结构力学[第八章矩阵位移法]课程复习

第八章 矩阵位移法

一、基本内容及学习要求

本章内容包括：矩阵位移法的解题思路，单元刚度矩阵及其坐标变换，直接刚度法(先处理)，等效结点荷载以及矩阵位移法应用中的问题。要求会用矩阵位移法计算结构的位移和内力。

通过本章的学习应达到：

(1)掌握矩阵位移法的解题思路和步骤，了解矩阵位移法与位移法的内在联系。

(2)建立单元坐标系下的单元刚度矩阵，明确单元刚度矩阵的特性及矩阵元素的物理概念。

(3)弄清坐标变换的含义，形成结构坐标系下的单元刚度矩阵。

(4)借助定位向量，熟练应用直接刚度法(先处理)形成结构刚度矩阵。

(5)计算综合结点荷载。

(6)利用结构刚度方程求解结点位移进而计算杆端内力。

二、学习指导

(一)矩阵位移法的解题思路与步骤

矩阵位移法与位移法的解题思路基本相同，两者的差异仅在于前者从机算考虑，采用矩阵使公式规格化，以适应程序设计的要求，故解题步骤和处理方法都有所不同。为使读者抓住学习要领，现用简例扼要说明两者间的关系。

图8．1所示三跨连续梁承受结点集中力偶

作用。用位移法求解时若将其转化为三根两端

固定梁，按以下步骤直接建立位移法方程。

(1)把三根梁作为三个单元，利用转角位移

方程将其杆端弯矩表示成杆端位移的函数

矩阵位移法和位移法两者比较，求解过程基本相同，关键不同之处在于矩

阵位移法利用了K的组合特性，解算时绕过平衡条件直接建立结构刚度矩阵。下面对此作简要说明，使读者有大致的了解。

位移法通过单元刚度方程，利用平衡条件建立位移法方程，其系数由各单元刚度方程的系数组合而成。矩阵位移法则借助各单元刚度矩阵的元素直接形成结构刚度矩阵，只要把单元刚度矩阵的元素按其附标放到结构刚度矩阵的相应位置(有一方附标为零或两方附标均为零的元素不进入)，再将同一位置的元素相加即可，故又称直接刚度法。这一过程归纳为“对号入座、同位相加”，本题按此即得

读者把K的建立过程与式(g)对照，不难发现二者的共同之处，其差别仅在于位移法的处理较为直观，矩阵位移法更加直接却稍嫌繁琐，以分别适应手算和机算的要求。读者了解这些特点，会使学习思路更加清晰。

(二)单元刚度矩阵

应用矩阵位移法必须首先进行单元分析，建立单元杆端力与杆端位移间的关系(单元刚度方程)，其目的是找到单元杆端力与杆端位移间的转换矩阵——单元刚度矩阵(以下简称“单刚”)。单刚的形式和元素与所取坐标系关系密切，矩阵位

移法将分别用到以两种坐标系(单元坐标系和结构坐标系)表示的单刚，教材§9—2、§9—4分别对其物理意义及建立方法作了详细论述，下面重点说明几个问题。

1．单元坐标系下的单刚

(3)单刚的两个重要性质分别是：主对角线两侧对称位置上的元素相等(可由力的互等定理推出)，单刚是对称方阵；与单刚相应的行列式｜KC｜=0，说明单刚是不存在逆矩阵的奇异矩阵，即可用式(9—3)由杆端位移求杆端力，但不能用它从杆端力反求杆端位移。

(4)不同类型的单元有形式不同的单刚。教材式(9—5)所示单刚对应两端刚结且三个方向均可发生位移的自由式单元，故称为自由式单元的单刚。式(9—6)则为两端无线位移单元的单刚。

不考虑单元轴向变形，即不计杆端轴向位移对杆端力的影响时，轴向力不能由单元刚度方程求得，由图9—3b、c、e、f四种情况叠加，推得受弯直杆忽略轴向变形单元的单刚为

式(8．1)也可由自由式单元单刚同时删去第一、四行及第一、四列获得。注意到位移法中等截面直杆的转角位移方程也忽略轴向变形，故式(8．1)与教材式(5—3)、(5—4)的系数矩阵相同(只是杆端位移及杆端力正负号的规定有所不同)。 当只考虑轴向杆端位移和杆端力(如桁架单元)时，由图9—3a、d可得只考虑轴向变形的轴力单元单刚为

式(8．2)也可从自由式单元的单刚同时删去第二、三、五、六行及第二、三、

五、六列得到。上述单刚同样具有自由式单元单刚的两个重要性质。

(5)单刚形式与杆端位移(杆端力)分量的排列顺序密切相关，若调换某两个杆端位移(杆端力)的顺序，则单刚中元素的位置也会相应改变，读者务必注意。

2．结构坐标系下的单刚

(1)结构坐标系又称整体坐标系。一般情况下，由于结构杆轴方向各不相同，故各单元的单元坐标系也不统一。如教材图9—9a所示刚架三个单元的单元坐标系均不相同(图9—9b)，造成汇交同一结点不同单元的杆端位移和杆端力方向不一致，不便考虑结点的变形协调条件和静力平衡条件。为解决这一矛盾，只有通过坐标变换把所有用单元坐标系表示的杆端位移和杆端力，统一转换到按右手螺旋法则确定的Oxy结构坐标系才便于求解。单元的杆端位移和杆端力是客观存在的，坐标变换只是用不同的分量来表示而已，如同一个力总可以分解为若干组不同的分力一样。

(三)直接刚度法(先处理)的解题要点

应用直接刚度法时，按支承条件的处理方式分为先处理和后处理两种。先处理方式是本章重点，读者应全面掌握。前面介绍过的矩阵位移法解题思路即属先处理，其具体做法是：

(1)以结点独立位移为基本未知量，建立结点位移列向量△。对结构位移依

次编号时应注意刚结点有3个、铰结点有2个结点位移，已约束的结点位移不再编号。忽略受弯杆件轴向变形(引用轴向刚度条件)时，该单元两端的轴向位移编号相同。

(2)建立与结点独立位移相应的结点荷载列向量FP(不包含位移被约束方向

的结点力)。单元承受非结点荷载时，应将其化为等效结点荷载计算。

(3)写出单元在结构坐标系下的单刚Ke。根据变形协调和位移边界条件，利用单元定位向量λe将单元的局部位移码换成整体位移码(换码)。将单刚元素按整体位移码“对号入座”输送到结构刚度矩阵K的相应位置。

(4)对所有单元依次重复步骤(3)，再将结构刚度矩阵中同一位置的单刚元素实行“同位相加”，最终形成结构刚度矩阵，其阶数与结点独立位移个数相同。

(5)求解结构刚度方程或由△=K-1F，计算结点独立位移列向量△。

(6)利用定位向量从△中取出相应的单元杆端位移，由各单元刚度方程分别计算其杆端力。非结点荷载作用下的单元还要叠加单元固端力。

计算忽略杆件轴向变形的连续梁和刚架时，先处理方式的解题思路与位移法更为接近。本章在学习指导中按先处理介绍矩阵位移法的思路与步骤，正是由于两者互通，便于对照。