如何学好配方法
如何学好配方法
配方法是数学中一种很重要的思想方法,它的主要用途是用来求一元二次方程的解.那么怎样用配方法解一元二次方程?先让我们来看一个例子吧.
例 用配方法解方程4x2-12x-1=0.
分析:我们知道形如(x+a)2=b(b≥0)的方程可以用直接开平方法求解.如果方程4x2-12x-1=0能化成这种形式,不也就可以用直接开平方法求解了吗?通过观察,发现式子(x+a)2=b中等号左边为二次项系数为1的一个多项式的完全平方形式,右边为常数项,于是考虑先把方程4x2-12x-1=0的二次项系数化为1,再把常数项移到方程的右边,然后把方程左边配成完全平方形式,再用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
解:二次项系数化为1,得x23x110.移项,得x23x.配方,44
3133103得x23x()2()2,即(x)2.两边开平方,得x,2422422
即x3333,x.解得x1,x2. 22222222
由此可见,配方法是以完全平方公式为理论依据,以开平方法为目标的一个变形过程.其一般步骤为:(1)二次项系数不为1,先把二次项系数化为1即在方程两边同除以二次项的系数;(2)移项:使方程左边只含二次项与一次项,右边为常数项;(3)配方:在方程两边都加上一次项系数一半的平方,把方程化为(x+a)2=b的形式;(4)当b≥0时,再用开平方法解变形得到的这个方程.
用配方法求一元二次方程的解时,常出现“①对于二次项系数不为1的方程,没有把二次项系数化为1,就直接进行配方;②配方时,没有在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.”这两个方面的错误.
错解1:移项,得4x2-12x=1.配方,得4x2-12x+(122122)=1+(),即22
(x6)237.两边开平方,得x-6=.解得x16,x2637.
剖析:用配方法解一元二次方程时,若二次项系数不为1,应先把它化为1,再进行配方.错解1未做好这一准备工作就急于配方而致错.
错解2:二次项系数化为1,得x23x
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110.移项,得x2-3x=.配方,44
31337337得x2-3x+=+,即(x)2,解得x1. ,x22422422
剖析:用配方法解方程的关键是配方,而配方的核心待原方程的左边化为“x2+bx”的形式后,在方程的两边都加上一次项系数一半的平方,使方程的左边变为完全平方式.错解2只在方程的两边加上一次项系数一半,而没有把一半平方.
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