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§3 双线性函数
定义3 V 是数域P 上一个线性空间，f (α, β) 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量α, β，根据f 都唯一地对应于P 中一个数f (α, β) . 如果f (α, β) 有下列性质：
1）f (α, k 1β1+k 2β2) =k 1f (α, β1) +k 2f (α, β2) ;
2）f (k 1α1+k 2α2, β) =k 1f (α1, β) +k 2f (α2, β) ,
其中α, α1, α2, β, β1, β2是V 中任意向量，则称f (α, β) 为V 上k 1, k 2是P 中任意数，
的一个双线性函数.
这个定义实际上是说对于V 上双线性函数f (α, β) ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.
例1 欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.
例2 设f 1(α), f 2(α) 都是线性空间V 上的线性函数，则
f (α, β) =f 1(α) f 2(β) ,
是V 上的一个双线性函数. α, β∈V
例3 设P n 是数域P 上n 维列向量构成的线性空间. X , Y ∈P n 再设A 是P 上n 级方阵. 令
f (X , Y ) =X 'AY , (1)
则f (X , Y ) 是P n 上的一个双线性函数.
如果设X '=(x 1, x 2, , x n ) , Y '=(y 1, y 2, , y n ) ，并设
⎛a 11 a A = 21
a ⎝n 1a 12a 22 a n 2 a 1n ⎫⎪ a 2n ⎪ ⎪⎪ a nn ⎪⎭
则
f (X , Y ) =∑∑a ij x i y j . (2)
i =1j =1n n
（1）或（2）实际上是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数f (α, β) 的一般形式. 可以如下地说明这一事实. 取V 的一组基ε1, ε2, , εn . 设
⎛x 1⎫ ⎪ x 2⎪α=(ε1, ε2, , εn ) ⎪=(ε1, ε2, , εn ) X , ⎪ x ⎪⎝n ⎭
⎛y 1⎫ ⎪ y ⎪β=(ε1, ε2, , εn ) 2⎪=(ε1, ε2, , εn ) Y , ⎪ y ⎪⎝n ⎭
则
f (α, β) =f (∑x i εi , ∑y j εj ) =∑∑f (εi , εj ) x i y j . (3)
i =1j =1i =1j =1n n n n
令
a ij =f (εi , εj ) , i , j =1, 2, , n ,
⎛a 11 a A = 21
a ⎝n 1a 12a 22 a n 2 a 1n ⎫⎪ a 2n ⎪ ⎪⎪ a nn ⎪⎭
则（3）就成为（1）或（2）.
定义4 设f (α, β) 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数. ε1, ε2, , εn 是V 的一组基，则矩阵
⎛f (ε1, ε1) f (ε2, ε1) A = f (ε, ε) n 1⎝f (ε1, ε2) f (ε2, ε2) f (εn , ε2) f (ε1, εn ) ⎫⎪f (ε2, εn ) ⎪ (4) ⎪ ⎪f (εn , εn ) ⎪⎭
叫做f (α, β) 在ε1, ε2, , εn 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定V 的一组基ε1, ε2, , εn 后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基ε1, ε2, , εn 下的度量矩阵. 度量矩阵被双
线性函数及基唯一确定. 而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
反之，任给数域P 上一个n 级矩阵
⎛a 11 a 21A = a ⎝n 1a 12a 22 a n 2 a 1n ⎫⎪ a 2n ⎪ ⎪⎪ a nn ⎪⎭
对V 中任意向量α=(ε1, ε2, , εn ) X 及β=(ε1, ε2, , εn ) Y ，其中X '=(x 1, x 2, , x n ) ，Y '=(y 1, y 2, , y n ) 用
f (α, β) =X 'AY =∑∑a ij x i y j
i =1j =1n n
定义的函数是V 上一个双线性函数. 容易计算出f (α, β) 在ε1, ε2, , εn 下的度量矩阵就是A .
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设ε1, ε2, , εn 及η1, η2, , ηn 是线性空间V 的两组基：
(η1, η2, , ηn ) =(ε1, ε2, , εn ) C
α, β是V 中两个向量
α=(ε1, ε2, , εn ) X =(η1, η2, , ηn ) X 1,
β=(ε1, ε2, , εn ) Y =(η1, η2, , ηn ) Y 1
那么
X =CX 1, Y =CY 1
如果双线性函数f (α, β) 在ε1, ε2, , εn 及η1, η2, , ηn 下的度量矩阵分别为A , B ，则有
'f (α, β) =X 'AY =(CX 1) 'A (CY 1) =X 1(C 'AC ) Y 1.
又
'f (α, β) =X 1BY 1.
因此
B =C 'AC
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义5 设f (α, β) 是线性空间V 上一个双线性函数，如果
f (α, β) =0
对任意β∈V ，可推出α=0，f 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的. 设双线性函数f (α, β) 在基ε1, ε2, , εn 下的度量矩阵为A ，则对α=(ε1, ε2, , εn ) X , β=(ε1, ε2, , εn ) Y ，有
f (α, β) =X 'AY
如果向量α满足
f (α, β) =0, ∀β∈V ,
那么对任意Y 都有
X 'A Y =0
因此
X 'A =0
而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此易证双线性函数f (α, β) 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简. 但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的. 对于对称矩阵已有较完整的理论.
定义6 f (α, β) 是线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 上任意两个向量α, β都有
f (α, β) =f (β, α) ,
则称f (α, β) 为对称双线性函数. 如果对V 中任意两个向量α, β都有
f (α, β) =-f (β, α)
则称f (α, β) 为反对称双线性函数.
设f (α, β) 是线性空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基ε1, ε2, , εn ，由于
f (εi , εj ) =f (εj , εi )
故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数f (α, β) 在ε1, ε2, , εn 下的度量矩阵是对称的，那么对V 中任意两个向量α=(ε1, ε2, , εn ) X 及β=(ε1, ε2, , εn ) Y 都有
f (α, β) =X 'AY =Y 'A 'X =Y 'AX =f (β, α) .
因此f (α, β) 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.
定理5 设V 是数域P 上n 维线性空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基ε1, ε2, , εn ，使f (α, β) 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
如果f (α, β) 在ε1, ε2, , εn 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对α=∑x i εi , β=∑y i εi ,
i =1i =1n n
f (α, β) 有表示式
f (α, β) =d 1x 1y 1+d 2x 2y 2+ +d n x n y n .
这个表示式也是f (α, β) 在ε1, ε2, , εn 下的度量矩阵为对角形的充分条件.
推论1 设V 是复数上n 维线性空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存
在V 的一组基ε1, ε2, , εn ，对V 中任意向量α=∑x i εi , β=∑y i εi ，有
i =1i =1n n
f (α, β) =x 1y 1+x 2y 2+ +x r y r (0≤r ≤n ) .
推论2 设V 是实数n 上维线性空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基ε1, ε2, , εn ，对V 中任意向量α=∑x i εi , β=∑y i εi ，有
i =1i =1n n
f (α, β) =x 1y 1+ +x p y p -x p +1y p +1- -x r y r
对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的. (0≤p ≤r ≤n ) .
定义7 设V 是数域P 上线性空间，f (α, β) 是V 上双线性函数. 当α=β时，V 上函数f (α, α) 称为与f (α, β) 对应的二次齐次函数.
给定V 上一组基ε1, ε2, , εn ，设f (α, β) 的度量矩阵为A =a ij
意向量α=∑x i εi 有
i =1n ()n ⨯n . 对V 中任
f (α, α) =∑∑a ij x i x j . (5)
i =1j =1n n
式中x i x j 的系数为a ij +a ji . 因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
A =(a ij )n ⨯n 及B =(b ij )n ⨯n
只要
a ij +a ji =b ij +b ji , i , j =1, 2, , n ,
那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数. 从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型. 它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.
定理6 设f (α, β) 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基ε1, ε-1, , εr , ε-r , η1, , ηs 使
⎧f (εi , ε-i ) =1, ⎪⎨f (εi , εj ) =0,
⎪f (α, η) =0, k ⎩i =1, , r ; i +j ≠0; (6) α∈V , k =1, , s .
从定理5可知，V 上的对称双线性函数f (α, β) 如果是非退化的则有V 的一组基ε1, ε2, , εn 满足
⎧f (εi , εi ) ≠0, ⎨⎩f (εi , εj ) =0, i =1, 2, , n ; j ≠i .
前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V 的对于f (α, β) 的正交基.
V 上的反对称双线性函数f (α, β) 如果是非退化的，而从定理6可知，则有V
的一组基ε1, ε-1, , εr , ε-r 使
⎧f (εi , ε-i ) =1, ⎨⎩f (εi , εj ) =0, i =1, 2, , r ; i +j ≠0.
由于非退化的条件，定理6中的η1, , ηs 不可能出现. 因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义8 设V 是数域P 上的线性空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间. 当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为P 上的正交空间；当V 是n 维实线性空间，f 是非退化对称双线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间. 有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为(V , f ) .