满足m ⋅n =sin 2C 。

→

→

→

→→

（1）求角C 的大小；

（2）若sin A , sin C , sin B 成等比数列，且CA ⋅(AB -AC ) =18，求c 的值。 8. 在△ABC 中，已知sin(A +B ) =sin B +sin(A -B ) ．

（Ⅰ）求角A ；

（Ⅱ）若|BC |=7，⋅=20，求|AB +AC |．

图像问题

1. 右图为 y =A sin(ωx +ϕ) 的图象的一段，求其解析式。

2. 已知函数

f

()x =

π

s A i (ωn +ϕx )

∈, x (其R 中

A >0ω, >

-,

22

π

其部分图象如图所示. (I)求f (x )的解析式; (II)求函数g (x ) =f (x +

π

4

) ⋅f (x -

π

⎡π⎤

) 在区间⎢0, ⎥上的 4⎣2⎦

最大值及相应的x 值.

3. 已知函数f(x)=A sin(ωx +ϕ) (其中A>0,ω>0,0

4.

已

知

函

数

π

2

) 的图象如图所示。

π

8

) 的值。

f (x =x )

π

2

-x π2+x x +s

π

2

+x x i n c

（1）求函数y =f (x ) 的最小正周期和最值；

（2）指出y =f (x ) 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。 5.

已知函数f (x ) =ωx +cos ωx )cos ωx +（1）求函数f (x ) 的单调递增区间；

（2）画函数f （x ）在区间［0，π］上的图象；

1

（ω>0）的最小正周期为π． 2

（3）将函数f (x ) 图象按向量a 平移后所得的图象关于原点对称，求向量a 的坐标（一个即

可）．

6. 已知函数f (x ) =(sin2x +cos2x ) 2-2sin 22x . （Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期；

（Ⅱ）若函数y =g (x ) 的图象是由y =f (x ) 的图象向右平移

个单位长度得到的，当x ∈[0,

π

个单位长度，再向上平移18

π

]时，求y =g (x ) 的最大值和最小值. 4

解三角形（正弦定理与余弦定理）

1. 在 ABC 中，A , B 为锐角，角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c

，且

3 cos 2A =,sin B =

510

（I ）求A +B 的值； （II

）若a +b =

1，求a , b , c 的值。

2. 在⊿ABC 中，

AC=3，sinC=2sinA

(I) 求AB 的值： (II) 求sin 2A -

⎛⎝

π⎫

⎪的值4⎭

3. 在△ABC 内，a , b , c 分别为角A , B , C 所对的边，a , b , c 成等差数列，且 a =2c . (I)求cos A 的值； (II)

若S ∆ABC =

b 的值. 4. 在锐角∆ABC 中，BC =1, B =2A , 则

AC

的值等于 ， cos A

AC 的取值范围为 .

5. 在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a -c =2b ，且

2

2

sin A cos C =3cos A sin C , 求b

A

6. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c

，且满足cos =，AB ⋅AC =3．

25

（I ）求∆ABC 的面积； （II ）若b +c =6，求a 的值．

7. 在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，cos A =

（Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）若ac =24，求a , c 的值.

3

，C =2A . 4

8. 在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , B =

（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求∆ABC 的面积.

9. 在∆ABC 中，BC =5, AC =3, sin C =2sin A

（Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求sin(2A -

π

3

，cos A =

4

, b = 5

π

4

) 的值。

32

, b =ac ，2

10. 设△ABC的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A -C ) +cos B =

求B.

11. ）在∆ABC 中，sin(C -A ) =1, sinB=

（I ）求sinA 的值；

(II)设

∆ABC 的面积.

1. 3

12. 如图所示，在△ABC

，已知AB =

求：（1）BC 的长度； （2）sin A 的值。

, cos B =，AC

边上的中线BD =,

13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且0=2，cos B = （1）若b =3，求sin A 的值；

（2）若△ABC 的面积S ∆ABC =3，求b ，c 的值. 14. 在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , B =

（Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）求∆ABC 的面积.

4. 5

π

3

，cos A =

4

, b = 5

15. 在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分虽为a , b , c ，且a , c 2. cos C = （1）求sin(A +B ) 的值； （2）求sin A 的值； （3）求CB ⋅CA 的值。

16. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a ,

b , c 满足sin （Ⅰ）求bc 的值；

（Ⅱ）若b +c =6，求a 的值．

17. 在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , C =（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin(A +) 的值.

6

3。 4

A ，∆ABC 的面积为2． =

2π

3

，b =5，∆

ABC 的面积为π

18. 已知∆ABC 三个内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 3b =2a ⋅sin B ，且⋅>0. （Ⅰ）求∠A 的度数； （Ⅱ）若cos (A -C )+cos B =

3

，a =6，求∆ABC 的面积. 2

19. 已知∆A B C 的三个内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , ∠A 是锐角, 且

b =2a ⋅sin B .

（Ⅰ）求∠A 的度数；

22

（Ⅱ）若a =7，∆ABC 的面积为10，求b +c 的值.

20. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船.

（Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离； （Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA 成θ角，

求f (x )=sin θsin x +cos θcos x (x ∈R )的值域.

2

2

北

B

21. 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2。（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE 。

22. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

cos B b

=-cos C 2a +c 。

（1）求角B 的大小；

（2）若b =, a +c =4，求a 的值。

a 2+c 2-b 2c

=. 23. 已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边a ，b ，c ，且2

a +b 2-c 22a -c

（1）求∠B 的大小； （2）若△ABC 的面积为

33

，求b 取最小值时的三角形形状. 4

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数f (x ) =

的形状．

x x x 3

3sin cos +cos 2，当f (B ) 取最大值时，判断△ABC

2222

2

i n 24. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且4s

（Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）求sin A +sin B 的最大值．

A +B

o -s 22

C =

7． 2

25. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c ，且A ，B ， C 成等差数列.

（Ⅰ）若b =

a =3，求c 的值；

（Ⅱ）设t =sin A sin C ，求t 的最大值.