第五讲较复杂行程问题

第五讲 较复杂行程问题

知识要点：

复杂的行程问题涉及三个数量之间的关系：路程、速度和时间。只不过有时是多个物体的相向、相背、同向运动，有时是运动过程中出现多次相遇。它常用的基本数量关系式是：速度×时间=路程。但有时运动过程中多次相遇时，可根据运动物体行驶的路程关系，灵活运用比例来解答。

人在环形路上行走，计算行走距离常常与环形路的周长有关。

① 从同一地点背向而行

速度和×相遇时间=环形跑道的周长

② 从同一地点同向而行

速度差×追及时间=环形跑道的周长

例题：

例1.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按 逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。

求甲追上乙需多少时间？

思路提示：先求出甲、乙两人不停地跑，甲追上乙的时间，再求甲跑完500米，一共停留了几次，共停留时间。

例2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千

米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？

思路提示：先求出小明和爸爸的速度比，观察图可知，爸爸从8点16分到第一次追上小明。爸爸共走的路，就可求出这段时间小明走了的路，继而求出小明在前8分钟走的路，小明的速度，及走8千米用的时间。

例3. 甲用40秒钟跑完跑道一圈。乙反向跑，每15秒钟与甲相遇一次。问乙跑一圈要几秒钟？

思路提示：甲乙两人可看成从圆圈上同一地点，反向而行每相遇一次共跑一圈，可求出速度和，根据甲跑一圈的时间可求甲速，继而可求乙速（用工程问题思维解题）。

例4. 甲、乙、丙三人跑步锻炼，都从A地同时出发，分别跑到B、C、D三地，然后立即往回

跑，跑回A地再分别跑到B、C、D，再立刻跑回A地，这样不停地来回跑，B与A相距

千米，C与A相距11013千米，D与A相距千米。甲每小时跑3.5千米，乙每小时跑4千816

米，丙每小时跑5千米。问：若这样来回跑，三人第一次同时回到出发点需用多少小时？

思路提示：分别求出甲、乙、丙往返一次的时间，然后求出他们所用时间的最小公倍数，就可以求出同时回到出发点的时间。

例5.李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行

去公司，路上遇到按时来接他的车，他乘车去公司，结果比平时早到5分钟。问李经理什么时间遇上汽车？汽车速度是步行速度的几倍？

思路提示：如图，A点代表家，B点代表公司，设李经理在C点上车，从图中看出，汽车比平时 少行两个AC，知汽车行一个AC的时间：5÷2=2.5（分钟），汽车比平时早2.5分钟接到李经理， 即可解决问题。

例6. 甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，每一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生，

为了尽快地到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在中途下车步行去飞机场，汽车立即返回接在途中步行的乙班学生，已知甲、乙班步行速度相同，汽车的速度是步行的7倍，那么汽车应在距机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达机场？

思路提示：如图，A点为学校，B点为飞机场，设甲班乘车到C点下车步行BC，乙班步行AD， DB乘车。图中看到DC+DB=7AD，即DC=3BC=3AD，因此，求出AD的长度就容易了。

例7.某城市东西路与南北路交汇于路口A。甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A。甲向

北，乙向东同时匀速行走，4分钟后两人距A的距离相等，再继续行走24分钟后，两人距A的距离恰又相等。问甲、乙两人的速度各是多少？

思路提示：如图：4分钟，甲到C，乙到D。AC=AD，4分钟共行AB，可求甲乙速度和，再走24分钟，甲到E，乙到F，可知AE=AF，甲28分行BE，乙28分行AF，28分甲比乙多行AB，可求出甲乙速度差，即可求出甲、乙的速度。

例8．小刚与小勇进行50米赛跑，结果当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛

跑，小刚的起跑线退后10米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是什么？

思路提示：先求出第一次小刚和小勇的速度比5：4，再解决第二次，小刚和小勇跑的路程，就 可求出小勇离终点的距离。

练习：

1. A、B各以一定的速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。A的速度是每分钟180米，B

的速度是每分钟220米。两人从同一地点同时出发，多少分钟后B第二次追上A？

2. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行。乙车比甲车每小时多行全程的

时共行全程的1，两车每小209。他们在途中第一次相遇后继续前进，甲车到达B地，乙车到达A地后立20

即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇的地点相隔40千米，AB两地相距多少千米？

3. 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，那么可以比原定时间提前24分到达；如

果以原速行驶80千米后，再将速度提高

距多少千米？

1，那么可以提前10分到达乙地。甲、乙两地相3

4. 科技站组织100名学生到离站32千米的标本园地采集标本。只有一辆每次能载50人的汽

车，已知同学们步行的速度为每小时4千米。汽车载人时车速为每小时40千米，空车每小时50千米。为了使全部同学尽快到达目的地，他们采用了步行与乘车相结合的办法。问到达目的地最短的时间是多少小时？

5. A、B两地相距20千米，一个班学生45人，由A地去B地。现有一辆马车，车速是人步行

速度的3倍，马车每次可乘坐9人，在A地先将第一批9名学生送往B地，其余学生同时步行向B地前进；车到B地后，立即返回，在途中与步行学生相遇后，再接9名学生送往B地，余下的学生继续向B地前进……这样多次往返，当全体学生都到达B地时，马车共行多少千米？（学生上、下时间不计）

6．甲班与乙班学生同时从学校从发去某公园，甲班步行速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米。这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班与乙班学生需要步行的距离之比是多少？

6. 甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面20米处；如果两人各自速度不变，

要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？

7. 小刚和小明进行100米短跑比赛（假定二人的速度均不变）。当小刚跑了90米时，小明距

终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？

8. 汽车每天早上从幼儿园出发，8点整到达居民区车站接小朋友上幼儿园。有一天小朋友们7

点40分从居民区车站出发走向幼儿园。在路上遇到汽车后上车到幼儿园，结果比平常提早了4分钟到达。汽车的速度是小朋友步行速度的几倍？

9. 某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需

用1小时。这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？

11. 甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发，绕池边沿

A→B→C→D→A的方向行走。甲的速度是每分钟走50米，乙的速度是每分钟46米。则甲、乙第一次在同一边上行走时，是发生在出后的第多少分钟？

12. 在40米的环形跑道上，甲、乙两人同时从起跑线出发，反向起跑。甲每秒跑4米，乙每秒

跑6米，当他们第一次在起跑点相遇时，他们已在途中相遇了多少次？

例题解答及练习答案

例1. 100÷（5-4）+10×4=140（秒）

注意：甲跑到500米处，正好追上乙，不需计停留时间。

例2. 小明与爸爸的速度比为1：3，

4÷（4+8）=1：3

18=（千米）（小明前8分走的路） 33

81÷8=（千米）（小明的速度） 33

18÷=24（分）（小明走8千米用的时间） 34-4×

24+8=32（分），即这时是8点32分。

111-)=1÷=24（秒） 154024

155或15÷（1-）=15÷24（秒） 408

12例4.甲往返一次需×2÷3.5=(时) 1035

11乙往返一次需×2÷4=(时) 816

33丙往返一次需×2÷5=(时) 1640

213560⨯6[,,]=[]=6(时) 560351640例3. 1÷（

例5. 5÷2=2.5(分) 上午7点27.5分遇到李经理,李经理7点出门,7点27.5分遇到汽

车,27.5分走的路汽车只需行2.5分.所以27.5÷2.5=11(倍).汽车速度是步行速度的11倍.

例6. AD=CB. 汽车把甲送到C,回到D再到B,甲走完CB,汽车的速度是步行速度的7倍,DC的长

度是CB的(7-1)÷2=3(倍)

CB=24÷(1+3+1)=4.8(千米)

例7. 560÷4=140(米/分) (甲乙速度和)

560÷28=20(米/分) (甲乙速度差)

(140+20)÷2=80(米/分) (甲速)

80-20=60(米/分) (乙速)

例8. 50:40=5:4 (小刚与小勇速度比)

小勇跑60×

50-48=2（米） 4=48（米） 5

练习

1. 500×2÷（220-180）=25（分）

911911-+）÷2=；乙速：（）÷2= 2020520204

11201204= 第二次相遇时间1÷（+）=小时，甲行全程的：⨯459599

12010⨯2=. 第二次乙行全程:⨯499

104-×2）=180千米. 全程为：40÷（992. 甲速：（

3. 1:(1+25%)=4:5, 24÷(5-4)×5=120分. 1)=3:4, 120÷4×(4-3)=30分 3

30-10 80÷=120千米 30 1:(1+

4. 4:40=1:10, 4:50=1:12.5, 如图,用实线代表行车,用虚线代表步行 12=份 1+12.53

296 32÷(1+9++1)=千米 335

9696229 所用时间为: ×(1+9)÷40+×(1+)÷4=1小时 3353535 9⨯5. 人速:车速=1:3,画图为,实线代表行车,虚线代表步行

45÷9=5次

20×(1+11111111++++++)=56千米 224488164

6. 设全程为S，甲班步行的路程为S1,乙班步行的路程为S2，根据两班在路上的时间相等可得下面的方程： S1S-S1S2S-S2+=+ 448348

12S1+S-S116S2+S-S2= 4848 化简得：

12S1+S-S1=16S2+S-S2 → S1:S2=15：11

由于48÷3=16，48÷4=12，所以AB间的路程是乙班步行路程的（16-1）÷2=7.5(倍),AB间的路程也是甲班步行路程的(12-1)÷2=5.5(倍). 7.5:5.5=15:11

7. 乙的速度是甲的100-2044=,乙跑100米,甲可跑100÷=125(米),所以,甲应后移10055

125-100=25(米).

这道题也可用列方程的方法求解.

由题意知,甲跑100米时,乙跑80米,设乙跑(100-80)米时,甲跑x米,则 100x= x=25 80100-80

8. 当小刚跑了90米时,小明跑了100-25=75(米)

5. 6

51 所以当小刚到达终点时,小明跑了100×=83(米) 63

12 即小明距离终点还有100-83=16(米) 33 于是,小明的速度是小刚速度的75÷90=

9. 汽车比平常提早4分钟到达幼儿园,说明汽车比平常提早2分钟,即7点58分,接到小朋友.汽车2分钟的路程小朋友走了18分钟,所以汽车的速度是小朋友步行速度的18÷2=9(倍).

10.我们先画一个图如下,其中A是学校,B是工厂,C是汽车和劳模相遇的地点.

汽车从A到B往返需1小时,即从A到B需30分钟,汽车从A到C往返用了40分钟,即从A到C需20分钟,从而从C到B需30-20=10(分钟).因为汽车到达C点是2点20分,所以劳模从B到C用时:

60+20=80(分钟)

从而汽车的速度和劳模步行的速度比为:(80÷10)=8

11. 1600÷4÷（50-46）=100（秒）

100×50÷400=12（个边长）……200（米）

100+200÷50=104（分）

12. 4：6=2：3，40÷（3-2）×（2+3）=200（米）

200÷（4+6）÷[40÷（4+6）]-1=4（次），或200÷40-1=4（次）