一元二次方程导学案
《垂直于弦的直径》说课稿
一、教材分析
垂直于弦的直径是在学生学习了轴对称图形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行的。在进行本节之前已通过折纸、对称、平移、旋转推理证明等方式认识了许多图形的性质,积累了一定的空间与图形的经验。垂径定理是圆的一个重要的性质定理,它对线段的计算、证明线段相等、弧相等等问题提供了十分简便的方法。同时通过“实验—观察—猜想—证明”的途径,培养学生的动手能力,分析、联想能力,利用圆的轴对称性,还可以对学生进行数学美的教育。因此,本节课无论从知识上还是从学生能力的培养及情感教育方面都起着重要的作用。
二、学情分析
学生在生活中经常遇到圆方面的图形,对本节课会比较有兴趣,并且前面已学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学是比较好奇、好动、好表现的。在本节课通过动手实验学习不难。由于垂径定理的题设与结论比较复杂,学生容易混淆遗漏,并且对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到,所以本节课学生的学习障碍在于对垂径定理的题设与结论的区分及证明方法的理解。
三、教学目标
1.知识目标:①通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性;
②掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题; ③掌握辅助线的作法——作弦心距。
2.能力目标:①通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力; ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
3.情感目标:①通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学 生 大胆猜想、乐于探究的良好品质;
②培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。
四、教学重点和难点
教学重点:垂径定理及其应用
教学难点:对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法学生在生活中经常遇到圆方面的图形,对本节课会比较有兴趣,并且前面已学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学是比较好奇、好动、好表现的。在本节课通过动手实验学习不难。由于垂径定理的题设与结论比较复杂,学生容易混淆遗漏,并且对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到,所以本节课学生的学习障碍在于对垂径定理的题设与结论的区分及证明方法的理解。
五、教学过程
(一)、复习提问---创设情境
演示动画:将一等腰三角形对折,启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形,复习轴对称图形的概念,并提出问题:如果以这个等腰三角形的顶点为圆心,腰长为半径作圆,得到的圆是否是轴对称图形呢?
轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这样的图形叫做轴对称图形
(二)、引入新课,揭示课题
让学生用自制的圆形纸片对折,观察,思考:圆是否是轴对称图形?(学生探究合作交流)
请学生在自己的圆形纸片中作图:(1)任意作一条弦AB,(2)过圆心作AB的垂线得直径CD交AB于点E。
板书课题:垂直于弦的直径
结论:(1)CD⊥AB
(2)CD是直径
思考:CD还有其他性质吗?猜想:线段相等、弧相等
归纳命题:垂直于弦的直径平分
(三)、讲解新课,控求新知
命题的题设:垂直于弦的直径。
命题的结论:平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
板书:垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
(四)分解记忆,巩固定理
这样记定理:直线CD①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧
题组一:判断正误,快速抢答
(1)直径平分弦;(×)
(2)垂直于弦的直线平分弦;(×)
(3)垂直于弦的半径平分弦(√)
(五)例题示范,变式练习
【例1】如图,在⊙O中,若弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。
分析:因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”,所以要作辅助线OE⊥AB;因为要求半径,所以还要连结OA。
【变式一】在上图中,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=。
【思考】若圆的半径为R,一条弦长为a,圆心到弦的距离为d,则R、a、d三
者之间的关系式是。
例2:同学们,这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥(如图)。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县(古称赵州)而得名,是世界上现存最早、保存最
好的巨大石拱桥,距今已有1400多年历史,被誉为“华北四宝之一”,它的结构是当时世界桥梁界的首创,这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
实际例题:赵州桥的桥拱呈圆弧形的(如图1),它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦AB的距离,也叫弓形高)为7.2米。请问:桥拱的半径(即弧AB所在圆的半径)是多少?
(六)师生小结,纳入系统
1.定理的三种基本图形——如图1、2、3。
2.计算中三个量的关系——如图4,。
3.证明中常用的辅助线——作弦心距。
(1) (2) (3) (4)
(七)作业布置
1.如图5,在⊙O的半径为50mm,弦AB=50mm,则点O到AB的距离为,∠AOB=度。
2.作图题:经过已知⊙O内的已知点A作弦,使它以点A为中点(如图6)。
3.如图7,两个圆都以点O为圆心,求证:AC=BD。
图(5) 图
6
图7
《垂直于弦的直径》教学反思
反思一:对实际问题的意义的看法
教学来源于生活,有服务与生活,在实际生活中,数、形随处可见,无处不在。好的实际问题容易引起学生的兴趣,激发学生探索和发现问题的欲望,使学生感到数学课很熟悉,数学知识离我们很近,学生在解决实际问题的过程中,主要困难有两点,一是学生一见到实际问题就畏惧,根本不去读题,二是学生对实际背景不熟悉。为此,本节课设计了一个实际问题,这样做的好处,一是具有非常实际的用途,二是与本节课的内容具有直接联系。这个问题解决了,以后学生再见到类似的实际问题时,就不会感到陌生。
反思二:学生参与的锻炼
在探索垂径定理的过程中,增强了同学们的猜测、推理等技巧,并且考查了学生分析问题的能力,动手与思考的有机结合,对学生思考问题和解决问题都有很大的帮助.在探索垂径定理的过程中,对部分学生来说存在着困难,因此,教师在教学过程中除了是组织者和引导者之外,还应扮演“伯乐”和“雷锋”的角色,多给学生一些赞许鼓励和帮助,让更多的学生参与到学习中来.
反思三:垂径定理的应用
在垂径定理的应用方面,学生容易混淆题设与结论,或者有漏条件的现象,还需多做练习,达到熟能生巧的水平
《弧、弦、圆心角 》说课稿
一、教材分析:
本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂 径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。主要研究弧,弦,圆心角的关系。 教材中充分利用圆的对称性,通过观察,实验探究出性质,再进行证明,体现图 形的认识,图形的变换 ,图形的证明的有机结合。在证明圆的许多重要性质时 都运用了圆的旋转不变性。同时弧,弦,圆心角的关系定理在后继证明线段相等, 角相等,弧相等提供了又一种方法。
重点:圆心角、弧、弦之间的相等关系
难点:从圆的旋转不变性出发,得到圆心角,弦,弧之间的相等关系。 目的分析:
知识与技能目标:
(1)让学生在实际操作中发现并理解圆的旋转不变性。
(2)结合图形让学生理解圆心角的概念,学会辨别圆心角。
(3)引导学生发现圆心角、弧、弦之间相等关系,并初步学会运用这些关系解 决有关问题。
过程与方法目标:
培养学生观察,分析,归纳的能力,渗透旋转变化的思想及有特殊到一般的 变化规律。
情感与态度目标:
进一步培养学生的合情推理能力,发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表 达能力,同时对学生渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。
二、教法分析:
1.学情:由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习,学生又有一定圆的 相关概念,计算的知识储备,因此学习本节难度不是太大。由于学生对圆的旋转 不变性不甚了解,所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难, 另外对等弧等的理解可能不透彻,我会做直观的示范;初始阶段在证明角相等, 线段相等等有关问题时受思维定势的影响,学生往往会走利用“三角形全等”的 老路,这时我会有意识引导,针对性训练构建学生头脑中新的知识网络。
2.教学活动是教与学双边互动过程,必须充分发挥学生的主体和教师的主 导作用,因此教学目标的达成,需优选教学法,根据学生的学情,本节课在探究 圆心角,弦,弧之间的相等关系我采用发现模式,基本程序是:观察实践——概 括归纳——重点研讨——推理反思。这种教学模式注重知识的形成过程,有利于 体现学生的主体地位和分析问题的方法,例题教学时采用讲授模式,一方面通过 新知识的讲解练习,及时反馈,查缺补漏,使学生树立信心,培养学习能力,另 一方面对大面积提高教学质量也是有意的。在最后小结时运用自学模式。
3.教学手段:学生动手,现场板演,多媒体辅助教学.
三、过程分析:
(一)创设情景,引入新课
1.看一看思考
(1) 多媒体动态演示:平行四边形绕对角线交点旋转180度后,你发现了 什么?
(2) 多媒体动态演示:圆绕圆心O旋转180度后你发现了什么?
这两个问题设置是让学生感性认识,发现平行四边形和圆旋转180度后都能
与自生重合,是中心对称图形。
(3)思考:平行四边形绕对角线交点旋转任意一个角度后,你发现了什么? 把圆绕圆心O旋转度任意一个角度后,你发现了什么?
第三个思考由特殊到一般,通过多媒体动态演示,平行四边形和圆旋转任意 角是不同的,就把圆与一般的中心对称图形区别开来,目的是让学生观察对比得 出圆的特有性质旋转不变性.而圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。
(二)实践操作,探索新知
合作探究,自我发现是获得知识的最佳途径,所以以下几个环节提供自立合 作探究的课堂学习环境,引导从多方面的挖掘中轻松发现。教学时鼓励学生用多 种手段和方法探索图形的性质。在积极开展合作学习的同时锻练学生的数学语言 表达能力。 1. 引出圆心角的概念:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 教学中我设计图形让学生辨别,目的是使学生理解会辩别圆心角。
(图)
多媒体动态演示:将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A`OB`
你能发现那些等量关系?为什么?
由学生大胆猜想,独立思考后发言,并互相补充。目的是在探究过程中通过 猜想,思考,讨论充分调动学生的学习的积极性.
根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A`OB`的位置时,显 然∠AOB=∠A`OB`,连接AB,A`B`,弦AB与弦A`B`,弧AB与弧A`B`大小 关系又如何?
为了让学生找到他们关系,我是通过这种方式教学:使图形运动起来,让学生观察在运动中学习和研究几何问题,从而培养了学生观察、分析和归纳知识的能力。近一步提出问题,猜想是否正确,我们必须给出证明,怎样证明呢?小组讨论。讨论目的是让学生在交流过程中取长补短,有易于学生积极构建自己的 知。证明过程中学生容易借助全等三角形对应边,对应高相等证明,我是这样处
理的,顺应学生思维,让学生意识到全等解决不了证明弧相等,给学生一种冲突, 恰如其分引导学生圆在学习中有着特殊的规律,我采用多媒体演示进行旋转,使 学生认识到要证明弧相等,可根据定义证明弧重合。
在等圆中(两个能够重合的圆),是否也能得到类似的结论呢?
B请学生动手操作,用图钉将透明纸上的圆的圆心钉在硬纸板上的等圆圆心O 上,将透明纸上圆心角∠AOB绕圆心O旋转到硬纸板上相等的∠A`OB`的位置 时,连接弦AB,弦A`B`还相等吗?请用数学语言表达出来?
目的是让学生在实践中发现结论依旧成立。在交流过程中培养学生学会倾听 使自己的想法更完善,学会表达能更精确运用语言概括。也体现了数学的严谨。 定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.剖析定理得出推论
问题1:定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,请观察图形,你有没有 其他想法?
(强化了学生对定理的理解,培养学生的思维批判性.) 图
问题2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,你能得到什么结论?在同 圆等圆中,如果两条弦相等呢?
提出新的问题,我通过让学生动手操做,讨论、交流,类比的得出猜想和证 明,老师与学生交流对话,归纳出推论. 推论包含了定理,它是定理的拓展 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3.练习:(教材89页练习)
1、已知:如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心
距,根据本节定理及推论填空: .
(1)如果AB=CD,那么______,____________;
(2)如果
= ,那么______,____________;
(3)如果∠AOB=∠COD,那么______,______,
(4)如果AB=CD,OE垂直AB,OF垂直CD,
那么OE与OF相等吗?为什么?
(5) 如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系?与
的大小有什么关系?∠AOB与∠COD呢?
(本练习是本节结论的综合应用,由于在圆中解决有关弦的问题时,常需要做 “垂直于弦的直径”,且后面正多边形与圆等内容都涉及构造直角三角形,所以 这里练习进行扩充,为后面学习作铺垫,可以让学生归纳为:同圆或等圆中如果 个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等.通过本练习一方面巩固新知,一方面进行了拓展。)
4. 问题一:相等的弦所对的弧是怎样的?
问题二:长度相等的弧是等弧吗?
在学生得到圆心角、弧、弦之间的相等关系,有点成就感之后直接提出学生 容易混淆的问题,激发他们求知欲,通过学生讨论交流,课件演示让学生掌握相 等弦所对的优弧和劣弧分别相等,能够互相重合的弧叫等弧,包含两层含义一是 度数相等,二是长度相等。同时也让学生感受了数学的周密性。
(三)应用、巩固和反思
问题一:如图1以O为圆心的圆中弧AB等于弧AC,
∠ACB=60度,求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC
数学知识逻辑严密,体现了严谨性, 为培养学生逐步完善以求达到掌握新知识, 我用这个例题让学生自主思考,老师板书示范,培养学生正确的书写习惯。
图1 图2
问题二:如图2:已知AD=BC,求证:AB=CD
变式:如图2:已知弧AD=弧BC,求证:AB=CD
变换条件和结论让学生多角度探索问题有利于加深学生对同圆或者等圆中弧,弦,圆心角之间关系的认识。另外引导学生应用新学知识避免用三角形全等 补充:(教材90页练习2题,略.定理的简单应用)
(四)小结:在得出本节结论的过程中,你用到了那些方法?学到了那些知识?与同伴进行交流。(目的是引导学生有意识的归纳,总结所使用的研究图形的方法。通过学生自己的归纳,巩固对本课知识的掌握。)
(五)作业 :必做:教课书P90练习第2题
教课书P94习题24.1第2、10题
选做:教课书P94习题24.1第12题
课后反思
对于学生的作业布置首先做到适量,给学生留有足够的思考时间,明确提出反思任务,目的是使学生理解解题中的思维规律,积累学生数学解题活动的经验。评价分析:
本课例在充分落实知识与技能这一目标的前提下,注意到了过程与方法,并特别关注了对学生数学情感态度和价值观的培养。事实上学生对生活中的圆早就有了一定认识,但对本课重要的是学生从圆的旋转不变性出发,得到圆心角,弦,弧之间的相等关系,感受圆是最美地图形,激发学生对数学学习的情感,为此, 学生动手,现场板演,多媒体辅助教学.在互动学习中为学生的自主,合作,探究学习创造条件。主动向学生质疑,促使学生思考和发现,培养学生独立获取知识与方法的能力;同时利用多媒体技术给学生创设了宽松的学习氛围,使学生课堂发言踊跃,学习中始终保持兴奋,愉悦,渴求思索的心理状态,这些都有利于学生数学学习主体性的发挥以及数学创新能力的培养。